1. Wykazać słuszność postulatu Einsteina o niezmienności światła w próżni w różnych

układach odniesienia.

S – nieruchomy układ odniesienia
S' – układ poruszający się

Zakładamy, że punkt materialny porusza się w S' z pewną prędkością v

x'

=v, układ S' ma względem

układu S prędkość u.
Z jaką prędkością porusza się punkt materialny względem S?

x '=v

x '

⋅

t '

przesunięcie w kierunku osi 0X

→

x=

x 'u⋅t '



1−

u

2

c

2

,

x=

v

x '

⋅

t ' u⋅t '



1−

u

2

c

2

czas zmierzony w układzie S (nieporuszającym się):

t=

t 'u⋅

v

x'

⋅

t '

c

2





1−

u

2

c

2

,

v

x

=

x

t

=

v

x'

⋅

t 'u⋅t '



1−

u

2

c

2

⋅



1−

u

2

c

2

t 'u⋅

v

x

⋅

t '

c

2

=

t '⋅ v

x '



u

t ' 1

u⋅v

x

'

c

2



=

uv

x'

1

uv

x '

c

2

Załóżmy, że v

x'

=c, zatem:

v

x

=

uc

1

u⋅c

c

2

=

uc

1

u

c

=

c⋅

cu
cu

=

c

l

ub odwrotnie :

v

x '

=

c−u

1−

u⋅c

c

2

=

c−u

1−

u

c

=

c⋅

c−u
c−u

=

c

Z tych dwóch równań wynika, że prędkość światła jest niezależna w każdym układzie odniesienia.

2. Udowodnić Twierdzenie Steinera.

Twierdzenie Steinera – moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi obrotu jest
równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek
masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu pomiędzy tymi dwoma osiami.

I =I

0



m⋅d

2

,

gdzie I

0

– moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy

m – masa bryły
d – odległość pomiędzy osiami

- gdzie

∫

r⋅dm

określa odległość od środka masy, zatem=0

- iloczyn d

2

i całkowitej masy bryły

- moment bezwładności I

0

zatem

I =I

0



m⋅d

2

Δm

i

r

i

r

i'

d

d



2

⋅

∑

i=1

n



m

i

I =

∑

i=1

n



m

i



r



i '



2

=

∑

i =1

n



m

i



d





r



i



2

2 d



⋅

∑

i=1

n



m

i

r



i

I =

∑

i=1

n



m

i

⋅

r



i

2



∑

i=1

n



m

i

2 d



⋅

r



i



∑

i =1

n



m

i

d



2

I =

∑

i=1

n



m

i



r



i

⋅

r



i



2 d



⋅

r



i



d



⋅

d



=

∑

i=1

n



m

i



r



i

2



2 d



⋅

r



i



d



2



r



i '

=

d





r



i

∑

i=1

n



m

i

⋅

r



i

2

3. Wykazać, w której przemianie gazu doskonałego średnia prędkość cząstek gazu nie ulega

zmianie.

Temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej molekuł gazu. Jeżeli zmianie nie ulegnie prędkość
cząsteczek, a masa gazu zostanie taka sama, to znaczy, że nie zmienia się E

k

układu

→

PRZEMIANA

IZOTERMICZNA.

KINEMATYCZNO-MOLEKULARNA INTERPRETACJA TEMPERATURY

p=

1
3

⋅⋅

v

—

2

=

1
3

N
V

⋅

m⋅v

—

2

, ponieważ

=

N⋅m

V

średnia energia kinetyczna molekuł -

E

—

k

=

m⋅v

—

2

2

,

2 E

—

k

=

m⋅v

—

2

p=

2
3

N
V

⋅

E

—

k

,

p⋅V =

2
3

N⋅E

—

k

(

pV =nRT =

N

N

A

RT =NkT

)

NkT =

2

3

N⋅E

—

k

kT =

2
3

⋅

E

—

k

T =

2
3

⋅

E

—

k

k

im wyższa temperatura, tym wyższa energia wewnętrzna układu

→

4. Czy gaz doskonały wykonuje pracę rozprężając się adiabatycznie? Odpowiedź uzasadnij.

Przemiana adiabatyczna – proces termodynamiczny, podczas którego ciepło nie zostaje wymienione z
otoczeniem (całość energii jest dostarczana [sprężanie] lub odbierana [rozprężanie] jako praca).

