Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
WYKA
AD 6
ELEMENTY ANALIZY OBLIGACJI
1. Wycena obligacji o stałym oprocentowaniu
2. Stopa zwrotu z obligacji
3.Czas trwania obligacji
1
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
1. WYCENA OBLIGACJI O STAA
YM OPROCENTO-
WANIU
Obligacja
Obligacja jest instrumentem dłużnym, którego emitent (dłuż-
nik) zobowiązuje się wobec inwestora (wierzyciela) do zwró-
cenia pożyczonej kwoty wraz z odsetkami w ściśle określonym
terminie .
Typowa obligacja określa:
1. Datę wymagalności określonej kwoty (datę wykupu obligacji)
2. Ustaloną w umowie wysokość odsetek, które zazwyczaj są
płatne w okresach rocznych (Europa) lub półrocznych
(USA)
W  cena wykupu
R  odsetki
R R R
n
n-1
t  czas
1
3
2
E  cena emisyjna
obligacji
Rys.5.1 Charakterystyka oczekiwanych przepływów generowanych
przez typową obligację
2
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Eminenci obligacji:
Skarb Państwa
NBP i Banki
Podmioty posiadające osobowość prawną (Firmy, funda-
cje, spółdzielnie, organizacje społeczne)
Gminy, związki międzygminne, związki komunalne
Miasto stołeczne Warszawa
Inwestorzy:
osoby prawne
jednostki organizacyjne nie posiadające osobowości prawnej
osoby fizyczne
Rodzaje obligacji:
imienne, na okaziciela, materialne, zdematerializowane, ak-
tywne, pasywne, w obrocie publicznym, w obrocie niepublicz-
nym (prywatnym), o stałym oprocentowaniu, o zmiennym
oprocentowaniu, indeksowane, różnicowe indeksowane, kupo-
nowe, zerokuponowe, dyskontowe, z określonym terminem
wykupu, bezterminowe, zabezpieczone, nie zabezpieczone,
krajowe, zagraniczne, euroobligacje, komunalne, skarbowe,
zamienne, wymienne, z prawem pierwszeństwa, z opcją przed-
terminowego wykupu (call), z opcją przedterminowego odkupu
3
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
(put), z opcją wyboru waluty, obligacje śmieciowe, obligacje z
odroczonym terminem płatności, z kuponem rosnącym, z ku-
ponem hybrydowym i inne.
Ryzyka związane z inwestowaniem w obligacje:
stopy procentowej, reinwestycji, przedterminowego wykupu,
kredytowe (niedotrzymanie zobowiązań) inflacji, walutowe,
płynności, zmienności (opcje  oczekiwana zmienność stóp
procentowych, - ryzyko ryzyka)
Wycena instrumentów finansowych - cena bieżąca
Cena bieżąca dowolnego instrumentu finansowego jest równa
wartości teraz
niejszej (Present Value) przepływów gotówko-
wych związanych z tym instrumentem.
Cena bieżąca instrumentu finansowego:
1. Charakterystyka oczekiwanych przepływów gotówkowych
2. Wartość wymaganej stopy zwrotu z inwestycji (inwestycje
o podobnym stopniu ryzyka, inwestycje alternatywne)
4
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Cena bieżąca obligacji o stałym oprocentowaniu
Założenia:
1. Wszystkie zobowiązania emitenta wobec posiadacza obli-
gacji zostaną uregulowane w terminie
2. Obligacja ma ustalony dzień wykupu
3. Cena bieżąca obligacji jest obliczana tuż po płatności ku-
ponu (na jeden okres przed płatnością kolejnego kuponu)
Oznaczenia:
Cn  cena bieżąca obligacji na n-okresów (lat) przed wykupem
n  liczba okresów (lat) pozostałych do terminu wykupu
r  stopa kuponowa obligacji
N  nominał obligacji
R= r�"N  wysokość kuponu (odsetki)
W cena wykupu tzn. kwota płacona posiadaczowi w dniu wy-
kupu.
Zakładamy, że W = N (opcje przedterminowego wykupu)
i  stopa zwrotu z obligacji (YTM  yield to maturity) stopa
zwrotu w terminie do wykupu  IRR
5
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
v = (1+i)-1  czynnik dyskontujący.
