Analiza funkcjonalna - wykład 7 - część I
Elementy i zbiory ortogonalne
w przestrzeni Hilberta
Zofia Lewandowska
I Matematyka SDS
specjalizacja nauczycielska
Zofia Lewandowska
Spis treści
1
Definicja
Twierdzenie Pitagorasa
2
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie Riesza
Zofia Lewandowska
Definicja
Definicja
Elementy x i y przestrzeni unitarnej X nazywamy ortogonalnymi,
jeżeli (x|y) = 0.
ozn. x⊥y
Zofia Lewandowska
Definicja
Definicja
Elementy x i y przestrzeni unitarnej X nazywamy ortogonalnymi,
jeżeli (x|y) = 0.
ozn. x⊥y
Własność
Jeżeli element y jest ortogonalny do x
1
i x
2
, to y jest ortogonalny
do αx
1
+ βx
2
dla każdej liczby α i β.
Zofia Lewandowska
Definicja
Definicja
Mówimy, że x jest ortogonalny do zbioru A, jeżeli x⊥a dla każdego
a ze zbioru A.
ozn. x⊥A
Zofia Lewandowska
Definicja
Definicja
Mówimy, że x jest ortogonalny do zbioru A, jeżeli x⊥a dla każdego
a ze zbioru A.
ozn. x⊥A
Definicja
Mówimy, że zbiory A i B są ortogonalne, jeżeli każdy element
zbioru A jest ortogonalny do każdego elementu zbioru B.
ozn. A⊥B
Zofia Lewandowska
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa
Niech X będzie przestrzenią unitarną.
Jeżeli elementy x i y są ortogonalne, to
kx + yk
2
= kxk
2
+ kyk
2
.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Uwaga
Domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni Hilberta jest
przestrzenią Hilberta.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Uwaga
Domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni Hilberta jest
przestrzenią Hilberta.
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Niech X
0
będzie podprzestrzenią liniową domkniętą w przestrzeni
Hilberta X.
Każdy element x przestrzeni X można przedstawić w sposób
jednoznaczny w postaci
x = x
0
+ z,
gdzie x
0
∈ X
0
, z⊥X
0
.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
X = X
0
⊕ X
⊥
0
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie Riesza
Twierdzenie Riesza 1
Jeżeli f jest ciągłym funkcjonałem liniowym określonym
w przestrzeni Hilberta X, to istnieje dokładnie jeden element a
w przestrzeni X taki, że
f (x) = (x|a)
dla każdego x z przestrzeni X oraz kf k = kak.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie Riesza
Twierdzenie Riesza 1
Jeżeli f jest ciągłym funkcjonałem liniowym określonym
w przestrzeni Hilberta X, to istnieje dokładnie jeden element a
w przestrzeni X taki, że
f (x) = (x|a)
dla każdego x z przestrzeni X oraz kf k = kak.
Twierdzenie Riesza 2
Dla każdego a z przestrzeni Hilberta X wzór
f (x) = (x|a)
dla każdego x z przestrzeni X, określa ciągły funkcjonał liniowy
nad przestrzenią Hilberta X taki, że kf k = kak.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Wnioski
Wniosek 1
Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią Hilberta. Wówczas X
∗
jest izometrycznie izomorficzna z X.
ozn. X
∗
' X
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Wnioski
Wniosek 1
Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią Hilberta. Wówczas X
∗
jest izometrycznie izomorficzna z X.
ozn. X
∗
' X
Wniosek 2
Niech X będzie przestrzenią Hilberta. Wówczas istnieje
różnowartościowe odwzorowanie
H : X
∗
→ X
z przestrzeni sprzężonej X
∗
na X takie, że
H(f ) = a, f ∈ X
∗
oraz kH(f )k = kf k, tj. H jest izometrią.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie Riesza
Ogólny kształt funkcjonału liniowego ciągłego nad przestrzenią l
2
Jeżeli f jest ciągłym funkcjonałem liniowym określonym
w przestrzeni l
2
, to istnieje dokładnie jeden element a = (α
k
)
k∈N
w przestrzeni l
2
taki, że
f (x) =
∞
X
k=1
ξ
k
α
k
dla każdego x = (ξ
k
)
k∈N
z przestrzeni l
2
oraz kf k = kak.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie Riesza
Ogólny kształt funkcjonału liniowego ciągłego nad przestrzenią l
2
Dla każdego a = (α
k
)
k∈N
z przestrzeni l
2
wzór
f (x) =
∞
X
k=1
ξ
k
α
k
dla każdego x = (ξ
k
)
k∈N
z przestrzeni l
2
, określa ciągły funkcjonał
liniowy nad przestrzenią l
2
taki, że kf k = kak.
Zofia Lewandowska
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
7i id 46490 Nieznany (2)
analiza notatki 3 id 559208 Nieznany (2)
analiza ilosciowa 2 id 60539 Nieznany
Analiza czynnikowa id 59935 Nieznany (2)
Darfur analiza kryzysu id 13186 Nieznany
Analiza Finansowa 3 id 60193 Nieznany (2)
Analiza finansowhga id 60398 Nieznany (2)
IMW W02 analiza stanow id 21233 Nieznany
Analiza krancowa id 60743 Nieznany (2)
analiza skupien id 61367 Nieznany
Analiza termiczna id 61671 Nieznany (2)
Analiza biochemiczna id 59863 Nieznany
analiza wzory id 61812 Nieznany (2)
analiza kationow 2 id 60685 Nieznany
analiza chem 2 id 59885 Nieznany (2)
Analiza matematyczna 2 id 60894 Nieznany
więcej podobnych podstron