pV



=

const

,

=

C

p

C

v

=



1



,



- zależy od stopni swobody

C

p

– ciepło molowe przy stałym ciśnieniu

C

v

– ciepło molowe przy stałej objętości

p

1

V

1



=

p

2

V

2



5. Jaka jest przyczyna zjawiska dyfuzji i czy jest ono odwracalne?

Dyfuzja wywołana jest przez chaotyczne ruchy i zderzenia cząsteczek lub atomów substancji
dyfundujących ze sobą (np. 2 gazów) lub substancji z otaczającym ją ośrodkiem.
Dyfuzja prowadzi do wyrównania stężeń, jednak jeżeli do tego dojdzie, nie spowoduje to zatrzymania
dyfuzji – będzie ona jednak niezauważalna (stężenia będą już wyrównane).
Dyfuzja jest procesem nieodwracalnym.

6. Wykazać, że siły elektrostatyczne są siłami zachowawczymi.

Siły zachowawcze to takie siły, dla których praca po dowolnej drodze między dowolnymi punktami A i B
nie zależy od przebytej drogi (krzywej toru, po którym porusza się ciało) i wyraża się przez zmianę
energii potencjalnej ciała w trakcie ruchu od A do B. (Zależą od położenia A i B, nie od przebiegu drogi,
toru czy też prędkości przemieszczania się ciał).
Siły elektrostatyczne są siłami zachowawczymi, bo zgodnie z Prawem Coulomba nie zależą od drogi
pokonanej przez ładunki, ale jedynie od przesunięcia (odległości pomiędzy ładunkami).

F =

q⋅Q

r

2

7. Dlaczego linie sił pola elektrostatycznego nigdy się nie przecinają?

Pole elektryczne w każdym punkcie przestrzeni jest jednoznacznie określone przez wektor natężenia pola
E. Wektor ten może mieć tylko jeden zwrot i kierunek w danym punkcie. Gdyby linie pola się przecinały,
to w punkcie przecięcia wektor E (który jest styczny do linii pola) miałby dwa kierunki i zwrot co jest
niemożliwe.

8. W oparciu o Prawo Gaussa wyprowadzić wzór na pojemność kondensatora cylindrycznego o

promieniach R

1

i R

2

oraz wysokości H.



0

⋅

r

⋅

∮

E⋅dS =

∑

q

,



0

⋅

r

⋅

E⋅

∮

dS =Q

,



0



r

⋅

E 2  r H =Q

E=

Q



0

⋅

r

⋅

2  r H

,

E=−

dV

dr

,

Q



0

⋅

r

⋅

2  r H

=−

dV

dr

V – różnica potencjałów pomiędzy okładkami kondensatora

C=

Q
V

, zatem:

9. Definicja strumienia pola magnetycznego.

Strumień pola jest wielkością skalarną opisującą pole wektorowe i jego źródłowość.
Strumień indukcji magnetycznej jest strumieniem pola dla indukcji magnetycznej. Dla powierzchni
płaskiej i jednorodnego pola magnetycznego wzór na strumień ma postać:

=

B



∘ S



=

B⋅S⋅cos 

, gdzie



- kąt pomiędzy wektorami

B



i

S



Dla dowolnej powierzchni:

=

∮

B



∘ S



=

∮

B⋅dS⋅cos 

Strumień indukcji pola magnetycznego przyjmuje wartość maksymalną, gdy jest prostopadły do
powierzchni, a najmniejszy (=0), gdy jest do niej równoległy.
Strumień pola przechodzący przez powierzchnię zamkniętą jest równy 0 (ilość strumieni „wchodzących”
równa się ilości strumieni „wychodzących”, ponadto nie istnieją źródła pola magnetycznego w postaci
pojedynczych biegunów magnetycznych).

10. W oparciu o zasadę Fermata wyprowadzić wzór na prawo odbicia.

ZASADA FERMATA – promień świetlny poruszający się z punktu P do punktu Q podąża zawsze drogą,
na której przebycie potrzeba lokalnie ekstremalnego czasu (minimalnego lub maksymalnego).

droga punktu światła:

l=



A

2



x

2





b

2



d −x 

2

t=

L
c

dL

dx

=

2x

2



a

2



x

2



2 d −x ⋅−1

2



b

2



d −x 

2

Liczymy ekstremum:

x



a

2



x

2

=

d −x



b

2



d −x 

2

x

d-x

a

b

V =−

Q

2  

0



r

H

⋅

∫

R

1

R

2

1
r

dr =−

Q

2 

0



r

H

⋅[

ln r ]

