1
ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA
SYGNAŁÓW DYSKRETNYCH
Spis treści
1.
Zależności pomiędzy analizą częstotliwościową sygnałów
analogowych i dyskretnych
2.
Definicja i własności dyskretnej transformacji Fouriera
3.
Analiza częstotliwościowa dyskretnych obrazów
2
Dyskretna transformacja Fouriera
ang. Discrete Fourier Transform DFT
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0.5
1
1.5
2
sygna
ł
czas
1
2
3
4
5
6
7
8
0
2
4
6
8
widmo amplitudowe
częstotliwość
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-0.5
0
0.5
1
widmo fazowe
częstotliwość
3
Trochę historii
Baron Jean Baptiste Joseph
FOURIER (1768-1830)
Z wyróżnieniem ukończył szkolę wojskową w Auxerre.
Został nauczycielem Ecole Normal a potem Politechniki
w Paryżu.
Napoleon mianował go zarządcą Dolnego Egiptu w 1798
roku.
Po powrocie do Francji został prefektem w Grenoble.
Baronem został w 1809 roku. Ostatecznie w 1816 roku
został sekretarzem Akademii Nauk a następnie jej
członkiem w 1817.
W okresie od 1808 roku do 1825 roku napisał 21 tomowy
Opis Egiptu.
Równaniem ciepła zainteresował się w 1807 roku. W opublikowanej w 1822 roku
pracy pokazał jak szereg zbudowany z sinusów i kosinusów można wykorzystać do
analizy przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Nad szeregami trygonometrycznymi
pracował do końca życia, rozszerzając tę problematykę na transformację całkową.
4
Geneza transformacji sygnału
jednowymiarowego
T
t
f
j
a
a
dt
e
t
s
f
s
0
2
)
(
)
(
ˆ
)
(
)
(
t
n
s
n
s
a
Wprowadźmy dyskretyzację
n
N
0 1
1
, ,...,
1
0
2
)
(
)
(
ˆ
N
n
t
n
f
j
a
e
n
s
t
f
s
t T N
/ (
)
1
0
1
2
3
4
5
6
7
)
(n
s
Widmo sygnału analogowego
gdzie:
Wartość całki oznaczonej aproksymujemy „metodą prostokątów”
gdzie T jest czasem trwania sygnału.
N - ilość próbek
gęstość dyskretyzacji
5
Dyskretyzacja w dziedzinie częstotliwości
f
k f
k
2
/
)
1
(
,
2
/
)
3
(
,
...
,
2
/
)
3
(
,
2
/
)
1
(
N
N
N
N
k
2
/
2
1
2
/
)
1
(
p
m
N
f
f
N
t
N
f
f
N
f
N
(
)/
1 2
1
2
f
N t
T
t
1
1
a z nich wynika
-1
0
1
0
)
(
ˆ f
s
kHz
Dyskretne widmo będziemy wyznaczać w punktach
Aby były rozłożone równomiernie i obejmowały
zarówno dodatnie jak i ujemne wartości
Położenie skrajnych punktów musi: uwzględniać założenia tw. Shanona
i wynikać z powyższych założeń. Otrzymamy zatem dwa warunki:
6
Prototyp DFT
( )
( )
s
k
t
s
n w
kn
n
N
0
1
Wprowadzając oznaczenie
)
/
2
sin(
)
/
2
cos(
2
N
j
N
e
w
N
j
1
0
2
)
(
)
(
ˆ
)
(
ˆ
N
n
kn
N
j
k
a
e
n
s
t
k
s
f
s
otrzymujemy wartości widma dyskretnego
1
0
2
)
(
)
(
ˆ
N
n
t
n
f
j
a
e
n
s
t
f
s
t
N
k
f
k
f
k
Przybliżone wartości widma analogowego
obliczamy dla wybranych częstotliwości
otrzymując
7
