Michał Przybyliński, Materiały do zajęć z
Ekonometrii
Pojęcie modelu
Model ekonometryczny
Model jest to uproszczone przedstawienie rzeczywistości.
Modele mogą przyjmować różną postać. Modelami są na
Lawrence R. Klein:
przykład teorie ekonomiczne  wyrażone w postaci opisu
Model jest to schematyczne uproszczenie, pomijające nieistotne
słownego, wykresu lub równania matematycznego.
aspekty w celu wyjaśnienia wewnętrznego działania, formy lub
konstrukcji bardziej skomplikowanego mechanizmu.
Model ekonometryczny to równanie lub układ równań
(nierówności) dotyczący zjawisk ekonomicznych.
Główną zaletą modelu jest możliwość taniego i bezpiecznego
Modele ekonometryczne różnią się od modeli ekonomicznych
przeprowadzania eksperymentów  symulowania rzeczywistych
procesów. Najczęściej model kojarzy się z postacią fizyczną, na przede wszystkim tym, że są konstruowane z myślą o ich
przykład samolotem w zmniejszonej skali, ale często także
empirycznej weryfikacji i praktycznym zastosowaniu.
posługujemy się modelami słowno-logicznymi, graficznymi, czy też
matematycznymi. Modelami można nazwać teorie ekonomiczne.
Przykład modelu ekonometrycznego
Klasyfikacja modeli ekonometrycznych
Poniższe modele opisują zależność spożycia od dochodów w skali
Ze względu na postać funkcji:
makro.
Liniowe Nieliniowe
Ct = ą + �Dt + �t Ci = ą + �Di +�i
Ze względu na występowanie elementów losowych:
ą, � - parametry
ą, � - parametry
Deterministyczne Stochastyczne
� - składnik losowy
� - składnik losowy
C  spożycie z dochodów C  spożycie z dochodów Ze względu na charakter analizowanych związków:
indywidualnych w pewnym kraju indywidualnych w pewnym roku
Przyczynowo-skutkowe Symptomatyczne
w mln USD (zmienna objaśniana) w mln USD (zmienna objaśniana)
D  dochody osobiste ludności w D  dochody osobiste ludności w Ze względu na czynnik czasu:
tym kraju w mln USD (zmienna tym samym roku w mln USD Statyczne opisują zależności w obrębie jednego okresu (momentu)
objaśniająca) (zmienna objaśniająca) Dynamiczne uwzględniają czynnik czasu  zawierają opóz
nienia lub
zmienną czasową. Szczególnym przypadkiem modelu dynamicznego
t  numer okresu (np. roku) i  numer kraju jest model autoregresyjny
Etapy analizy ekonometrycznej
Modele jedno- i wielorównaniowe
Ze względu na ilość równań:
Opracowanie założeń
Teoria Dane
Jednorównaniowe Wielorównaniowe
Modele wielorównaniowe ze względu na powiązania pomiędzy
Budowa modelu:
zmiennymi dzielimy na:
1) Dobór zmiennych objaśniających 2) Wybór postaci modelu
Proste
Estymacja parametrów:
Rekurencyjne
1) Aspekt numeryczny 2) Aspekt statystyczny
O równaniach współzależnych
W odniesieniu do modeli wielorównaniowych używamy pojęć:
Weryfikacja modelu:
Zmienna egzogeniczna 1) Weryfikacja merytoryczna 2) Weryfikacja statystyczna
Zmienna endogeniczna
Wykorzystanie modelu:
Zmienna z góry ustalona
1) Opis rzeczywistości 2) Prognozowanie 3) Symulacja
Michał Przybyliński, Materiały do zajęć z
Ekonometrii
Reszty
Model liniowy
et = yt - w
t
w
t = a1xt1 + a2xt 2 +K+ ak xtk
n n
2
et = 0 min
yt = a1xt1 + a2xt 2 +K+ ak xtk + et " "et
t =1 t=1
yt - obserwacja na zmiennej objaśnianej w okresie t,
n n
xtj - obserwacja na j-tej zmiennej objaśniającej w okresie t,
et2 = ( yt - w
t )2 =
" "
aj - parametr występujący przy j-tej zmiennej objaśniającej,
t =1 t =1
t = 1, 2, ..., n.
