Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
2. STOPA ZWROTU Z OBLIGACJI
Klasyczne miary stopy zwrotu:
1. Bieżąca stopa zwrotu
2. Stopa zwrotu w terminie do wykupu
3. Stopa zwrotu w terminie do wcześniejszego wykupu
Bieżąca stopa zwrotu
Bieżąca Wartość rocznej płatności kuponowej
stopa zwrotu aktualna cena rynkowa obligacji
Przykład 6.4
Obliczyć bieżącą stopę zwrotu obligacji o nominale N=1000zł,
kuponie r=23% oraz aktualnej cenie rynkowej 972 zł.:
230E"0,2366 (23,66%)
g=
972
:&:&:&:&:&:&:&:&
1
Analiza obligacji  Stopa zwrotu z obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Stopa zwrotu w terminie do wykupu
Stopa zwrotu w terminie do wykupu jest równa stopie pro-
centowej, dla której wartość teraz
niejsza przepływów gotów-
kowych generowanych przez obligację jest równa aktualnej
cenie rynkowej
R R R N
P= + +L+ +
(6.13)
(1+i)
(1+i)2 (1+i)n (1+i)n
gdzie: P  aktualna cena rynkowa obligacji
R  kupon (odsetki)
i  stopa zwrotu w terminie do wykupu (rozwiąza-
nie równania 6.13)
n
-k
P=
"R(1+i) + N(1+i)-n
(6.14)
k=1
P=N(r-i)an|i + N
(6.15)
2
Analiza obligacji  Stopa zwrotu z obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Przykład 6.5
Wyznaczyć stopę zwrotu do wykupu obligacji:
Nominał (cena wykupu) N = 1000 zł
kupon r = 23%
n = 5  5 lat do wykupu
P = 1268,18 aktualna cena rynkowa.
Należy rozwiązać równanie
230 230 230 230 230 1000
1268,18 = + + + + +
(1+ i)
(1+ i)2 (1+ i)3 (1+ i)4 (1+ i)5 (1+ i)5
-5
Ą# ń#
1268,18=1000(0,23-i)ó#1-(1+i) Ą#+1000
i
Ł# Ś#
Rozwiązanie tego równania i = 0,15 (15%)
:&:&:&:&:&:&:&:&
Przybliżone rozwiązanie równania (6.15)
P=N(r-i)an|i + N
P-N
k= =(r-i)an|i
N
k 1
i=r- =r-k�"
stąd (6.16)
an|i an|i
3
Analiza obligacji  Stopa zwrotu z obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
1 1 n+1i= 1 n+1
Ą#1+ ń#i
H" +
(6.17)
ó# Ą#
an|i n 2n n 2
Ł# Ś#
Podstawiając (6.17) do (6.16) mamy:
k n+1i
Ą#1+ ń#
iH"r-
(6.18)
ó# Ą#
n 2
Ł# Ś#
rozwiązując względem  i otrzymujemy:
k
Ą# ń#
r-
Ą#
n
iH"ó#
ó# Ą# (6.19)
n+1k
ó#1+ 2n Ą#
Ł# Ś#
n+1H"0,5 otrzymujemy (metoda sprzedawcy 
Upraszczając
2n
bond salesman s method)
Ą#
r-k ń#
Ą#
n
iH"ó#
ó#1+0,5kĄ#
ó# Ą#
Ł# Ś#
4
Analiza obligacji  Stopa zwrotu z obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Przykład 6.6.
Obliczyć przybliżoną stopę zwrotu w terminie do wykupu ob-
ligacji z przykładu 6.
268,18=0,26818zł
k=1268,18-1000=
1000 1000
0,23-0,26818
5
iH" =0,176364H"0,1519
1,160908
1+5+10,26818
2�"5
i H" 15,19%
Metoda sprzedawcy (bond salesman s method)
0,23-0,26818
5
iH" =0,176364=0,1555
1+0,5�"0,26818 1,13409
i H" 15,55%
:&:&:&:&:&:&:&:&
Stopa zwrotu w terminie do wykupu obligacji zerokuponowej
P = Nvn P = (1+i)n
1
i=�# N ś#n -1
(6.20)
ś# ź#
P
�# #
5
Analiza obligacji  Stopa zwrotu z obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Podstawowe formuły matematyczne wyceny obligacji
Oznaczenia:
Cn  cena bieżąca obligacji na n-okresów (lat) do wykupu)
n  liczba okresów (lat) pozostałych do terminu wykupu
r  stopa kuponu obligacji
N  nominał obligacji
R= rN  kwota kuponu obligacji
i  stopa zwrotu w terminie do wykupu
v = (1+i)-1  czynnik dyskontujący
Oznaczenia dodatkowe:
W  cena wykupu obligacji W `" N
q  zmodyfikowana stopa kuponu obligacji
R = rN = qW; q=rN /W (6.21)
G  kwota bazowa obligacji
iG = rN; G = rN/i (6.22)
G  kwota, którą należy zainwestować ze stopą zwrotu  i tak,
aby otrzymać okresowe płatności równe kwocie kuponu
obligacji
K  Wartość początkowa (PV) ceny wykupu obligacji
K = Wvn = W(1+i)-n (6.23)
6
Analiza obligacji  Stopa zwrotu z obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
1. Formuła bazowa
Cn =Ran|i +Wvn
Cn =Ran|i +K (6.24)
Cn =rNan|i +K
2. Formuła premia /dyskonto
Cn =W+(rN-iW)an|i (6.25)
(Podstawiając vn =1-ian|i do 6.24)
Cn =W+W(q-i)an|i
(Podstawiając rN = qW )
3. Formuła kwoty bazowej
Cn =G+(W-G)vn (6.26)
(Podstawiając rN = iG oraz 1-vn =ian|i do 6.24)
4. Formuła Makehama
Cn =K+(q/i)(W-K) (6.27)
(Podstawiając rN = gW oraz an|i =(1-vn )/i do 6.24)
Porównując (6.24) i (6.27) otrzymujemy:
Ran|i =(q/i)(W-K) (6.28)
7
Analiza obligacji  Stopa zwrotu z obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Przykład 6.7.