Odwrotna dyskretna transformacja Fouriera
m
m
f
f
t
f
j
a
a
df
e
f
s
t
s
2
)
(
ˆ
)
(
s n
f
s k w
kn
k
( )
( )
Z widma ciągłego odtwarzamy sygnał analogowy
ang. Inverse Discrete Fourier Transform IDFT
N
j
e
w
2
Aproksymując wartość całki „metodą prostokątów” spodziewamy się otrzymać
dyskretne wartości sygnału
gdzie
8
Wzajemna jednoznaczność transformacji
DFT oraz IDFT
s n
N t
s k w
N t
w
t
s m w
kn
kn
km
m
N
k
k
( )
( )
( )
1
1
0
1
1
0
)
(
)
(
)
(
1
N
m
k
n
m
k
n
s
w
m
s
N
w
m n
N
m n
k m n
k
(
)
0
dla
dla
n
m
k
w
Re
n
m
k
w
Im
4
8
j
e
w
2
2
8
j
e
w
3
8
w
4
8
w
5
8
w
N
j
N
e
w
2
6
8
w
7
8
w
1
0
8
8
8
w
w
( )
( )
s
k
t
s
n w
kn
n
N
0
1
s n
f
s k w
kn
k
( )
( )
9
Przykład
Jakie jest widmo dyskretne sygnału
jeśli gęstość próbkowania wynosi
s
T
[
]
1 0
1 0 1 0
?
]
[
10
3
s
t
Sygnał posiada N=6 próbek. Spodziewamy się, że reprezentuje drgania
kosinusoidalne o okresie
czyli o częstotliwości
4
4 10
3
t
s
[ ]
.
]
[
250 Hz
f
10
Zakończenie przykładu
Numery próbek
Dyskretne widmo ma numerację
Gęstość dyskretyzacji w dziedzinie częstotliwości
Zatem widmo dyskretne jest obliczane dla częstotliwości [Hz]
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
n
5
,
2
;
5
,
1
;
5
,
0
;
5
,
0
;
5
,
1
;
5
,
2
k
]
[
3
/
500
10
6
1
1
3
Hz
t
N
f
3
/
1250
,
250
,
3
/
250
,
3
/
250
,
250
,
3
/
1250
T
s
0
10
3
0
0
10
3
0
ˆ
3
3
1
0
)
(
)
(
ˆ
N
n
kn
w
n
s
t
k
s
j
j
e
w
j
2
3
2
1
)
3
/
sin(
)
3
/
cos(
3
W oparciu o wzór
gdzie
otrzymujemy
11
Macierzowy zapis rozwiązania przykładu
Macierz współczynników
wyznacza obroty wektora
kn
0
2 5
5
7 5
10
12 5
0
1 5
3
4 5
6
7 5
0
0 5
1
1 5
2
2 5
0
0 5
1
1 5
2
2 5
0
1 5
3
4 5
6
7 5
0
2 5
5
7 5
10
12 5
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
j
e
w
j
2
3
2
1
3
6
Numer wiersza
Numer kolumny
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
n
5
,
2
;
5
,
1
;
5
,
0
;
5
,
0
;
5
,
1
;
5
,
2
k
s
W
t
s
ˆ
N
N
kn
C
w
W
gdzie
12
Koniec przykładu w zapisie macierzowym
2
2
3
2
3
2
1
2
3
2
1
2
2
3
1
1
1
1
2
2
3
2
3
2
1
2
3
2
1
2
2
3
1
2
2
3
2
3
2
1
2
3
2
1
2
2
3
1
1
1
1
2
2
3
2
3
2
1
2
3
2
1
2
2
3
1
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
w
W
kn
T
s
W
t
s
0
10
3
0
0
10
3
0
ˆ
3
3
Dla rozważanego przykładu macierz przekształcenia ma postać
i otrzymujemy
T
f
3
/
1250
,
250
,
3
/
250
,
3
/
250
,
250
,
3
/
1250
dla częstotliwości
13
Okresowość widma DFT
(
)
( )
s k N
s k
bo
)
/
2
sin(
)
/
2
cos(
2
N
j
N
e
w
N
j
( )
( )
s
k
t
s
n w
kn
n
N
0
1
1
0
2
/
2
sin
2
/
2
cos
)
(
)
(
ˆ
N
n
n
N
nk
j
n
N
nk
n
s
t
k
s
1
0
/
2
sin
/
2
cos
)
(
)
(
ˆ
N
n
N
nk
j
N
nk
n
s
t
k
s
Otrzymaliśmy wzór
gdzie
czyli
Funkcje trygonometryczne powodują, że widmo jest funkcją o okresie N, tzn.
