Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
Vm3 := 50 Kub := 24 xzew := .00273 ro := 1.2 E := .277
Vkg
Vkg := Vm3Å"ro n :=
roÅ"Kub
d
roÅ"Kub x(t) = VkgÅ"xzew - VkgÅ"x(t) + E
dt
E := rnorm(100 , 0.21, 0.07)
Vm3 := rnorm(100, 90, 15)
szum := rnorm(100 , 0, .1Å"xzew)
(E, Vm3, xpomiar)
0.5
0.4
0.3
Ek
(.001Å"Vm3)k
0.2
0.1
0
0 20 40 60 80 100
k
dr inż. Maciej Mijakowski 1/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
0.008
0.006
xpomiark0.004
0.002
0 1 2
0
0 20 40 60 80 100
0 1 0.179 96.566
k
1 1 0.162 116.405
2 1 0.177 80.291
m := 0.. 99
3 1 0.143 98.266
T
X0, m := 1 X1, m := Em X2, m := Vm3m X := X
4 1 0.092 113.197
5 1 0.213 62.675
- 3 6 1 0.202 109.619
ëÅ‚ öÅ‚
5.046 × 10
ìÅ‚ ÷Å‚
X =
- 1 7 1 0.249 74.266
T T
ìÅ‚ ÷Å‚
- 3
( )
B := X Å"X Å"X Å"xpomiar B =
8.884 × 10
8 1 0.363 96.887
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚-2.475 × 10- 5÷Å‚ 9 1 0.267 74.216
íÅ‚ Å‚Å‚
10 1 0.279 71.368
11 1 0.27 96.361
b0 := B0 b1 := B1 b2 := B2
12 1 0.274 61.251
13 1 0.257 88.141
xest1 := b0 + b1Å"E + b2Å"Vm3
14 1 0.137 96.198
15 1 0.215 111.984
(E, Vm3, xest1)
dr inż. Maciej Mijakowski 2/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
0.006
xpomiark
xest1k
0.004
0.002
0 20 40 60 80 100
k
0.006
0.005
xest1
0.004
0.003
0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
xpomiar
2 - 5
MSS := MSS = 5.961 × 10
(xest1 - mean(xpomiar))
" k
k
MSS
- 5
MMS := MMS = 2.98 × 10
2
2 - 6
RSS := - RSS = 9.267 × 10
Å‚Å‚
(xest1 )ûÅ‚
"îÅ‚xpomiark k
ðÅ‚
k
RSS
- 8
RMS := RMS = 9.554 × 10
100 - 2 - 1
2 - 5
TSS := TSS = 6.888 × 10 MSS + RSS = 6.888 × 10
(xpomiar - mean(xpomiar))
" k
k
TSS
- 7
TMS := TMS = 6.957 × 10
100 - 1
dr inż. Maciej Mijakowski 3/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
współczynnik R^2
MSS
= 0.865
TSS
0.001
.10 4
5
xpomiark-xest1k 0
.10 4
5
0.001
0 20 40 60 80 100
k
0.001
.10 4
5
xpomiark-xest1k 0
.10 4
5
0.001
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Ek
0.001
.10 4
5
xpomiark-xest1k 0
.10 4
5
0.001
40 60 80 100 120 140
Vm3k
0
dr inż. Maciej Mijakowski 4/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
0
X := 0
0 1
1 1
m := 0.. 99
2 1
1
3 1
odwVm3m :=
Vm3m
4 1
5 1
T
6 1
X0, m := 1 X1, m := Em X2, m := odwVm3m X := X
X =
7 1
ëÅ‚7.304 × 10- 4 öÅ‚
8 1
- 1
ìÅ‚ ÷Å‚
T T
9 1
( )
B := X Å"X Å"X Å"xpomiar B =
ìÅ‚9.185 × 10- 3 ÷Å‚
10 1
ìÅ‚ ÷Å‚
0.177
íÅ‚ Å‚Å‚
11 1
12 1
b0 := B0 b1 := B1 b2 := B2
13 1
14 1
xest2 := b0 + b1Å"E + b2Å"odwVm3
15 1
0.006
