Metoda symboliczna...

2013

K.M.Gawrylczyk

1/7

Metoda symboliczna

(liczb zespolonych)

Postacie liczb zespolonych

( )

j

2

2

*

*

j

j ,

,

,

acrtg

cos ,

sin ,

j ,

b

z

a

b

z

z e

z

a

b

a

a

z

b

z

z

a

b

z

z e

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

= +

=

=

+

=

±π

=

=

= −

=

Wzór Eulera

j

cos

j sin

e

ϕ

ϕ

ϕ

=

+ ⋅

Niektóre działania na liczbach zespolonych

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

j

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

*

1

1

1

2

j

1

2

1

2

1

2

2

1

2

*

2

2

2

2

2

j

e

j

j

e

z

z

a

a

b

b

z

z

z

z

a a

b b

a b

a b

z

z

z z

a a

b b

a b

a b

z

z z

z

z

ϕ ϕ

ϕ ϕ

+

−

+

=

+

+

+

⋅

=

⋅

=

⋅ − ⋅

+

⋅ + ⋅

⋅ + ⋅

−

⋅ − ⋅

=

=

=

Metoda symboliczna...

2013

K.M.Gawrylczyk

2/7

Pierwiastkowanie liczby zespolonej

o

360

j

1

e

k

n

n

n

z

z

z

ϕ+ ⋅

=

=

⋅

Pierwiastek kwadratowy:

o

j

180

2

1,2

e

,

0,1

k

z

z

z

k

ϕ

+ ⋅

=

=

⋅

=

Pierwiastek sze

ś

cienny z „1”

o

j

120

3

3

3

1,2,3

e

,

0,1, 2

k

z

z

z

k

ϕ

+ ⋅

=

=

⋅

=

Metoda symboliczna...

2013

K.M.Gawrylczyk

3/7

Zastosowanie metody symbolicznej w teorii obwodów

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

j

j

sin

e

cos

j sin

(wzór Eulera)

Przekształcenie odwrotne:

sin

Imag e

t

t

t

t

t

t

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

+

+

+

⇒

=

+

+ ⋅

+

+

=

Przekształcenie równań do postaci symbolicznej

na przykładzie obwodu RLC

Chcemy wyznaczyć napięcie u(t) zasilające obwód RLC, czyli jego U

m

oraz

φ

.

Dany jest prąd i(t) oraz wartości elementów R,L,C:

(

)

m

R

L

C

m

m

m

m

( )

sin

( )

( )

( )

( )

1

sin

sin

sin

sin

2

2

i t

I

t

u t

u t

u t

u t

R I

t

L I

t

I

t

U

t

C

ω

ω ω

ω

ω

ω ϕ

ω

=

+

+

=

π

π









+

+

+

−

=

+

















Zamieniamy funkcje sinus na funkcje eksponencjalne:

(

)

j

j

j

j

2

2

m

m

m

m

j

j

j

j

j

j

j

2

2

m

m

m

m

j

j

j

2

2

j

1

e

e

e

e

1

e

e e

e

e

e e

e

j, e

j, upraszczamy e oraz dzielimy przez

2 :

1

j

j

e

1

j

t

t

t

t

t

t

t

t

t

R I

L I

I

U

C

R I

L I

I

U

C

R I

L I

I

U

C

I R

L

C

Z

ω

ω

ω ϕ

ω

ω

ω

ω

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

π

π









+

−









+









π

π

−

π

π

−

+

+

=

+

+

=

=

= −

+

−

=









+

−

























j

e

,

U

U

I Z

U

ϕ

=

=

⋅ =

Metoda symboliczna...

2013

K.M.Gawrylczyk

4/7

Prawa Kirchhoffa w postaci symbolicznej

Pierwsze prawo Kirchhoffa dla prądów zmiennych:

(

)

( )

( )

( )

( )

j

j

j

0,

sin

e

,

2 Imag

e

2 Imag

e

0,

2

Re

sin

Im

cos

0,

Re

0,

Im

0,

0

j0.

n

n

t

n

n

m

n

n

n

n

n

N

t

n

N

n

n

N

n

n

n

N

N

N

i

i

I

t

I

I

i

I

I

I

t

I

t

I

I

I

ϕ

ω

ω

ω ϕ

ω

ω





=

=

+

⇒

=

=

⋅

⋅









⋅

⋅

=









⋅

⋅

+

⋅

=





=

=

= +

∑
∑

∑

∑

∑

∑

Podobne wyprowadzenie mo

ż

na przeprowadzi

ć

dla drugiego prawa Kirchhoffa

otrzymuj

ą

c:

0.

m

M

U

=

∑

Tak wi

ę

c prawa Kirchhoffa obowi

ą

zuj

ą

dla zapisu symbolicznego.