R

1

R

2

=−

Q

2  

0



r

H

⋅

ln

R

2

R

2

C=

2 ⋅

0



r

codt H

ln

R

2

R

1

∫

dV =−

∫

Q

2 

0



r

Hr

dr

sin 

1

=

sin 

2

,



1,



2

- kąty ostre, zatem:



1

=

2

(II PRAWO ODBICIA)

I PRAWO ODBICIA – Promień padający, odbity i normalna prostopadła do płaszczyzny odbicia lezą w
jednej płaszczyźnie
II PRAWO ODBICIA – kąt padania jest równy kątowi odbicia

11. Wartość wypadkowej siły zewnętrznej działającej na układ o zmiennej masie jest równy

zero. Wykazać, co jest źródłem przyspieszenia ciała.

Z zasady zachowania pędu:
p

pocz.

=p

konc.

p

pocz

=

m

1

⋅

V

,

gdzie m

1

– masa początkowa układu, V – prędkość początkowa układu

p

konc.

=

m

1



dm

1

⋅

V dV −dm

1

⋅

u ,

gdzie dm

1

=m

konc

–m

pocz

(masa „ubytku”), u –prędkość „ubytku”

Zauważmy, że

V dV =V

wzgl



u

,

gdzie V

wzgl

– prędkość głównego ciała względem ubytku

Z tego wynika

u=−V

wzgl



V dV

Wracając do wzorów na pęd otrzymujemy równanie:

m

1

⋅

V = m

1



dm

1



V dV −dm

1

⋅

u

Po wstawieniu otrzymanego wyżej u, to równanie upraszcza się do:

−

dm

1

⋅

V

wzgl

=

m

1

⋅

dV

/:dt

−

dm

1

dt

⋅

V

wzgl

=

m

1

⋅

dV

dt

gdzie

dm

1

dt

=−

R

-szybkość „ubytku”, zmiany masy

dV

dt

=

a

- przyspieszenie

Otrzymujemy równanie:

R⋅V

wzgl

=

m

1

⋅

a

, gdzie

R⋅V

wzgl

=

T

- siła ciągu

a=

T

m

1

- stąd ciało otrzymuje przyspieszenie

12. Wykazać, że energia kinetyczna bryły sztywnej poruszającej się po okręgu nie zależy od osi

obrotu.

Rozważmy bryłę sztywną poruszającą się z prędkością kątową



wokół stałej osi.

i-ty element bryły ma prędkość

v

i

=

r

i

⋅

, zatem jego energia kinetyczna wynosi:

E

ki

=

m

i

v

I

2

2

E

ki

=

∑

i=1

n

m

i

v

i

2

2

=

∑

i=1

n

m

i

r

i

2



2

(ponieważ

v

i

=

r

i

⋅

)

zatem

E

ki

=



2

2

∑

i =1

n

m

i

r

i

2

, gdzie

∑

i=1

n

m

i

r

i

2

- moment bezwładności bryły sztywnej

E

ki

=

I⋅

2

2

- energia kinetyczna bryły sztywnej nie zależy od osi obrotu, a od prędkości kątowej i

momentu bezwładności danej bryły

13. Kinetyczna i energetyczna interpretacja stopni swobody.

a) UJĘCIE KINETYCZNE – liczba stopni swobody – liczba niezależnych współrzędnych potrzebnych do
określenia położenia drugiego ciała w przestrzeni
[i] – liczba stopni swobody.

punkt materialny: na osi:i=1, na płaszczyźnie: i=2, w przestrzeni: i=3

→

układ punktów materialnych:

→

•

dwie cząstki sztywno ze sobą związane: i = 2*3 współrzędne – 1 równanie łączące= 5

•

trzy cząstki: i = 3*3 – 3 = 6

[6 – maksymalna liczba stopni swobody dla bryły sztywnej]

b) UJĘCIE ENERGETYCZNE
E

k

=E

k.post.

+E

k.obrot.

E

k.post.

=

mv

2

2

=

m

2

⋅

v

x

2



v

y

2



v

z

2

=

mv

x

2

2



mv

y

2

2



mv

z

2

2

E

k.obrot.

=

I 

2

2

=

I

x



x

2

2



I

y



y

2

2



I

z



z

2

2

Liczba stopni swobody jest to ilość niezależnych sposobów gromadzenia energii kinetycznej.

E

k

=

mv

x

2

2



mv

y

2

2



mv

z

2

2



I

x



x

2

2



I

y



y

2

2



I

z



z

2

2

cząstka porusza się względem osi 0X: E

→

k.obrot.