xpomiark
xest2k
0.004
0.002
0 20 40 60 80 100
k
0.006
0.005
xest2
0.004
0.003
0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
xpomiar
dr inż. Maciej Mijakowski 5/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
2 - 5
MSS := MSS = 6.015 × 10
(xest2 - mean(xpomiar))
" k
k
MSS
- 5
MMS := MMS = 3.008 × 10
2
2 - 6
RSS := - RSS = 8.722 × 10
Å‚Å‚
(xest2 )ûÅ‚
"îÅ‚xpomiark k
ðÅ‚
k
RSS
- 8
RMS := RMS = 8.992 × 10
100 - 2 - 1
2 - 5 -
TSS := TSS = 6.888 × 10 MSS + RSS = 6.888 × 10
(xpomiar - mean(xpomiar))
" k
k
TSS
- 7
TMS := TMS = 6.957 × 10
100 - 1
współczynnik R^2
MSS
= 0.873
TSS
0.001
.10 4
5
xpomiark-xest2k 0
.10 4
5
0.001
0 20 40 60 80 100
k
dr inż. Maciej Mijakowski 6/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
0.001
.10 4
5
xpomiark-xest2k 0
.10 4
5
0.001
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Ek
0.001
.10 4
5
xpomiark-xest2k 0
.10 4
5
0.001
0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022
odwVm3k
0
X := 0
1
2
m := 0.. 99
3
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
odwVm3m := EprzezVm3m := EmÅ"
ìÅ‚ ÷Å‚
4
Vm3m Vm3
íÅ‚ Å‚Å‚m
5
T
X0, m := 1 X1, m := Em X2, m := odwVm3m X3, m := EprzezVm3m X := X
6
X =
7
- 3
ëÅ‚ öÅ‚
8
3.354 × 10
- 1
ìÅ‚ ÷Å‚
T T
( )
B := X Å"X Å"X Å"xpomiar
ìÅ‚ ÷Å‚ 9
- 3
B =
ìÅ‚-4.593 × 10 ÷Å‚
10
ìÅ‚ -0.072
÷Å‚
11
ìÅ‚ ÷Å‚
1.292
íÅ‚ Å‚Å‚
12
13
dr inż. Maciej Mijakowski 7/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
13
b0 := B0 b1 := B1 b2 := B2 b3 := B3
14
15
xest3 := b0 + b1Å"E + b2Å"odwVm3 + b3Å"EprzezVm3
0.007
0.006
xpomiark
0.005
xest3k
0.004
0.003
0.002
0 20 40 60 80 100
k
0.006
0.005
xest3
0.004
0.003
0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
xpomiar
2 - 5
MSS := MSS = 6.292 × 10
(xest3 - mean(xpomiar))
" k
k
MSS
- 5
MMS := MMS = 2.097 × 10
3
2 - 6
dr inż. Maciej Mijakowski( ) 8/18
"
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
2 - 6
RSS := - RSS = 5.958 × 10
Å‚Å‚
(xest3 )ûÅ‚
"îÅ‚xpomiark k
ðÅ‚
k
RSS
- 8
RMS := RMS = 6.206 × 10
100 - 3 - 1
2 - 5 - 5
TSS := TSS = 6.888 × 10 MSS + RSS = 6.888 × 10
(xpomiar - mean(xpomiar))
" k
k
TSS
- 7
TMS := TMS = 6.957 × 10
100 - 1
współczynnik R^2
MSS RSS
= 0.913 1 - = 0.913
TSS TSS
0.001
.10 4
5
xpomiark-xest3k 0
.10 4
5
0.001
0 20 40 60 80 100
k
0.001
.10 4
5
xpomiark-xest3k 0
.10 4
5
0.001
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Ek
0.001
dr inż. Maciej Mijakowski 9/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
0.001
.10 4
5
