Metoda Symboliczna

Metoda

symboliczna

sprowadza

wszystkie operacje różniczkowe i
całkowe do działań algebraicznych
na liczbach zespolonych

1

METODA SYMBOLICZNA

OPIS ELEMENTÓW LINIOWYCH

REZYSTANCJA

R

i

u

u= i R

i

u

2

METODA SYMBOLICZNA

OPIS ELEMENTÓW LINIOWYCH

INDUKCYJNOŚĆ

i



















dt

u

L

i

dt

di

L

dt

d

u

i

L

1

L

i

u



3

METODA SYMBOLICZNA

OPIS ELEMENTÓW LINIOWYCH

POJEMNOŚĆ

u

q

C

i

u

q













dt

i

C

u

dt

du

C

dt

dq

i

u

C

q

1

4

METODA SYMBOLICZNA

ELEMENTY LINIOWE PRZY POBUDZENIACH

HARMONICZNYCH

R

L

C

K

e

i

u

R

u

C

u

L

i =



I



sin(



t

+



)











dt

i

C

u

dt

di

L

u

R

i

u

C

L

R

1



















dt

i

C

dt

di

L

R

i

u

u

u

e

C

L

R

1

I Z =
E

Z

5

METODA SYMBOLICZNA

ELEMENTY LINIOWE PRZY POBUDZENIACH

HARMONICZNYCH

OPORNIK
IDEALNY

R, G

i(t
)

u(t
)

R =
1/G

u = R i lub i
= G u

Dla sinusoidalnego wymuszenia prądowego:

i(t) =

I

m

sin(



t+



)

napięcie na rezystorze wyniesie:

u(t) = R I

m

sin(



t+



)

U

m

= R

I

m

Dla sinusoidalnego wymuszenia napięciowego:

u(t) =

U

m

sin(



t+



)

Prąd płynący przez rezystor wyniesie:

i(t) = G

U

m

sin(



t+



)

I

m

= G

U

m

t

T



i(t)

u(t
)

6

METODA SYMBOLICZNA

ELEMENTY LINIOWE PRZY POBUDZENIACH

HARMONICZNYCH

IDEALNA CEWKA
INDUKCYJNA

 = L

i

Dla sinusoidalnego wymuszenia prądowego:

i(t) =

I

m

sin(



t+



)

L

i(t
)

u(t
)











dt

u

L

i

dt

di

L

dt

d

u

1

)

2

sin(

)

cos(

)]

(

[

)

(

























t

U

t

LI

t

i

dt

d

L

t

u

m

m

U

m

=



L·I

m

, U

m

= X

L

·I

m

, X

L

=



L

W cewce napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy
równy /2 !!!

7

METODA SYMBOLICZNA

ELEMENTY LINIOWE PRZY POBUDZENIACH

HARMONICZNYCH

t

T



i(t)

u(t
)



/

2

i

u

L

i

u



8

METODA SYMBOLICZNA

ELEMENTY LINIOWE PRZY POBUDZENIACH

HARMONICZNYCH

KONDENSATOR IDEALNY

q = C
u

Dla sinusoidalnego wymuszenia napięciowego:

u(t) =

U

m

sin(



t+



)









dt

i

C

u

dt

du

C

dt

dq

i

1

)

2

sin(

)

cos(

)]

(

[

)

(

























t

I

t

CU

t

u

dt

d

C

t

i

m

m

W kondensatorze prąd wyprzedza napięcie o kąt
fazowy równy /2 !

C

i(t
)

u(t
)

C

X

I

X

U

I

C

U

U

C

I

C

m

c

m

m

m

m

m







1

,

,

1











9

METODA SYMBOLICZNA

ELEMENTY LINIOWE PRZY POBUDZENIACH

HARMONICZNYCH

t

T



i(t)

u(t
)



/

2

u

i

C

i(t
)

u(t
)

10

METODA SYMBOLICZNA

ELEMENTY LINIOWE PRZY POBUDZENIACH

HARMONICZNYCH

R

L

C

K

e

i

u

R

u

C

u

L

i =



I



sin(



t

+



)











dt

i

C

u

dt

di

L

u

R

i

u

C

L

R

1



















dt

i

C

dt

di

L

R

i

u

u

u

e

C

L

R

1

I Z =
E

Z

11

METODA SYMBOLICZNA

Struktura

obwodu oraz

wymuszenia

w dziedzinie

czasu

(harmoniczne

)

Układ

równań

różniczko

wo-

całkowych

Odpowiedz

i w

dziedzinie

czasu

Transform

acja w

dziedzinę

częstotliwo

ści

Układ

równań

liniowych

(zespolony

ch)

Transformac

ja odwrotna

w dziedzinę

czasu

12

METODA SYMBOLICZNA

WEKTOR I LICZBA ZESPOLONA

Re Z

Im
Z

|
Z|

a

b



WEKTOR na
płaszczyźnie:
uporządkowana para
liczb

]

,

[

lub

]

,

[



Z

Z

b

a

Z









LICZBA ZESPOLONA: para liczb
rzeczywistych

- postać algebraiczna: Z = a + jb
- postać trygonometryczna: Z = |Z|
{cos + j sin}
- postać wykładnicza: Z = |Z| e

j

Wzór Eulera:

13

METODA SYMBOLICZNA

WIRUJĄCY WSKAZ

t

Im
Z

R

e

Z

t

Z =|Z|
·e

j(t+)

=

Re(Z) + j
Im(Z)

Re(Z) = |Z|
cos(t+)

Im(Z) = |Z|
sin(t+)

14

METODA SYMBOLICZNA





/2

Z

1

Z

2

Re
Z

Im
Z

Z

1

= |Z

1

| e

j(t+)

Z

2

= |Z

2

| e

j(t++/2)

Z

2

= |Z

1

| e

j(t+)

e

j(/2)

=

j

Z

1

Obrót wektora o kąt +/2

odpowiada mnożeniu liczby

zespolone przez j

Im
Z





/2

I

m

U

m

Re
Z

U

m

= j k

I

m

IMPEDANCJ
A

15

METODA SYMBOLICZNA

POJĘCIE IMPEDANCJI

Z = R + j
X

REZYSTANCJ
A

REAKTANCJ
A

Reaktanc
ja

L

X

L





C

X

C



1





-
indukcyjnościo
wa

- pojemnościowa

16

METODA SYMBOLICZNA

POJĘCIE ADMITANCJI

Y = G + j
B

KONDUKTANC
JA

SUSCEPTANCJ
A

Susceptanc
ja

-
indukcyjnościo
wa

- pojemnościowa

Z

Y

1



17

METODA SYMBOLICZNA

PRZYKŁADY

L

R

C

Z

Y

R

R

1

L

j



L

j

L

j





1

1





C

j

C

j





1

1





C

j



18

METODA SYMBOLICZNA

PRZYKŁADY

L

R

Z

C

R

L

R

C

L

j

R

Z







C

j

R

C

j

R

Z





1

1



























C

L

j

R

Z





1

19

METODA SYMBOLICZNA

PRZYKŁADY

Y

L

j

R

L

j

R

Y





1

1

1

1









C

j

R

Y







1



















L

C

j

R

Y





1

1

L

R

C

R

L

R

C

20

METODA SYMBOLICZNA

WYKRESY WSKAZOWE



i

L

u

R1

u

L

u

C

i

C

i

u

R

2

u







2

1

1

1

1

R

C

L

j

R

C

j

L

j

R

Z

































L

R

1

C

R

2

i

C

i

L

i

u

C

u

R1

u

L

u

R2

u

21

METODA SYMBOLICZNA

WYKRESY WSKAZOWE

L

R

1

C

R

2

i

C

i

L

i

u

C

u

R1

u

L

u

R2

u











2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

















LC

C

R

LC

R

R

LCR

C

R

R

LCR

Z















 











2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

















LC

C

R

C

R

R

L

LC

R

R

LCR

C

R

j















22

METODA SYMBOLICZNA

REZYSTOR RZECZYWISTY

R

23

METODA SYMBOLICZNA

REZYSTOR RZECZYWISTY

R

24

METODA SYMBOLICZNA

REZYSTOR RZECZYWISTY

R

Zjawisko
naskórkowości:

25

METODA SYMBOLICZNA

SCHEMATY ZASTĘPCZE KONDENSATORA

RZECZYWISTEGO

R

r

i

u

Układ
równoległy:

Układ
szeregowy:

i

u

u

R

u

C

i

R

i

C

C

r

C

s

R

s

i

u





r

r

r

C

R

tg





1



s

s

s

C

R

tg





26

METODA SYMBOLICZNA

SCHEMATY ZASTĘPCZE KONDENSATORA

RZECZYWISTEGO

Wartość współczynnika strat (tg) dla ustalonej

częstotliwości nie zależy od wybranego schematu

zastępczego kondensatora rzeczywistego.











2

2

2

1

1

tg

C

C

tg

tg

R

R

r

s

r

s









Dla kondensatorów małostratnych (tg  0):

R

s

 R

r

tg

2

 C

s

 C

r

27

METODA SYMBOLICZNA

SCHEMATY ZASTĘPCZE CEWKI

RZECZYWISTEJ

R

s

i

u

Układ
równoległy:

Układ
szeregowy:

u

i

R

r

L

s

L

r

u

R

u

L

i

R

i

L

DOBROĆ:

)

( f

R

L

Q

s

s

s









28

METODA SYMBOLICZNA

SCHEMATY ZASTĘPCZE CEWKI

RZECZYWISTEJ

Dla ustalonej częstotliwości zachodzi
równoważność:





2

2

2

1

1

s

s

s

r

s

s

r

Q

Q

L

L

Q

R

R









Dla cewek o dużej dobroci:

R

r

 R

s

Q

2

s

; L

r

 L

s

29

Zadanie 1

30

R

C

L

• Z=200



dla

0

• Z=(40+j20)



dla

4·10

3

rad/s

R=?
L=?
C=?

Zadanie 2

31

R

C

L

U

R

U

U

C

U

L

I

U

Lm

= 6V

U

Rm

= 3V

U

Cm

= 2V

U

m

= ?