=0, v

y

=0, v

z

=0,

E

k

=

mv

x

2

2

, i=1

cząstka porusza się po płaszczyźnie: Ek.obrot.=0, vz=0,

→

E

k

=

mv

x

2

2



mv

y

2

2

, i=2

2 połączone cząstki: i=5

→

3 połączone cząstki: i=6

→

14. Mikroskopowa interpretacja ciśnienia.

m – masa gazu
N – liczba molekuł
m' – masa jednej molekuły

p=

F

S

=

F
l

2

F



=

∑

m'⋅a



a



x

=



v



x



t

,



v

x

=

2v

x

, ponieważ

∣

v



x

∣

=

∣

v



x

'

∣

-odbicie doskonale sprężyste



t=

2l
v

x

F =

∑

m'⋅

v

x

2

l

,

a

x

=



v

x

t

=

2v

x

2l
v

x

=

v

x

2

l

F =

m'

l

⋅

∑

v

x

2

v

—

2

=

∑

v

x

2

N

=

v

1

2



v

2

2



...v

n

2

N

, gdzie

∑

v

x

2

=

N⋅v

x

2

oraz

F =

m'

l

⋅

∑

v

x

2

→

F =

m'

l

⋅

N⋅v

x

2

Z założeń gazu doskonałego wynika:

v

—

2

=

v

—

2

x



v

—

2

y



v

—

2

z

,

v

—

2

x

=

v

—

2

y

=

v

—

2

z

,

v

—

2

x

=

1
3

v

—

2

F =

m'⋅N

l

⋅

1
3

v

—

2

- siła z jaką molekuły działają na poszczególne ciało

p=

F

S

,

p=

m '⋅N

3l

3

⋅

v

—

2

, gdzie l

3

= V (objętość)

m'N = m (masa całkowita)

m

V

=

(gęstość)

zatem:

p=

1
3

⋅

m

V

⋅

v

—

2

=

1
3

⋅⋅

v

—

2

15. Jeden mol powietrza pod ciśnieniem p i objętości V rozpręża się:

a) izobarycznie,
b) izotermicznie
do dwukrotnie większej objętości. Przy której przemianie wykonana została większa praca?

Wykonana praca:

W = p⋅ V

, gdzie p=const. – ciśnienie,



V

-

zmiana objętości

a) PRZEMIANA IZOBARYCZNA

W =

∫

V

1

V

2

p dV = p⋅

∫

V

1

V

2

dV

,

W = p⋅V

2

−

V

1

=

p⋅ 2V−V = pV

W = p⋅V =

nRT

V

⋅

V =nRT

b) PRZEMIANA IZOTERMICZNA

W =

∫

V

1

V

2

pdV =

∫

V

1

V

2

nRT

V

dV =nRT

∫

V

1

V

2

dV

V

=

nRT⋅ln

V

2

V

1

=

nRT⋅ln

2V

V

=

nRT⋅ln 2

ln 21

, zatem większa praca została wykonana w przypadku przemiany izobarycznej

16. Wyprowadź zależność współczynnika tarcia wewnętrznego w gazach od parametrów

mikroskopowych gazu.

TARCIE WEWNĘTRZNE – tarcie międzycząsteczkowe substancji.
Przykład: dwie stykające się ze sobą warstwy gazu, poruszające się względem siebie z prędkością v.
Każda cząsteczka gazu uczestniczy jednocześnie w dwóch ruchach:

•

chaotycznym ruchu cieplnym ze średnią prędkością u

•

uporządkowanym ruchem warstwy z prędkością v

v ≪u

!!!

W wyniku tego ruchu cząsteczki stale przechodzą z jednej warstwy do drugiej, przekazując swój pęd
cząsteczkom tej warstwy szybsza warstwa jest hamowana, wolniejsza przyspiesza

→

współczynnik tarcia wewnętrznego:

=

u⋅

 

3

, gdzie u – średnia prędkość ruchu cieplnego



- gęstość gazu,



- średnia droga swobodna (średnia droga

swobodna jest tym mniejsza, im większe ciśnie-
nie gazu [większa gęstość], więc lepkość nie za-
leży od ciśnienia, tylko od temperatury)

17. Jaką pracę wykonuje siła, z którą pole magnetyczne o indukcji B oddziaływuje na cząstkę o

ładunku q poruszającą się z prędkością V prostopadłą do wektora indukcji B?