xpomiark-xest3k 0
.10 4
5
0.001
0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022
(odwVm3)k
0.001
.10 4
5
xpomiark-xest3k 0
.10 4
5
0.001
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
(EprzezVm3)k
MMS
F := F = 337.941
RMS
(Ä… )
Ä… := 0.01 dF , 1, 100 - 3 - 1 = 3.959
0 1 2
xest3 := b0 + b1Å"E + b2Å"odwVm3 + b3Å"EprzezVm3
0 1 0.179 0.01 1.856·10
-3
1 1 0.162 8.591·10 1.395·10
- 3
ëÅ‚ öÅ‚ 2 1 0.177 0.012 2.203·10
3.354 × 10
ìÅ‚ ÷Å‚
3 1 0.143 0.01 1.459·10
ìÅ‚ ÷Å‚
- 3
-3
b = X =
ìÅ‚-4.593 × 10 ÷Å‚ 4 1 0.092 8.834·10 8.128·10
ìÅ‚ -0.072
÷Å‚
5 1 0.213 0.016 3.399·10
ìÅ‚ ÷Å‚
-3
1.292 6 1 0.202 9.123·10 1.839·10
íÅ‚ Å‚Å‚
7 1 0.249 0.013 3.352·10
8 1 0.363 0.01 3.751·10
9 1 0.267 0.013 3.592·10
dr inż. Maciej Mijakowski 10/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
- 7 - 7 - 5 - 5
ëÅ‚
1.757 × 10 -8.315 × 10 -1.615 × 10 7.611 × 10
ìÅ‚
ìÅ‚
- 7 - 6 - 5 - 4
- 1
ìÅ‚-8.315 × 10 4.398 × 10 7.64 × 10 -3.997 × 10
îÅ‚(X)TÅ"(X)Å‚Å‚
S := Å"RMS S =
ðÅ‚ ûÅ‚
ìÅ‚-1.615 × 10- 5 - 5 - 3 - 3
7.64 × 10 1.535 × 10 -7.224 × 10
ìÅ‚
- 5 - 4 - 3
ìÅ‚
7.611 × 10 -3.997 × 10 -7.224 × 10 0.037
íÅ‚
S macierz kowariancji współczynników b czyli E{[b-E(b)][b-E(b)]}
Sm,n = cov(bm,bn); dla m=n mamy Sm,m = cov(bm,bm) = var(b)
varb0 := S0, 0 varb1 := S1, 1 varb2 := S2, 2 varb3 := S3, 3
8.001
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
b0 b1 b2 b3
-2.19
ìÅ‚ ÷Å‚
t0 := t1 := t2 := t3 := t =
ìÅ‚-1.846
÷Å‚
varb0 varb1 varb2 varb3
ìÅ‚ ÷Å‚
6.674
íÅ‚ Å‚Å‚
H0 : bi = 0 jeśli abs(t) > tkr H0 można odrzucić
Ä… := 0.01
8.001
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
-2.19
Ä…
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
-qt , 100 - 3 - 1 = 2.628 t =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚-1.846
÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
6.674
íÅ‚ Å‚Å‚
dr inż. Maciej Mijakowski 11/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
X := 0
m := 0.. 99
1
ëÅ‚ öÅ‚
EprzezVm3m := EmÅ"
ìÅ‚ ÷Å‚
0 1
Vm3
íÅ‚ Å‚Å‚m
-3
0 1 1.85647·10
-3
X0, m := 1 X1, m := EprzezVm3m T 1 1 1.3954843·10
X := X
-3
2 1 2.2028588·10
-3
3 1 1.4592825·10
X =
- 1
T T
-4
4 1 8.1275955·10
( )
B := X Å"X Å"X Å"xpomiar
ëÅ‚2.547 × 10- 3 öÅ‚
-3
B = 5 1 3.3992163·10
ìÅ‚ ÷Å‚
0.885
íÅ‚ Å‚Å‚ -3
6 1 1.8386934·10
-3
b0 := B0 b1 := B1 7 1 3.3521385·10
-3
8 1 3.7510113·10
xest4 := b0 + b1Å"EprzezVm3
0.006
xpomiark
xest4k
0.004
0.002
0 20 40 60 80 100
k
0.006
0.005
xest4
0.004
0.003
0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