N
n  okresów
R R R R R R
Data
t  czas
1
3
2
Data
wykupu
wyceny
E  cena emisyjna
obligacji
Rys.5.2 Charakterystyka oczekiwanych przepływów gotówkowych
obligacji stałym oprocentowaniu
Cn =Ran|i + Nvn
(6.1)
Cn =rNan|i + Nvn
(6.2)
Przykład 6.1
Przyjmując wymaganą stopę zwrotu i=23%, wyznaczyć cenę
bieżącą obligacji o nominale N=1000zł, kuponie r=23% płat-
nym na koniec każdego roku:
a) n=10 (10 lat do wykupu)
b) n=5 (5 lat do wykupu)
6
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Ad. a. R = rN=0,23 1000zł=230 zł
C10= 230 a10|0,23 +1000�"(1+0,23)-10
a10|0,23 E"3,7993; (1,23)-10 E"0,12616
C10 = 873,84 + 126,16 = 1000 zł
Ad. b. C5 = 230 a5|0,23 +1000�"(1+0,23)-5
a5|0,23 H"2,8035 (1,23)-5 H"0,3552
C5 = 644,80 + 355,20 = 1000 zł
:&:&:&:&:&:&:&:&
Jeżeli stopa zwrotu z obligacji jest równa stopie kuponu (i = r),
to dla każdego okresu do wykupu (n) cena bieżąca obligacji
jest równa jej wartości nominalnej (Cn = N).
Rozważmy przypadek i `" r
Cn =rNan|i + Nvn
n
an|i =1-v ; vn =1-ian|i + N
i
Cn =N(r-i)an|i + N
(6.3)
7
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Obligacja sprzedawana z dyskontem
r i Cn N
Stopa < Stopa Cena < Wartość
kuponowa zwrotu bieżąca nominalna
Dyskonto D = N  Cn =  N(r  i)an|i = N(i  r)an|i
Obligacja sprzedawana z premią
r i Cn N
Stopa > Stopa Cena > Wartość
kuponowa zwrotu bieżąca nominalna
Premia P = Cn  N = N(r  i) an|i
Premia P +
= N(r  i) an|i
(6.4)
Dyskonto D 
Cena bieżąca obligacji zmienia się przeciwnie do zmiany wy-
maganej stopy zwrotu.
Przykład 6.2
Wyznaczyć bieżącą cenę obligacji opisanej w przykładzie 6.1
w przypadku:
8
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
a) zmiany wymaganej stopy zwrotu z 23% do 15%
b) zmiany wymaganej stopy zwrotu z 23% do 31%
Ad. a. Cena bieżąca wzrośnie o premię
Premia P  Cn  N = N(r  i) an|i
P = 1000(0,23  0,15) a5|0,15
P = 1000(0,08)3,3522 = 268,176
C5 = 1000 + 268,176 H" 1268,18 zł cena bieżąca
Ad. b. Cena bieżąca maleje dyskonto
Dyskonto D = N  Cn = N(i  r)an|i
D = 1000(0,31  0,23) a5|0,31
D = 1000(0,08) 2,3897 = 191,176
C5 = 1000  191,176 H" 808,82 zł cena bieżąca
:&:&:&:&:&:&:&:&
Liczba lat od i = 15% i = 23% i = 31%stopa
momentu emisji stopa rynkowa stopa odsetkowa rynkowa
0 1000
1 1381,73 1000 764,65
2 1358,99 1000 771,69
3 1332,83 1000 780,91
4 1302,76 1000 793,00
5 1268,17 1000 808,83
6 1228,40 1000 829,56
7 1182,66 1000 856,73
8 1130,06 1000 892,31
9 1069,57 1000 938,93
9
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
10 1000,00 1000 1000,00
Tablica 6.1. Cena bieżąca obligacji 10-letniej. Nominał N = 1000zł.
Stopa kuponu r = 23%.
Rys.6.3 Cena bieżąca obligacji 10  letniej.
Liczba lat od Stopa Stopa
momentu emisji rynkowa odsetkowa
0 0,23 0,23
1 0,23 0,18
2 0,23 0,14
3 0,23 0,10
4 0,23 0,16
5 0,23 0,20
6 0,23 0,26
7 0,23 0,30
8 0,23 0,25
9 0,23 0,20
10 0,23 0,17
Tablica 6.2. Scenariusz zmian stopy rynkowej.