n
2
Jeśli obserwujemy n obiektów w tym samym okresie użyjemy
= [yt - (a1xt1 + a2 xt 2 + K + ak xtk )]
"
subskryptu i zamiast t.
t =1
Wzór MNK  Metoda Najmniejszych
Zapis macierzowy
Kwadratów
Ponieważ opracowano wiele modyfikacji tej metody, poniższą formułę
y1
�ł łł
x11 x12 ... x1k �ła1łł �łe1łł określa się także jako Klasyczną Metodę Najmniejszych Kwadratów
�ł łł
(KMNK), po angielsku Ordinary Least Squares (OLS)
�ły śł
�łx x22 ... x2kśł �ła2śł �łe2śł
2 n
�ł śł �ł śł �ł śł
21
�ł śł
et2 = eTe = (y - Xa )T (y - Xa ) =
"
�ł śł �ł �ł
. . . . .
śł, a=�ł . śł e=�ł . śł
t =1
y=�ł śł, X=�ł
śł, śł,
�ł śł
. . . . . . .
�ł śł �ł śł �ł śł
= yTy - 2aTXTy + aTXTXa min
�ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
. . . . . . .
�ł śł
�ł śł
- 2XTy + XTXa = 0 XTXa = XTy
�ł śł
xn2 ... xnk�ł �ł śł �ł śł
�łxn1
n
�ł śł �ł śł �ł śł
�ły �ł �łak�ł �łen�ł
-1
e = y - w
a = (XTX) XTy
w
= Xa y = Xa+e
Przykład Zapis w postaci układu równań
i yi xi 2,5 y
1 = a1 + a2 �"10 + e1
1 1 10
1 = a1 + a2 �"8 + e2
2
2 1 8
3 1,5 12
1,5 = a1 + a2 �"12 + e3
1,5
4 1,2 10
yi = a1 + a2xi + ei 1,2 = a1 + a2 �"10 + e4
5 1,6 161
6 1,6 14 1,6 = a1 + a2 �"16 + e5
0,5
7 1,2 11
1,6 = a1 + a2 �"14 + e6
x
0
8 1,3 13
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1,2 = a1 + a2 �"11 + e7
9 2 18
i  numer gospodarstwa domowego
1,3 = a1 + a2 �"13 + e8
yi  wydatki na odzież w tys. złotych na osobę rocznie
2 = a1 + a2 �"18 + e9
xi  dochód w tys. złotych na osobę rocznie
Michał Przybyliński, Materiały do zajęć z
Ekonometrii
1 10
�ł łł
Zapis macierzowy �ł1 8 śł
Obliczenia
�ł śł
�ł1 12śł
e1
�ł łł
1 1 10
�ł łł �ł łł
�ł1 10śł
9 112
�łe2 śł �ł 1 1 1 1 1 1 1 1 1 łł�ł1 �ł łł
�ł śł �ł1 8 śł XT X =
1 �ł10 8 12 10 16 14 11 13 18śł�ł 16śł = �ł112 1474śł
śł
�ł śł �ł �ł �ł �ł
�ł śł �ł śł
�ł1 14śł
3
�łe śł �ł śł
1 11
�ł1,5śł �ł1 12śł
2,04155
�ł - 0,15512
łł
�ł1 13śł
(XT X)-1 =
�łe4 śł
�ł- 0,15512 0,01247 śł
�ł1,2śł �ł1 10śł �ł śł
�ł �ł
a1
�ł łł
�ł śł
�ł1 18�ł
�łe śł 1
�ł łł
�ł1,6śł �ł1
a = e =
5
y = X = 16śł
�ła śł �ł śł
1
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł 2�ł
6
�łe śł
�ł1,5śł
�ł1,6śł �ł1 14śł
�ł1,2śł
�ł śł
e7
�ł śł �ł śł �ł 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12,4
łł�ł �ł łł
1,2 1 11
XTy =
�łe8 śł �ł10 8 12 10 16 14 11 13 18śł�ł1,6śł = �ł162,1śł
śł
�ł1,3śł �ł1 13śł
�ł �ł �ł �ł
�ł1,6śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
1,2
�ł śł
0,16953
2 �ł łł
�ł śł �ł śł �łe9 �ł
�ł1,3śł
�ł �ł �ł1 18�ł
a =
�ł śł
�ł0,09709śł
y = Xa+e
2
�ł śł �ł �ł
�ł �ł
Interpretacja parametrów funkcji liniowej
Oszacowane równanie
w
i = 0,16953 + 0,09709�" xi
a1 - wartość zmiennej y, gdy wszystkie x są równe 0
2,5
Gospodarstwo domowe nie posiadające dochodu powinno
wydawać na odzież przeciętnie ok. 170 zł/osobę rocznie.
