Ekonometria dr E. Tomczyk, Instytut Ekonometrii SGH
UPROSZCZONA TABLICA
PRZEPA
YWÓW MI
DZYGAA

ZIOWYCH
produkt globalny gałęzi i-tej
�!
xij
i Xi 1 2 3 ... n Yi �! produkt końcowy gałęzi i-tej
1 X1 x11 x12 x13 ... x1n Y1
2 X2 x21 x22 x23 ... x2n Y2
M M M M M M M
n Xn xn1 xn2 xn3 ... xnn Yn
�! płace gałęzi j-tej
x0j x01 x02 x03 ... x0n
�! zysk gałęzi j-tej
Z0j Z1 Z2 Z3 ... Zn
�! produkt globalny gałęzi j-tej
Xj X1 X2 X3 ... Xn
W modelu otwartym uwzględnia się dodatkowo import,
eksport i amortyzację (koszty zużycia majątku trwałego).
Ekonometria dr E. Tomczyk, Instytut Ekonometrii SGH
Równanie podziału produktu globalnego gałęzi i-tej:
n
Xi = xij +Yi dla j = 1, 2, ..., n
"
j=1
Koszty materiałowe gałęzi j-tej:
n
KM = xij
"
j
i=1
A
ączny koszt produkcji gałęzi j-tej:
n
K = KM + x0 j = xij
"
j j
i=0
Zysk gałęzi j-tej:
Z = X - K
j j j
Wartość dodana gałęzi j-tej:
n
D = X - xij = x0 j + Z
"
j j j
i =1
Równanie kosztów gałęzi j-tej:
n
X = xij + x0 j + Z dla j = 1, 2, ..., n
"
j j
i =1
Warunek równowagi ogólnej:
n n
(x0 j + Z )=
" "Y
j i
j=1 i=1
Ekonometria dr E. Tomczyk, Instytut Ekonometrii SGH
Do opisu technologii procesu produkcyjnego każdej gałęzi
służą współczynniki kosztów, czyli elementy macierzy
struktury kosztów A:
xij
aij = dla i, j = 1, 2, ..., n
X
j
x11 x12 x1n
Ą# ń#
...
ó#
X1 X2 Xn Ą#
a11 a12 ... a1n
Ą# ń#
ó# Ą#
ó#a a22 ... a2n Ą#
x21 x22 x2n Ą#
ó#
21 ...
A = [aij] = ó# ... ... ... ... Ą# =
ó#
X1 X2 Xn Ą#
ó# Ą#
ó# Ą#
... ... ... ...
ó#a an2 ... ann Ą#
ó#x xn2 xnn Ą#
Ł# n1 Ś#
n1
ó# ... Ą#
X1 X2 Xn Ś#
ó# Ą#
Ł#
Interpretacja współczynnika kosztów aij: w celu
wytworzenia w j-tej gałęzi produktu o wartości 1 jp trzeba
zużyć wyroby z i-tej gałęzi o wartości aij jp.
Suma elementów j - tej kolumny macierzy A
n
1
mj = a1j + a2j + ... + anj = , j = 1, 2, ..., n,
"xij
X
j
i=1
jest wartością współczynnika materiałochłonności j-tej
gałęzi, czyli wartością materiałów pochodzących ze
wszystkich gałęzi i zużywanych w gałęzi j-tej, aby wytworzyć
w tej gałęzi produkt o wartości 1 jp.
Ekonometria dr E. Tomczyk, Instytut Ekonometrii SGH
Macierz Leontiefa:
L = (I - A) I - macierz jednostkowa
1 0 ... 0 a11 a12 ... a1n
Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 1 ... 0Ą# ó#a a22 ... a2n Ą#
21
ó# Ą# ó# Ą#
I - A = [Lij] = -
ó# Ą# ó# Ą#
. . . . . . . .
ó#0 0 1Ą# ó#a an2 ... ann Ą#
...
Ł# Ś# Ł# n1 Ś#
Interpretacja elementów macierzy Leontiefa: element Lij
wyraża przyrost wartości produktu końcowego i-tej gałęzi
spowodowany wzrostem o 1 jp wartości produktu
globalnego w j-tej gałęzi. Ponadto jest spełniona równość
n
= 1  ( a1j + a2j + ... + anj) = 1  mj, j = 1, 2, ..., n.
"Lij
i=1
Ekonometria dr E. Tomczyk, Instytut Ekonometrii SGH
Model Leontiefa (Nobel 1973):
LX = Y
L"X = "Y
Jeśli macierz Leontiefa jest nieosobliwa, to
L-1Y = X
L-1"Y = "X
Interpretacja elementu macierzy (I - A)-1: współczynnik
pełnej materiałochłonności. Element tej macierzy
zapisany w i-tym wierszu i j-tej kolumnie oznacza, o ile musi
wzrosnąć wartość produkcji globalnej w gałęzi o numerze i,
aby uzyskać wzrost o 1 jp produktu końcowego gałęzi o
numerze j przy niezmienionym produkcie końcowym
pozostałych gałęzi.
Model Leontiefa służy do krótkookresowego
prognozowania przyszłej wartości wektora produktu
końcowego lub globalnego pod warunkiem, że zasadne jest
założenie o niezmiennej technologii produkcji w okresie
prognozy (stałych wartościach elementów macierzy A):
prognoza I rodzaju: wyznaczenie wektora produktu
końcowego dla zadanego przyszłego wektora produktu
globalnego
prognoza II rodzaju: gdy ustalony jest pożądany
przyszły wektor produktu końcowego i wyznaczamy
wektor produktu globalnego, który umożliwi osiągnięcie
produktu końcowego na oczekiwanym poziomie
prognoza mieszana: prognozowanie wybranych
elementów wektora produktu globalnego i
końcowego, jeśli ustalone są pozostałe elementy obu
wektorów