10
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Rys.6.4 Cena bieżąca obligacji w zależności od zmiany stopy rynkowej
Lp. Stopa Obligacja Obligacja
procentowa 10-letnia 2-letnia
0
1 0,05 2389,91 1334,69
2 0,10 1798,79 1225,62
3 0,15 1401,50 1130,06
4 0,20 1125,77 1045,83
5 0,25 928,59 971,20
6 0,30 783,59 904,73
7 0,35 674,19 845,27
8 0,40 589,69 791,84
9 0,45 523,01 743,64
10 0,50 469,36 700,00
11
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Tabela 6.3. Cena bieżąca obligacji 10-letniej i 2  letniej o nominale
1000zł i kuponie 23% w zależności od zmian rynkowej stopy zwrotu
Rys. 6.5. Cena bieżąca obligacji 10-letniej i 2  letniej w zależności od
zmian rynkowej stopy zwrotu
Przyczyny zmian ceny bieżącej obligacji
1. Pogorszenie (polepszenie) zdolności kredytowej eminenta
2. Zbliżająca się data wykupu
3. Zmiana rynkowej stopy zwrotu porównywalnych obligacji
Założenia upraszczające przyjęte do obliczenia ceny bieżącej
obligacji
1. Regularne płatności odsetek
2. Znane przepływy gotówkowe
12
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
3. Można określić wymaganą stopę zwrotu i - YTM
4. Stała stopa zwrotu w całym okresie do wykupu obligacji
Cena bieżąca obligacji między płatnościami kuponu
N cena wykupu
n  okresów do wykupu
R - odsetki
R R R R
t  czas
1
3
2 k k+1
n
k+s
E  cena emisyjna
obligacji
Rys. 5.5 Cena bieżąca obligacji w momencie k
Bk =Ran-k i + Nvn-k
(6.5)
gdzie: Bk - cena bieżąca obligacji w momencie k
[(n  k) okresów do wykupu]
Bk+s- cena bieżąca obligacji dla s"(0,1) między płat-
nościami kuponu
Bf - cena wyrównawcza obligacji (cena skumulowa-
k+s
na,  cena brudna ,- flat price, dirty price)
13
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Bm - cena rynkowa (cena  czysta market price, cle-
k+s
an price)
cena  brudna = cena  czysta + odsetki narosłe od ostatniej
płatności
(6.6)
Bf =Bm +Rs
k+s k+s
W praktyce giełdowej podaje się:
cenę  czystą Bm
k+s
narosłe odsetki Rs = N�"rs (r0 = 0, r1 = r)
1. Metoda teoretyczna (procent złożony)
Bf =Bk (1+i)s
k+s
(6.7)
s (6.8)
Ą#
Rs =N�"rs =N�"ró#(1+i) -1ń#
Ą#
i
Ł# Ś#
Cena  czysta obligacji
s
Ą#
14
Elementy analizy obligacji
Bm =Bk (1+i)s -N�"ró#(1+i) -1ń#
k+s Ą#
i
Ł# Ś#
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
(6.9)
2. Metoda praktyczna (procent prosty)
(6.10)
Bf =Bk (1+i�"s)
k+s
(6.11)
Rs =N�"rs =N�"r�"s
Bm =Bk (1+i�"s)-N�"r�"s (6.12)
k+s
R odsetki
cena  brudna
N=1000zł
cena  czysta
t  czas
1
3
2 k k+s k+1
n
Rys.6.6 Cena  czysta a cena  brudna obligacji (zakładamy, że r = i)
3. Metoda teoretyczno - praktyczna (mieszana)
15
Elementy analizy obligacji
Bm =Bt (1+i)s -N�"r�"s
k+s
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
(6.13)
Premia P = Bm - N gdy i < r
k+s
Dyskonto D = N - Bm gdy i > r
k+s
Przykład 6.3.
Obliczyć cenę  brudną i  czystą obligacji z przykładu 5.2a
dla s = 0,5 ( w połowie okresu między płatnościami kuponów)
a) metoda teoretyczna (procent składany)
B5 = 1268,18 zł  bieżąca cena obligacji
Bf5+0,5) =B5(1+i)0,5 =1268,18(1,15)0,5 =1359,97zł
(
0,5
Ą#
Rs =230ó#(1,15) -1ń#
Ą#=110,98zł
0,15
Ł# Ś#
b) metoda praktyczna (procent prosty)
Bf5+0,5) =B5(1+0,15�"0,5)=1268,18�"1,075=1363,29zł
(
Rs = 230 0,5 = 115
m
B(5+0,5) =1363,29-115=1248,29zł
c) metoda mieszana
Bf5+0,5) =1359,97; Rs=115
(
m
B(5+0,5) =1359,97-115=1244,97zł
16
Elementy analizy obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
:&:&:&:&:&:&:&:&
N  cena wykupu
1
3
2
n
t  czas
E cena emisyjna
Rys.6.5. Cena bieżąca obligacji zerokuponowej
Cn = Nvn
17
Elementy analizy obligacji