14
Racjonalizacja DFT
k
N
0 1 2
1
, , ,...,
N
T
k
f
N
f
f
f
)
1
(
...,
,
2
,
,
0
t
k
s
k
s
)
(
ˆ
)
(
ˆ
Przyjmujemy
f
k
f
k
Skoro
to
Wprowadzamy nową funkcję dyskretną
( )
( )
s
k
t
s
n w
kn
n
N
0
1
Przy tych dwóch założeniach wzór
przyjmie ostateczną postać dyskretnej transformacji Fouriera.
15
Definicja DFT oraz IDFT
1
0
)
(
)
(
ˆ
N
n
kn
w
n
s
k
s
s n
N
s k w
kn
k
N
( )
( )
1
0
1
s W s
N
N
kn
C
W
N
w
N
W
*
1
1
1
)
/
2
sin(
)
/
2
cos(
2
N
j
N
e
w
N
j
gdzie
1
,
,
2
,
1
,
0
,
N
n
k
Dyskretna transformacja Fouriera zdefiniowana jest wzorem
a odwrotna dyskretna transformacja Fouriera wzorem
Przekształcenie DFT można zapisać macierzowo
Elementy macierzy W powstają przez podniesienie do potęgi kn wartości zespolonej
przy czym k jest numerem wiersza a n numerem kolumny. Numeracja rozpoczyna się
od zera bo
Macierz przekształcenia w odwrotnej dyskretnej transformacji Fouriera
N
N
kn
C
w
W
s
W
s
ˆ
1
ma postać
16
Własności DFT
1. Zależność pomiędzy widmem dyskretnym a widmem sygnału
analogowego
)
(
ˆ
)
(
ˆ
f
k
s
t
k
s
a
2. Ilość dyskretnych wartości widma jest równa ilości próbek
czasowych sygnału.
3. Gęstość dyskretyzacji widma
f
N t
T
t
1
1
t T
N
/ (
)
1
gdzie
2
/
N
k
dla
17
Własności DFT
4. Szerokość widma:
Dla nieparzystej ilości próbek
f
f
N
t N
f
N
N
N
T N
N
p
max
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
2
Dla otrzymujemy
N
f
f
p
max
/
2
Dla parzystej ilości próbek
f
f
t
f
N
T
N
p
max
2
1
2
2
1
2
18
Własności DFT
5. Macierz W jest nieosobliwa i symetryczna, jej elementy są na ogół
zespolone a ich moduły są zawsze równe 1. Macierz odwrotna do niej
W
W
N
1
/
6. Liniowość DFT, tzn.
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
)
(
2
1
2
1
k
s
b
k
s
a
n
s
b
n
s
a
7. Przesunięcie w dziedzinie czasu
s n n
s k w
kn
(
)
( )
0
0
9. Zachowanie energii czyli dyskretna postać twierdzenia Parsevala
1
0
1
0
2
2
)
(
ˆ
1
)
(
N
n
N
k
k
s
N
n
s
s n s n
N
s m s k m
m
N
1
2
1
2
0
1
1
( ) ( )
( ) (
)
8. Modulacja
bo
1
0
1
0
0
0
0
)
(
)
(
N
n
n
N
n
m
km
kn
kn
w
m
s
w
w
n
n
s
bo
2
1
2
1
bWs
aWs
bs
as
W
19
Graficzna prezentacja przykładu DFT
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0.5
1
1.5
2
sygna
ł
czas
1
2
3
4
5
6
7
8
0
2
4
6
8
widmo amplitudowe
częstotliwość
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-0.5
0
0.5
1
widmo fazowe
częstotliwość
20
Prezentacja przykładu
Gęstość próbkowania wynosi
. Jakie jest widmo
dyskretne sygnału
t
s
0 001
,
[ ]
?
