Tabela pochodnych ważniejszych funkcji elementarnych

Podane wzory mają sens tylko dla wartości x z dziedziny danej funkcji. Na przykład dziedzina funkcji
potęgowej f (x) = x

α

zależy od α: gdy α = 1, 2, 3, ... jest liczbą naturalną, to dziedziną f (x) jest zbiór

wszystkich liczb rzeczywistych R, gdy α = −1, −2, ..., to dziedziną jest zbiór liczb różnych od zera, a gdy
na przykład α =

1
2

, czyli gdy f (x) = x

1
2

=

√

x, to dziedziną jest zbiór liczb nieujemnych [0, ∞). Więcej

informacji o dziedzinach poniższych funkcji będzie podanych na wykładzie.

Nazwa funkcji

Wzór funkcji i wzór jej pochodnej

funkcja stała

(c)

0

= 0

funkcja potęgowa, α 6= 0

(x

α

)

0

= αx

α−1

pierwiastek kwadratowy, tzn. α =

1
2

(

√

x)

0

=

1

2

√

x

funkcja wykładnicza, a > 0, a 6= 1

(a

x

)

0

= a

x

ln a

funkcja wykładnicza o podstawie e

(e

x

)

0

= e

x

funkcja logarytmiczna, a > 0, a 6= 1

(log

a

x)

0

=

1

x ln a

logarytm naturalny, tzn. a = e

(ln x)

0

=

1

x

sinus

(sin x)

0

= cos x

cosinus

(cos x)

0

= − sin x

tangens

(tg x)

0

=

1

cos

2

x

= 1 + tg

2

x

cotangens

(ctg x)

0

= −

1

sin

2

x

= −(1 + ctg

2

x)

arkus sinus

(arcsin x)

0

=

1

√

1−x

2

arkus cosinus

(arccos x)

0

= −

1

√

1−x

2

arkus tangens

(arctg x)

0

=

1

1+x

2

arkus cotangens

(arcctg x)

0

= −

1

1+x

2

sinus hiperboliczny

(sh x)

0

= ch x

cosinus hiperboliczny

(ch x)

0

= sh x

Uwaga: sh x =

e

x

−e

−x

2

, ch x =

e

x

+e

−x

2

.

Tabela całek nieoznaczonych ważniejszych funkcji elementarnych

Ponieważ całka nieoznaczona jest wyznaczona z dokładnością do stałej, więc każdy z poniższych
wzorów zawiera składnik C ∈ R.

R

0 dx = C

R

cos x dx = sin x + C

R

c dx = cx + C

R

1

sin

2

x

dx = −ctg x + C

R

x

α

dx =

x

α+1

α+1

+ C,

α 6= −1

R

1

cos

2

x

dx = tg x + C

R

dx

x

= ln |x| + C

R

1

1+x

2

dx = arctg x + C

R

a

x

dx =

a

x

ln a

+ C,

0 < a 6= 1

R

1

√

1−x

2

dx = arcsin x + C

R

e

x

dx = e

x

+ C

R

sh x dx = ch x + C

R

sin x dx = − cos x + C

R

ch x dx = sh x + C