2
Parametr ten (przy pewnych zastrzeżeniach) można
1,5 nazwać autonomicznym popytem na odzież.
1
a2 - reakcja y na jednostkowy wzrost x
Wzrost dochodów o tysiąc zł/osobę powoduje w przeciętnym
0,5
gospodarstwie domowym wzrost wydatków na odzież o ok.
0 97 zł/osobę. Parametr ten można nazwać krańcową
skłonnością do konsumpcji odzieży.
0 5 10 15 20
Wartości teoretyczne i reszty
Warunki formalne stosowalności MNK
i yi xi yi ei
1 1 10 1,1404 -0,1404
2 1 8 0,9463 0,0537 Parametry modelu można oszacować MNK jeżeli:
3 1,5 12 1,3346 0,1654
1) Model jest liniowy lub można go doprowadzić do
postaci liniowej
4 1,2 10 1,1404 0,0596
5 1,6 16 1,723 -0,1230 2) Liczba obserwacji musi być większa niż liczba
szacowanych parametrów (n>k)
6 1,6 14 1,5288 0,0712
3) macierz XTX nie jest osobliwa (można wyznaczyć
7 1,2 11 1,2375 -0,0375
macierz do niej odwrotną)
8 1,3 13 1,4317 -0,1317
9 2 18 1,9172 0,0828
Michał Przybyliński, Materiały do zajęć z
Ekonometrii
Wyniki obliczeń jako oszacowania
Własności estymatorów MNK
parametrów w populacji generalnej
Estymator a wektora parametrów ą modelu
ekonometrycznego wyznaczony przy pomocy MNK jest
yt = ą1xt1 +ą2xt 2 +K+ąk xtk + �t
estymatorem nieobciążonym, zgodnym i najbardziej
efektywnym jeżeli:
y, x - wartości zmiennych w populacji generalnej
ą - parametr w populacji generalnej
E(�t )= 0
� - składnik losowy,
2
D2(�t )= �
parametry a traktujemy jako estymatory parametrów ą,
cov(�t ,�s )= 0, t `" s
wartości 0.16953 i 0.09709 są wtedy ocenami
parametrów ą1 i ą2 z populacji generalnej
Dodatkowo zakłada się, że rozkład składnika losowego jest normalny.
Założenie to umożliwia weryfikację modelu.
Współczynnik determinacji
Średni błąd szacunku
(SEE - Standard Error of Estimation)
n
2
"e
t
eTe
1) Przyczyny występowania błędu
t=1
R2 =1- =1-
n
2) Wariancja składnika losowego �2 jako miara błędu 2
"(y - y) yTy - ny2
t
3) Wariancja reszt jako oszacowanie wariancji składnika t=1
losowego
0.0993 0.0993
R2 =1- =1- = 0.8839
1 1
17.94-9�"1.3782 0.8556
Se2 = eTe = (yT y - aT XT y)
n - k n - k
1
aT XTy - ny2
Se = Se2 = 0.0993 = 0.1191
R2 =
7
yTy - ny2
Ilustracja współczynnika determinacji Interpretacja współczynnika determinacji
Część zmienności y objaśniona przez model. Zbudowany
2
przez nas model tłumaczy zróżnicowanie wydatków w ok. 88
procentach. Ponieważ w modelu występuje tylko jedna
zmienna objaśniająca, możemy powiedzieć, że zróżnicowanie
1,6
wydatków na odzież w ok. 88 procentach wynika ze
zróżnicowania dochodów.
y ś r.