Wyznaczyć cenę bieżącą obligacji o nominale 1000zł, oprocen-
towanej rocznie na 20%, z ceną wykupu 1050zł na 5 lat przed
wykupem. Do obliczeń przyjąć stopę zwrotu w terminie do
wykupu 22%.
Dane: N = 1000zł; r = 0,2; n = 5; W= 1050 zł; i = 0,22
R = rN = 0,2�"1000 = 200zł
Dane dodatkowe:
q  zmodyfikowana stopa kuponu
q = rN/W = 0,2�"1000/1050 = 0,190476
G  kwota bazowa obligacji
G = rN/i = 0,2�"1000/0,22 = 909,09 zł
vn  czynnik dyskontujący (tablice)
vn = (1+0,22)-5 H" 0,37000
an|i  wartość początkowa renty jednostkowej
an|i =a5|0,22 H"2,86364
K  wartość początkowa ceny wykupu W
K = Wvn = 1050�"(1+0,22)-5 = 1050�"0,37H" 388,50zł
8
Analiza obligacji  Stopa zwrotu z obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Obliczenia
1. Formuła bazowa
Cn =Ran|i +K=200�"2,86364+388,50
C5 = 572,73 + 388,5 = 961.23 zł
2. Formuła premia /dyskonto
Cn =W+(rN-iW)an|i = 1050 +(200  0,2�"1050)�"2,86364
C5 = 1050  88,77 = 961,23 zł
3. Formuła kwoty bazowej
Cn =G+(W-G)vn = 909,09 + (1050  909,09)�"0,37
C5 = 909,09 +52,14 = 961,23 zł
4. Formuła Makehama
Cn =K+(q/i)(W-K)=388,50 + (0,190476/0,22)(1050 388,5)
C5 = 388,5 + 572,73 = 961,23 zł
:&:&:&:&:&:&:&:&
9
Analiza obligacji  Stopa zwrotu z obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
3. CZAS TRWANIA OBLIGACJI (Duration)
Pomiar zmienności ceny obligacji:
Przykład 6.8. Zmiana ceny obligacji 2 i 10 letnich.
Wniosek 1. Ceny obligacji zmieniają się w przeciwnym kierun-
ku niż wymagana stopa zwrotu
Wniosek2. Przy niewielkich zmianach stopy zwrotu, procento-
wa zmiana ceny danej obligacji jest w przybliżeniu
taka sama przy wzroście jak i przy spadku tej stopy.
Wniosek3. Przy dużych zmianach stopy zwrotu, procentowa
zmiana ceny danej obligacji jest różna w zależno-
ści od kierunku zmiany tej stopy.
Wniosek4. Przy zmianie stopy zwrotu o tą samą liczbę punk-
tów bazowych, procentowy wzrost ceny jest więk-
szy niż jej spadek.
10
Analiza obligacji  Czas trwania obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
y = f(x); "y H" f 2 (x0)"
Cn =Ran|i +Wvn (Formuła bazowa)
Cn(i)=R(1+i)-1+R(1+i)-2+L+R(1+i)-n +W(1+i)-n (6.29)
2
Cn(i)=-R(1+i)-2-2R(1+i)-3-L-nR(1+i)-(n+1) -nW(1+i)-(n+1)
2
Cn (i)=-(1+i)-1M (6.30)
n
M=R (6.31)
"j(1+i)-j+nW(1+i)-n
j=1
"Cn (i)H"-(1+i)-1M"i (6.32)
"Cn (i)
H"-(1+i)-1�# M ś#"i (6.33)
ś# ź#
Cn Cn
�# #
Czas trwania Macaulaya (Frederik Macaulay 1938)
n
�# ś#
Mc =M Cn =ś#R (6.34)
"j(1+ j)-j+nWvn ź# Cn
ś# ź#
j=1
�# #
)
Mc =(R(Ia)n +nWvn Cn (6.35)
Zmodyfikowany czas trwania Macaulaya
Mz = Mc /(1+i) = Mcv (6.36)
"Cn (i)
H"-Mz"i (6.37)
Cn
11
Analiza obligacji  Czas trwania obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Zmodyfikowany czas trwania określa przybliżoną procentową
zmianę ceny obligacji odpowiadającą danej zmianie stopy pro-
centowej
Czas trwania Macaulaya  Średnio ważony czas
n
2
Mc =1Rv +2Rv +L+n(R+W)v (6.38)
Cn Cn Cn
Wagi
j
w =Rv Cn dla j=1,2, . . . n-1 (6.39)
j
wn =(R+W)vn Cn
Suma wag
n
2
Rv
+Rv +L+(R+W)v =1 (6.40)
Cn Cn Cn
n
M= (6.41)
"jw-j
j=1
Przykład 6.9.