xpomiar
dr inż. Maciej Mijakowski 12/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
0.006
xest4
xpomiar
0.004
0.002
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
EprzezVm3
2 - 5
MSS := MSS = 6.26 × 10
(xest4 - mean(xpomiar))
" k
k
MSS
- 5
MMS := MMS = 6.26 × 10
1
2 - 6
RSS := - RSS = 6.272 × 10
Å‚Å‚
(xest4 )ûÅ‚
"îÅ‚xpomiark k
ðÅ‚
k
RSS
- 8
RMS := RMS = 6.4 × 10
100 - 1 - 1
2 - 5 -
TSS := TSS = 6.888 × 10 MSS + RSS = 6.888 × 10
(xpomiar - mean(xpomiar))
" k
k
TSS
- 7
TMS := TMS = 6.957 × 10
100 - 1
współczynnik R^2
MSS
= 0.909
TSS
dr inż. Maciej Mijakowski 13/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
0.001
.10 4
5
xpomiark-xest4k 0
.10 4
5
0.001
0 20 40 60 80 100
k
20
15
)#1*#
histmoj(30, xpomiar-xest4)
10
)#0*#
( )
.01Å"dnorm histmoj(30, xpomiar-xest4) , 0, RMS
5
0
.10 4 .10 4
0.001 5 0 5
)#0*#
histmoj(30, xpomiar-xest4)
0.001
.10 4
5
xpomiark-xest4k 0
.10 4
5
0.001
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
EprzezVm3k
dr inż. Maciej Mijakowski 14/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
MMS
F := F = 978.173
RMS
(Ä… )
Ä… := 0.01 dF , 1, 100 - 3 - 1 = 3.959
ëÅ‚2.547 × 10- 3 öÅ‚
xest4 := b0 + b1Å"EprzezVm3
B =
ìÅ‚ ÷Å‚
0.885
íÅ‚ Å‚Å‚
- 9 - 6
ëÅ‚ öÅ‚
- 1
4.731 × 10 -1.809 × 10
ìÅ‚ ÷Å‚
îÅ‚(X)TÅ"(X)Å‚Å‚
S := Å"RMS S =
ðÅ‚ ûÅ‚
ìÅ‚-1.809 × 10- 6 - 4
÷Å‚
8.001 × 10
íÅ‚ Å‚Å‚
t := 0
varb0 := S0, 0 varb1 := S1, 1
b0 b1
ëÅ‚37.029 öÅ‚
t0 := t1 := t = varb1 = 0.028
ìÅ‚31.276 ÷Å‚
varb0 varb1 íÅ‚ Å‚Å‚
RMS
RMS
= 0.028
= 0.028
2
(100 - 1)Å"var(EprzezVm3) - mean(EprzezVm3)
Å‚Å‚
"îÅ‚(EprzezVm3)k
ðÅ‚ ûÅ‚
k
H0 : bi = 0 jeśli abs(t) > tkr H0 można odrzucić
Ä…
ëÅ‚37.029 öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
Ä… := 0.01 -qt , 100 - 1 - 1 = 2.627 t =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚31.276 ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
- 3
b0 = 2.547 × 10
Ä…
- 3
ëÅ‚ öÅ‚Å"
bgora0 := b0 + -qt , 100 - 1 - 1 varb0 bgora0 = 2.728 × 10
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä…
- 3
ëÅ‚ öÅ‚Å"
bdol0 := b0 - -qt , 100 - 1 - 1 varb0 bdol0 = 2.366 × 10
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
b1 = 0.885
Ä…
ëÅ‚ öÅ‚Å"
bgora1 := b1 + -qt , 100 - 1 - 1 varb1 bgora1 = 0.959
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä…
ëÅ‚ öÅ‚Å"
bdol1 := b1 - -qt , 100 - 1 - 1 varb1 bdol1 = 0.81
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
dr inż. Maciej Mijakowski 15/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