Nie zostaje wykonana żadna praca, ponieważ nie zmienia się energia kinetyczna cząstki.

18. W oparciu o prawo Biota-Savarta wyprowadzić zależność wartości indukcji pola

magnetycznego od odległości od nieskończonego przewodnika, w którym płynie prąd o
natężeniu I.

PRAWO BIOTA-SAVARTA:

dB



=

0

⋅

r

⋅

I dl



x r



4  r

3

dH



=

I dl



x r



4 r

3

,

B



=

0

⋅

r

⋅

H



dB



=

0

⋅

r

⋅

I dl

4 r

2

⋅

sin 

dH



=

I dl

4 r

2

⋅

sin 

,

=∢

dl



, r





a

r

=

sin  ,

l

a

=

ctg  , r=

a

sin 

l=a⋅ctg 

, l= f 

19. W oparciu o zasadę prac wirtualnych wyjaśnić zasadę działania podnośnika śrubowego.

Istnieją dwie zasady prac wirtualnych:

zasada o pracy rzeczywistych obciążeń na wirtualnych przemieszczeniach

→

: rzeczywiste

obciążenia wykonują pracę na wirtualnych przemieszczeniach równą pracy uogólnionych sił
przekrojowych na wirtualnych odkształceniach.

zasada o wirtualnych obciążeniach na rzeczywistych przemieszczeniach

→

: praca

zewnętrznych sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach jest równa pracy wirtualnych sił
przekrojowych na rzeczywistych odkształceniach.
Upraszczając – zakładamy, że konstrukcja ulegnie przesunięciu, by móc skorzystać z zasady zachowania
energii.
Generalnie zasadę prac wirtualnych wykorzystuje się w mechanice budowli, można jednak ją wykorzystać
do wyjaśnienia działania prasy śrubowej/podnośnika śrubowego:

Załóżmy, że rączka o długości 50cm służy do obracania śruby o skoku gwintu 2,5mm(cztery obroty na

→
jeden cm).
Z jaką siłą należy działać, aby podnieść ciężar 1000kg?
Podczas jednego obrotu koniec rączki przebędzie drogę równą ok. 3,14m. Zatem, aby podnieść tonę na
2,5cm musimy dokonać 10 (2,5 x 4) obrotów śruby i koniec rączki musi przebyć drogę 31,4m. Jeśli siła, z
którą działamy na koniec rączki pochodzi – za pośrednictwem bloczków – od zawieszonego ciężarka i

α

r

I

A

l

dl

a

l ' =

dl

d 

=

−

a

sin

2



B=

−

0



r

⋅

I

4  a

⋅−

1−1=



0



r

⋅

I

2  a

∫

dB=

−

0



r

⋅

I

4  a

∫

sin  d =

−

0



r

⋅

I

4 a

∫

0



sin  d =

−

0



r

⋅

I

4 a

⋅[

cos]

0



dB=

−

0



r

⋅

Id ⋅sin 

4  r

2

⋅

sin

2



=

−

0



r

⋅

Id 

4 

a

2

sin

2



⋅

sin 

=

−

0



r

I⋅a⋅sin  d 
4  a

2

=

−

0



r

⋅

I d  sin 

4 a

równa jest jego ciężarowi W , to przy podnoszeniu tony o 2,5cm ciężarek opadnie o 31,4m. Obliczamy
stąd, że W wynosi ok. 0,8kg (Podnieśliśmy 1000kg na wysokość 2,5 cm jednocześnie obniżając ciężar W

o 31,4m, czyli 3140 cm.

→

2,5 cm

3140cm

⋅

1000kg

⁓ 0,796 kg

) .

20. Wyprowadzić wzór na siłę działającą na przewodnik o długości L, w którym płynie prąd o

natężeniu I umieszczonym w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji B.

W przewodniku cały ładunek to:

q=n⋅e

Prąd, jaki popłynie:

I =

q

t

, czyli

I =

n⋅e

t

Na każdy elektron działa siła Lorentza:

F⋅L=e⋅V⋅B

, gdzie V – średnia prędkość elektronu

Na cały przewodnik działa n sil Lorentza, czyli

F =n⋅FL

Zatem:

F =q⋅V⋅B

i

q=I⋅t

F =I⋅t⋅V⋅B

(

t⋅V =l

- długość przewodnika)

F =I⋅l⋅B

21. Czym różni się zachowanie paramagnetyka od zachowania dimagnetyka w zewnętrznym

polu magnetycznym?