Wyznaczyć czas trwania Macaulaya obligacji 25%, o nominale
1000zł, z 5-cio letnim okresem wykupu przy założeniu 20%
stopy zwrotu w okresie do wykupu.
12
Analiza obligacji  Czas trwania obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Przepływy Czynnik Zdyskontowane Wartości
Rok Wagi
pieniężne dyskontujący przepływy złożone
j Rj vj Rjvj wj jwj
1 250 0,8333 208,33 0,1812 0,1812
2 250 0,6944 173,61 0,1510 0,3020
3 250 0,5787 144,67 0,1258 0,3774
3 250 0,4823 102,56 0,1048 0,4192
5 1250 0,4019 502,34 0,4370 2,185
Cn=1149,53 1,000 3,4648
"
Czas trwania obligacji
Mc = 3,4648
Zmodyfikowany czas trwania obligacji
Mz = 3,4648 /1,2 = 2,8873
Przykład 6.10.
Wyznaczyć czas trwania obligacji z przykładu 6.9 posługując
się wzorem (6.35)
)
Mc =(R(Ia)n +nWvn Cn
Cn =Ran|i +Wvn (W = N =1000)
&& -nvn an|i(1+i)-nvn
an|i
(Ia)n = =
i i
13
Analiza obligacji  Czas trwania obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Tablice finansowe
a5|0,2 =2,99061
v5 = 0,40188
C5 = 250�"2,99061+1000�"0,40188=1149,5325
(Ia)5 = (2,99061�"- 5�"0,40188) /0,2=7,8967
Mc = (250�"7,8967 + 5�"1000�"0,40188) / 1149,5325
Mc = 3,4653
:&:&:&:&:&:&:&:&
Obliczenie przybliżonej procentowej zmiany ceny obligacji
"Cn (i)
H"-Mz"i ("i = 0,01)
Cn
Stopa zwrotu zmieni się o 1% = 100 punktów bazowych
"Cn (i)
H"-Mz�"0,01=-Mz % (6.42)
Cn
Zmodyfikowany czas trwania obligacji wyrażony w procentach
wyznacza przybliżoną procentową zmianę ceny obligacji spo-
wodowaną zmianą stopy procentowej o 100 punktów bazo-
wych
Czas trwania nie może być traktowany jako średni ważony
termin do wykupu obligacji. (Nie jest miarą czasu)
14
Analiza obligacji  Czas trwania obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Przykład 6.11.
Obliczyć procentową zmianę ceny obligacji wywołaną zmianą
stopy zwrotu w terminie do wykupu o 100 punktów bazowych.
Mz = 2,8873
Mz % = Mz 0,01 = 0,028873
Obliczanie przybliżonej zmiany ceny obligacji
"Cn (i)H"-Mz�"Cn �""i (6.43)
MN =Mz�"Cn  Nominalny czas trwania
Wartość cenowa punktu bazowego  nominalna wartość punk-
tu bazowego
(price value of a basis point  dollar value of a basis point
("i = 0,0001))
"Cn(i) H" MN�"0,0001 (6.44)
Pb = MN�"0,0001 (6.45)
Wartość cenowa punktu bazowego informuje o ile zmieni się
cena obligacji przy zmianie stopy zwrotu w terminie do wyku-
pu o jeden punkt bazowy.
15
Analiza obligacji  Czas trwania obligacji
Prof. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Przykład 6.12.
Obliczyć nominalny czas trwania oraz wartość cenową punktu
bazowego obligacji z zadania 6.9
Nominalny czas trwania obligacji
MN = MZ�"Cn = 2,8873�"1149,5325 = 3319,045187
Wartość cenowa punktu bazowego
Pb =MN�"0,0001 = 0,3319
:&:&:&:&:&:&:&:&
UOGÓLNIENIA
n
PV(i)= (6.46)
"R (1+ j)-j
j
j=1
"PV(i)
H"-D(1+i)-1"i (6.47)
PV(i)
Czas trwania ciągu płatności {Rk} (Duration)
n
�# ś#
D=ś# (6.48)
"jR v j ź# PV
j
ś# ź#
j=1
�# #
Zmodyfikowany czas trwania ciągu płatności {Rk}
Dz =D (1+i) = Dv (6.49)
"PV(i)
H"-Dz"i (6.50)
PV(i)
"PV(i)H"-DzPV�""i (6.51)
16
Analiza obligacji  Czas trwania obligacji