Zastrzeżenia:
1,2
R2 jest podniesionym do kwadratu współczynnikiem
korelacji liniowej, i dlatego jego interpretacja jest poprawna
tylko wtedy, gdy badane związki są liniowe. R2 przyjmuje
0,8
wartości z przedziału (0,1). W modelu musi występować
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
wyraz wolny.
Michał Przybyliński, Materiały do zajęć z
Ekonometrii
Przedział ufności dla parametru
Średnie błędy estymatorów
P{aj - S(aj)tą <ą < aj + S(aj)tą}=1-ą
j
2
S (aj)= Se2cjj cjj - element głównej
Wartość tą odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta
przekątnej macierzy (XTX)-1
dla n-k stopni swobody, na poziomie istotności ą.
S(aj)= Se cjj
P{0.1695-0.1702�"2.365<ą1 < 0.1695+ 0.1702�"2.365}= 0.95
P{-0.2387<ą1 < 0.5719}= 0.95
S(a1) = 0.1191 2.04155 = 0.17017
P{0.0971-0.0133�"2.365<ą2 < 0.0971+ 0.0133�"2.365}= 0.95
S(a2) = 0.1191 0.01247 = 0.0133
P{0.0656 < ą2 < 0.1285}= 0.95
Test istotności - przykład
Test istotności
Stawiamy hipotezę, że parametr w
H0 :ąj = 0 H0 :ą2 = 0
H0 :ą1 = 0
populacji generalnej jest równy 0.
Alternatywa  parametr ten jest różny H1 :ą2 `" 0
H1 :ą1 `" 0
H1 :ąj `" 0
od zera.
0,09709
0,16953
t(a2)= = 7,3
aj Dzielimy oszacowanie parametru przez
t(a1)= = 0,996
0,0133
t(aj)= 0,17017
błąd estymatora.
S(aj)
t(a2) >tą
t(a1) d" tą
Jeżeli wartość bezwzględna tego ilorazu
t(aj) >tą jest odpowiednio duża, odrzucamy H0.
Nie mamy podstaw do Odrzucamy H0. Parametr ą2
Parametr w populacji generalnej nie jest
odrzucenia hipotezy istotnie różni się od zera. X
t(aj) d"tą równy dokładnie aj, ale z określonym zerowej. Wyraz wolny nie ma istotny wpływ na Y.
prawdopodobieństwem możemy
różni się istotnie od zera.
stwierdzić, że różni się od zera.
Podstawowe problemy związane z budową
Funkcja potęgowa
i estymacją modelu ekonometrycznego
ą ą3 ąk
yt = eą1 xt12 xt 2 ...xt,k-1e�t
ą ą ąk
1) Współliniowość zmiennych objaśniających  zmienne
ln(yt ) = ln(eą1xt12 xt23...xt,k-1e�t )
objaśniające są ze sobą wyraz
nie skorelowane
ą2 ą3 ąk t
1
ln( yt ) = ln eą + ln xt1 + ln xt 2 + ... + ln xt,k -1 + ln e�
2) Niejednorodność (heteroskedastyczność) składnika
ln(yt ) =ą1 lne +ą2 ln xt1 +ą3 ln xt2 +...+ąk ln xt,k-1 +�t lne
losowego  wariancja składnika losowego nie jest stała.
Zjawisko to występuje głównie w przypadku prób
ln(yt ) =ą1 +ą2 lnxt1 +ą3 lnxt2 +...+ąk lnxt,k-1 +�t
przekrojowych.
*
3) Autokorelacja składnika losowego. Problem ten występuje
yt = ln yt *
* * *
w przypadku prób czasowych. W kształtowaniu się
yt =ą1+ą2xt1+ą3xt2 +...+ąkxt,k-1+�t
*
składnika losowego występuje pewna prawidłowość, np.
xt, j = lnxt, j
reszty układają się w długie dodatnie i ujemne serie.