1
0
1
2
1
0
1
2
T
s
2
2
1
j
2
2
1
j
2
2
1
j
2
2
1
j
k
w
Re
k
w
Im
Np. dla N=8
2
2
1
)
4
/
sin(
)
4
/
cos(
8
2
8
j
j
e
w
j
Obliczamy
Podnosząc tę liczbę do potęgi całkowitej otrzymamy tylko jedną z ośmiu
możliwości przedstawionych na poniższym rysunku.
21
Macierzowy zapis przykładu
Udowodnimy, że sygnał zawiera składową stałą i drgania o okresie 4 [ms],
czyli o częstotliwości
]
[
250 Hz
f
)
7
(
)
6
(
)
5
(
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
0
(
)
7
(
ˆ
)
6
(
ˆ
)
5
(
ˆ
)
4
(
ˆ
)
3
(
ˆ
)
2
(
ˆ
)
1
(
ˆ
)
0
(
ˆ
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
2
2
1
j
2
2
1
j
2
2
1
j
2
2
1
j
Gęstość próbkowania wynosi
. Jakie jest widmo
dyskretne sygnału
]
[
001
,
0
s
t
?
1
0
1
2
1
0
1
2
T
s
22
Rozwiązanie przykładu
T
s
0
4
0
0
4
0
8
ˆ
0
Próbkowanie częstotliwości
Sygnał ma składową stałą i drgania o częstotliwości
Szerokość widma wynosi
czyli jest równa
częstotliwości Nyquista
.
]
[
125
1
Hz
t
N
f
2
250
f
Hz
[
]
f
f
Hz
max
[
]
4
500
Wyliczamy
23
Jeszcze raz ten sam przykład
Jakie jest widmo dyskretne sygnału
jeśli gęstość próbkowania wynosi
s
T
[
]
1 0
1 0 1 0
?
]
[
10
3
s
t
Sygnał posiada N=6 próbek. Reprezentuje drgania kosinusoidalne o okresie
czyli o częstotliwości
4
4 10
3
t
s
[ ]
.
]
[
250
4
1
Hz
t
f
Gęstość dyskretyzacji w dziedzinie częstotliwości wynosi
]
[
3
/
500
10
6
1
1
3
Hz
t
N
f
czyli widmo będzie wyliczane dla częstotliwości
3
/
1000
3
1
,
3
/
500
6
1
,
0
t
t
Zatem, nie trafiamy w częstotliwość 250 [Hz].
24
Co zatem wyliczymy?
j
e
w
j
2
3
2
1
3
6
s
W
s
ˆ
gdzie
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
1
1
1
1
1
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
1
1
1
1
1
1
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
W
T
j
j
j
j
s
3
1
3
1
1
3
1
3
1
1
ˆ
A przecież składowej stałej i częstotliwości 167 [Hz] oraz 333 [Hz]
nie ma w sygnale! Jest tylko 250 [Hz].
T
s
2
2
1
2
2
1
ˆ
25
Dwuwymiarowa transformacja Fouriera jako
geneza dyskretnej transformacji obrazów
dy
dx
e
y
x
s
f
f
s
y
f
x
f
j
y
x
y
x
)
(
2
)
,
(
)
,
(
ˆ
Widmo częstotliwościowe obrazu analogowego zdefiniowane jest wzorem
Widmo rzeczywiste w trzeciej ćwiartce jest kopią widma z pierwszej i podobnie z czwartej jest kopią z drugiej.
Widmo urojone w trzeciej ćwiartce ma przeciwny znak niż widmo z pierwszej i podobnie z czwartej, przeciwny znak
niż w drugiej.