Ä… := 0.01
Ä…
ëÅ‚ öÅ‚
tÄ… := -qt , 100 - 1 - 1
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
(EprzezVm3 - mean(EprzezVm3))
1 k
xestgorak := xest4k + tÄ…Å"stderr(EprzezVm3, xpomiar)Å" +
100
îÅ‚
(EprzezVm3 - mean(EprzezVm3)
" k
ïÅ‚
k
ðÅ‚
2
(EprzezVm3 - mean(EprzezVm3))
1 k
xestdolk := xest4k - tÄ…Å"stderr(EprzezVm3, xpomiar)Å" +
100
îÅ‚
(EprzezVm3 - mean(EprzezVm3))
" k
ïÅ‚
k
ðÅ‚
xest4
0.006
xpomiar
xestgora
xestdol
0.004
0.002
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
EprzezVm3
xest4k
0.006
xpomiark
xestgorak
0.004
xestdolk
0.002
40 42 44 46 48 50
k
dr inż. Maciej Mijakowski 16/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
Ä… := 0.01
Ä…
ëÅ‚ öÅ‚
tÄ… := -qt , 100 - 1 - 1
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
(EprzezVm3 - mean(EprzezVm3
1 k
xestgorapk := xest4k + tÄ…Å"stderr(EprzezVm3, xpomiar)Å" 1 + +
100
îÅ‚
(EprzezVm3 - mean(EprzezVm3
" k
ïÅ‚
k
ðÅ‚
(EprzezVm3 - mean(EprzezVm3
1 k
xestdolpk := xest4k - tÄ…Å"stderr(EprzezVm3, xpomiar)Å" 1 + +
100
îÅ‚
(EprzezVm3 - mean(EprzezVm3
" k
ïÅ‚
k
ðÅ‚
xest4
0.006
xpomiar
xestgora
xestdol
0.004
0.002
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
EprzezVm3
xest4k
0.006
xpomiark
xestgorak
0.004
xestdolk
0.002
40 42 44 46 48 50
k
dr inż. Maciej Mijakowski 17/18
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 6
technice
E
îÅ‚xzew ëÅ‚xzew E öÅ‚Å‚Å‚Å"expëÅ‚- Vm3 Å"töÅ‚
xlap(t) := xzew + + - +
ïÅ‚ ìÅ‚ ÷łśł ìÅ‚ ÷Å‚
roÅ"Vm3 roÅ"Vm3 Kub
ðÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
xest4 := b0 + b1Å"EprzezVm3
xzew - b0
- 3 - 3
b0 = 2.547 × 10 xzew = 2.73 × 10 Å"100Å"% = 6.705 %
xzew
1
- b1
1 ro
b1 = 0.885 = 0.833 Å"100Å"% = -6.158 %
ro 1
ro
- 3 - 3
bgora0 = 2.728 × 10 bdol0 = 2.366 × 10
bgora1 = 0.959 bdol1 = 0.81
0 1 0
-3 -3
0 1 1.85647·10 0 4.1058644·10
-3 -3
1 1 1.3954843·10 1 3.7418314·10
-3 -3
2 1 2.2028588·10 2 4.4712533·10
-3 -3
3 1 1.4592825·10 3 3.8192619·10
-4 -3
4 1 8.1275955·10 4 3.4758079·10
-3 -3
5 1 3.3992163·10 5 5.4607536·10
-3 -3
6 1 1.8386934·10 6 4.1876753·10
-3 -3
X = xpomiar =
7 1 3.3521385·10 7 5.8754912·10
-3 -3
8 1 3.7510113·10 8 5.9088274·10
-3 -3
9 1 3.5923507·10 9 6.293227·10
-3 -3
10 1 3.9087637·10 10 5.5607828·10
-3 -3
11 1 2.8056586·10 11 5.089615·10
-3 -3
12 1 4.4748403·10 12 6.5738238·10
-3 -3
13 1 2.9170342·10 13 5.6051415·10
-3 -3
14 1 1.4230831·10 14 4.0851111·10
-3 -3
15 1 1.9184402·10 15 3.8599143·10
dr inż. Maciej Mijakowski 18/18