Połączenie równoległe elementów

C

L

1

1

j

j

j

j

1

1

1

1

j

j ,

,

.

R

L

C

U

U

I

I

I

I

C U

C U

Y U

R

L

R

L

Y

C

G

B

G

B

C

B

B

R

L

R

L

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω





=

+

+

= +

+

⋅ =

+

+

= ⋅













= −

−

= +

=

=

−

=

−









Metoda symboliczna...

2013

K.M.Gawrylczyk

5/7

Wyrażenie admitancji zespolonej przy pomocy impedancji zespolonej

1

Y

Z

=

Na przykład, dla gałęzi szeregowej mamy impedancję

j

Z

R

X

= + ⋅

Wtedy admitancja obwodu wynosi:

2

2

2

2

1

1

j

j

j

j

j

j

R

X

R

X

Y

G

B

R

X

R

X R

X

R

X

R

X

− ⋅

=

=

⋅

=

− ⋅

= + ⋅

+ ⋅

+ ⋅

− ⋅

+

+

Czyli, konduktancja gałęzi szeregowej wynosi:

2

2

2

2

, a jej susceptancja:

R

X

G

B

R

X

R

X

−

=

=

+

+

przy czym zachodzi:

C

L

B

B

B

=

−

.

Moce przy zapisie symbolicznym

Rozpatrzmy gałąź szeregową

RL. Ponieważ ma ona charakter indukcyjny, kąt φ

jest dodatni i leży w pierwszej ćwiartce (patrz wykresy na następnej stronie).
Moce można wyrazić jako:

2

2

2

cos

, gdzie

jest wartością skuteczną prądu,

sin

, a

jest wartością skuteczną napięcia.

P

U

I

R I

I

I

Q

U

I

X

I

U

U

S

U

I

Z

I

ϕ

ϕ

=

⋅ ⋅

= ⋅

=

=

⋅ ⋅

= ⋅

=

=

⋅ =

⋅

Wprowadzamy moc pozorną zespoloną (definicja):

j

S

P

Q

= +

Dla gałęzi szeregowej RL jest wtedy:

2

2

2

*

*

j

S

R I

X

I

Z I

Z I I

U I

= ⋅

+ ⋅ ⋅

= ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

Wzór ten można uogólnić na inne obwody.

Metoda symboliczna...

2013

K.M.Gawrylczyk

6/7

Wykresy trójkątowe (wskazowe) dla gałęzi RL przy zapisie symbolicznym.

Metoda symboliczna...

2013

K.M.Gawrylczyk

7/7

Kondensator rzeczywisty

Układ zastępczy kondensatora rzeczywistego i jego wykres wektorowy

Kondensator rzeczywisty charakteryzuje pewien prąd I

cz

(czynny) płynący w dielektryku

(izolatorze). Ma on oczywiście charakter rezystancyjny i jest w fazie z napięciem. Kąt

δ

pokazany na rysunku nazywany jest kątem stratności i odgrywa ważną rolę w układach
izolacyjnych, świadcząc o ich jakości. Jeżeli przyjmiemy płaski model budowy kondensatora,
można podać wzór przybliżony:

=

,

, stąd:

konduktywność el. izolatora,

1

tg

przenikalność dielektr. izolatora.

l

S

R

C

S

l

R C

ε

γ

γ

δ

ω

ωε

⋅

=

⋅

←

=

=

←

Ze wzoru tego wynika fakt, że tg

δ

rośnie dla małych częstotliwości, czyli jego pomiar

będzie najdokładniejszy przy zastosowaniu bardzo niskiej częstotliwości.

Cewka rzeczywista

Układ zastępczy cewki rzeczywistej i jego wykres wektorowy

Dobroć cewki:

L

L

Q

R

ω

=