OBJ
TOŚĆ KULI
Załóżmy, że wiemy jaki jest wzór na pole powierzchni kuli. Ktoś nam powiedział.
P = 4Ä„ r2
Czy ta wiedza pomoże nam znalez
ć wzór na objętość kuli? Okazuje się, że tak.
Objętość kuli jest proporcjonalna do trzeciej potęgi promienia. Możemy napisać, że
V = Ar3
Naszym zadaniem jest wyznaczenie współczynnika A. Po jego wyznaczeniu będziemy znać wzór na objętość kuli.
Wez
my kulę o promieniu r. Powiększmy jej promień o bardzo mały odcinek dr. Jaka jest objętość powłoki kulistej o
grubości dr (na poniższym rysunku jest ona widoczna jako szary pierścień)? Obliczmy ją na dwa sposoby.
Powłoka ta nie jest oczywiście graniastosłupem, choćby dlatego, że górna i dolna  podstawa (czyli powierzchnia kuli
o promieniu r + dr i powierzchnia kuli o promieniu r) nie są równe. W przybliżeniu jednak możemy napisać, że
objętość ta to dV = pole dolnej podstawy razy  wysokość dr.
dV = 4Ä„ r2 Å" dr
Ten wzór jest niedokładny, ale zmniejszając dr możemy wynik obliczenia uczynić dokładniejszym. Wynik ten będzie
przybliżał prawdziwą objętość tak dokładnie jak tylko chcemy, wystarczy odpowiednio zmniejszyć dr.
Inny sposób obliczenia tej objętości to odjęcie objętości kuli mniejszej od objętości kuli większej.
3
dV = V(r + dr)-V(r)= A(r + dr) - Ar3
3
Korzystamy ze wzoru (a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
2 3 2 3
dV = A(r3 + 3r2dr + 3r(dr) + (dr) )- Ar3 = A(3r2dr + 3r(dr) + (dr) )
Te dwie objętości dV są w przybliżeniu równe, bo pierwszy wzór jest przybliżony, a drugi dokładny. Staną się równe
wtedy, gdy będziemy zbliżać się z dr do zera.
Czyli
2 3
4Ä„ r2dr = A(3r2dr + 3r(dr) + (dr) ) gdy dr 0
2 3
4Ä„ r2dr = A(3r2dr + 3r(dr) + (dr) )/ : dr
2
4Ä„ r2 = A(3r2 + 3rdr + (dr) )
Gdy przejdziemy z dr do zera, otrzymamy:
4Ä„ r2 = AÅ"3r2 / : r2
4Ä„ = 3A
StÄ…d
4
A = Ä„
3
Mamy więc wzór na objętość kuli
4
V = Ä„ r3
3
Więcej na stronie http://www.traugutt.edu.pl/