*
w
t = ew
t
Michał Przybyliński, Materiały do zajęć z
Ekonometrii
Zasady doboru zmiennych objaśniających
Współliniowość zmiennych
18
objaśniających
16
14
12
Konsekwencje: niemożność wyodrębnienia wpływu y
yt =ą1 +ą2x1t +�t
10
x1
8
poszczególnych x-ów na y, co prowadzi do  dziwnych
x2
6
oszacowań parametrów. Oszacowania te są bardzo wrażliwe
4
yt =ą1 +ą2x2t +�t
2
na dodanie lub usunięcie obserwacji. W przypadku silnej
0
współliniowości uzyskane oszacowania parametrów możemy
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
20
uznać za przypadkowe, i nie mamy do nich zaufania.
18
16
Postępowanie: 14
12 y
" Usunąć (zastąpić) jedną ze skorelowanych zmiennych
10 x1
8 x2
objaśniających
6
" Ustalić z góry wartość jednego z parametrów 4
yt =ą1 +ą2x1t +ą3x2t +�t
2
" Zastosować specjalną technikę estymacji
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Niejednorodność (heteroskedastyczność)
Test Goldfelda-Quandta
1. Dzielimy próbę na co najmniej dwie części, zgodnie z wiedzą a priori
składnika losowego - przykład
i szacujemy parametry modelu osobno dla każdej z tych podprób.
Obliczamy wariancje reszt, a następnie wybieramy dwie skrajne
wartości. Największą oznaczmy Se12 a najmniejszą Se22.
2 2
2. Stawiamy hipotezę: H0 :�1 = �
2
2 2 2 2
H1 :�1 `" � albo H1 :�1 > �
2 2
3. W tablicach rozkładu F znajdujemy wartość krytyczną dla
wybranego poziomu istotności i liczby stopni swobody w obu
podpróbach:
Fn1-k ,n2-k
2
Se1
4. Obliczamy sprawdzian testu:
F =
do c ho dy
2
Se2
W tej populacji zróżnicowanie wydatków rośnie wraz ze wzrostem
5. Sprawdzamy warunek:
F > Fn1-k ,n2-k
dochodów. Rozrzut punktów wokół prostej zależy od poziomu zmiennej
objaśniającej  nie jest jednakowy (stały) dla gospodarstw o różnych Jeżeli warunek jest spełniony, odrzucamy H0, co oznacza, że wariancja
dochodach. składnika losowego nie jest jednorodna w całej populacji.
Przykład testu Goldfelda-Quandta
Autokorelacja składnika losowego
Badane gospodarstwa podzielono na biedne i bogate
i yi xi
sortując je zgodnie z osiąganymi dochodami. Przy
2 1 8 cov(�t ,�t-i ) `" 0
pomocy MNK oszacowano parametry modelu dla
1 1 10
gospodarstw biednych, o dochodach 12 tys. zł./os. i
Najprostszy przypadek to schemat autoregresyjny
4 1,2 10
mniej, uzyskując Se2= 0,016591. Podobnie, dla
pierwszego rzędu AR(1):
7 1,2 11
gospodarstw bogatych (13 tys. zł/os. i powyżej)
�t = ��t-1 +�t
3 1,5 12 uzyskano Se2= 0,016949. Ponieważ wariancja reszt w
18 14
gospodarstwach bogatych jest wyższa niż w biednych,
8 1,3 13 16
12
to ona znajdzie się w liczniku wyrażenia F.
14
6 1,6 14
10
2 12
Se1 0,016949
5 1,6 16 8
10
F = = = 1,021578
2
8
6
9 2 18 Se2 0,016591
6
4
Przyjmując jednostronny obszar odrzucenia, odczytujemy z tablic
4
2
2
wartość 5,462 (dla poziomu istotności ą=0,1 i odpowiednio 3 i 2
0 0
stopni swobody). Ponieważ wartość testu jest niższa, stwierdzamy, że
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, czyli wariancja w
Autokorelacja dodatnia Autokorelacja ujemna
populacji generalnej jest stała.
wydatki