Odtwarzanie obrazu analogowego z jego widma częstotliwościowego dokonywane
jest przy pomocy wzoru
Wzory te wykorzystamy do wyprowadzenia dyskretnej transformacji
sygnałów dwuwymiarowych, czyli 2-D DFT.
s x y
s f
f e
df df
x
y
j f x f y
x
y
x
y
( , )
( , )
(
)
2
dy
dx
y
f
x
f
y
x
s
j
dy
dx
y
f
x
f
y
x
s
f
f
s
y
x
y
x
y
x
)
(
2
sin
)
,
(
)
(
2
cos
)
,
(
)
,
(
ˆ
26
Geneza dyskretnej transformacji obrazów
s x y
s f
f e
df df
x
y
j f x f y
x
y
x
y
( , )
( , )
(
)
2
x
N
j
x
e
w
2
y
N
j
y
e
w
2
x
y
y
y
x
x
k
k
n
k
y
n
k
x
y
x
y
x
y
x
w
w
k
k
s
f
f
n
n
s
)
,
(
ˆ
)
,
(
x
y
y
y
x
x
n
n
n
k
y
n
k
x
y
x
y
x
w
w
n
n
s
y
x
k
k
s
)
,
(
)
,
(
ˆ
Obliczając przybliżone wartości całek oznaczonych
( , )
( , )
(
)
s f
f
s x y e
dx dy
x
y
j f x f y
x
y
2
otrzymujemy
gdzie
27
Dyskretna transformacja sygnału
dwuwymiarowego
1
0
1
0
,
,
ˆ
x
x
y
y
y
y
x
x
N
n
N
n
k
n
y
k
n
x
y
x
y
x
w
w
n
n
s
k
k
s
1
0
1
0
,
ˆ
1
,
x
x
y
y
y
y
x
x
N
k
N
k
k
n
y
k
n
x
y
x
y
x
y
x
w
w
k
k
s
N
N
n
n
s
y
x
f
k
f
k
s
y
x
k
k
s
k
k
s
y
y
x
x
y
x
y
x
)
,
(
ˆ
)
,
(
ˆ
)
,
(
ˆ
1
,...,
2
,
1
,
0
x
x
N
k
Przyjmujemy
oraz
i wprowadzamy nową funkcję dyskretną
Przy tych dwóch założeniach otrzymujemy wzory:
1
,...,
2
,
1
,
0
y
y
N
k
- dyskretnej transformacji Fouriera obrazów
- odwrotnej dyskretnej transformacji Fouriera obrazów
28
Macierzowy zapis 2-D DFT
y
x
W
s
W
s
ˆ
gdzie
y
x
N
N
y
x
C
k
k
s
s
)
,
(
ˆ
ˆ
x
W
y
W
są macierzami symetrycznymi
x
x
x
x
N
N
k
n
x
x
C
w
W
1
,...,
0
,
x
x
x
N
n
k
x
k numer kolumny macierzy
numer wiersza macierzy
x
n
y
y
y
y
N
N
k
n
y
y
C
w
W
1
,...,
0
,
y
y
y
N
n
k
numer kolumny
y
k
numer wiersza
y
n
sˆ
s
x
W
y
W
y
x
N
N
y
x
n
n
s
s
)
,
(
oraz
29
Przykład 2-D DFT
Widmo amplitudowe z pierwszej ćwiartki jest identyczne jak widmo
z trzeciej i podobnie, w czwartej identyczne jak w drugiej.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
Mbaku id 289860 Nieznany
Probiotyki antybiotyki id 66316 Nieznany
miedziowanie cz 2 id 113259 Nieznany
LTC1729 id 273494 Nieznany
D11B7AOver0400 id 130434 Nieznany
analiza ryzyka bio id 61320 Nieznany
pedagogika ogolna id 353595 Nieznany
Misc3 id 302777 Nieznany
cw med 5 id 122239 Nieznany
D20031152Lj id 130579 Nieznany
mechanika 3 id 290735 Nieznany
więcej podobnych podstron