Paramagnetyki

→



r



1

(wciągnięcie do pola, np. tlen, aluminium)

Dimagnetyki

→



r



1

(wypchnięcie z pola, np. miedź, ołów)

22. Na czym polega zjawisko całkowitego zewnętrznego odbicia i gdzie jest ono

wykorzystywane?

Jest to zjawisko fizyczne zachodzące dla fal, występujące na granicy ośrodków o różnych
współczynnikach załamania. Polega ono na tym, że światło padające na granicę od strony ośrodka o
wyższym współczynniku załamania pod kątem większym niż kąt graniczny, nie przechodzi do drugiego
ośrodka, lecz ulega całkowitemu odbiciu.
Zjawisko to wykorzystywane jest w światłowodach i pryzmatach.

23. Wyprowadzić wzór na częstotliwości harmoniczne występujące w piszczałce organowej

obustronnie otwartej o długości L. Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi u.

L=

s

=

1
2

⋅

b

, gdzie



s

- dla fali stojącej,



b

- dla fali biegnącej

W piszczałce może być n fal stojących, czyli:

L=n⋅

1
2

⋅

=

V⋅T =V⋅

1

f



, więc

L=

1
2

⋅

n⋅V⋅

1

f

Z tego wiadomo, że

f =

n⋅V

2L

24. Ładunek Q rozmieszczono na przewodniku w kształcie sześcianu o boku a. Czy gęstość

powierzchniowa ładunku będzie taka sama na całej powierzchni sześcianu?

Największa gęstość powierzchniowa będzie na krawędziach sześcianu.

25. W oparciu o doświadczenie Michelsona – Marleya wyprowadzić wzór na dylatacje czasu.

gdyby aparatura pozostawała w spoczynku względem

→
eteru, czasy przejścia wiązek od zwierciadeł do interfero-
metru byłyby równe

t

1

– czas przebiegu od B do C

t

2

– czas powrotu

c⋅t

1

=

Lu⋅t

1

,

t

1

=

L

c−u

c⋅t

2

=

L−u⋅t

2

,

t

2

=

L

uc

czas całkowity:

t

1



t

2

=

2L⋅c

c

2

−

u

2

t

1



t

2

=

2

L
c

1−

u

2

c

2

*

t

3

– czas przebiegu światła od B do E



c⋅t

3



2

=

L

2



u⋅t

3



2

L

2

=

c

2

⋅

t

3

2

−

u

2

⋅

t

3

2

=

t

3

2



c

2

−

u

2



t

3

=

L



c

2

−

u

2

t

4

– czas powrotu odległość taka sama, więc

→

t

4

= t

3

, a czas całkowity wynosi 2t

3

2t

3

=

2L



c

2

−

u

2

=

2

L

C



1−

u

2

c

2

*'

Czas (*) jest krótszy niż ten w (*'), mimo że zarówno C, jak i E są w tej samej odległości od B. W
doświadczeniu nie wykryto jednak różnic czasu.

→

skrócenie Lorentza (skrócenie ciał zachodzące jedynie w kierunku ruchu)

L

I

=

L

0

⋅



1−

u

2

c

2

t

1



t

2

=

2

L
c

⋅



1−

u

2

c

2

1−

u

2

c

2

=

2

L
c



1−

u

2

c

2

=

2t

3

Metoda skrócenia jest w porządku, należy jeszcze jednak zmodyfikować czasy w sposób podany w
równaniach:

x '=

x−ut



1−

u

2

c

2

,

y ' = y

,

z '=z

,

t '=

t−

ux

c

2



1−

u

2

c

2

(jest to konieczne, ponieważ czas t

3

obliczony dla drogi od B do E i z powrotem jest inny, gdy oblicza go

człowiek wykonujący doświadczenie w poruszającym się układzie, a inny dla nieruchomego obserwatora)

poruszający się

→

2

L
c

, nieruchomy

→

2

L
c



1−

u

2

c

2

, 1 sek. dla obserwatora wewnątrz poruszającego się

z prędkością u układu to

1



1−

u

2

c

2

sek. dla nieruchomego obserwatora.

26. Ile razy ciepło molowe gazu przy stałej objętości jest mniejsze od ciepła molowego gazu

pod stałym ciśnieniem?

C

v

– ciepło molowe przy stałej objętości (C

v

=C

p

-R)

C

p

– ciepło molowe przy stałym ciśnieniu (C

p

=C

v

+R)

C

p

C

v

=

, dla cząsteczek: jednoatomowych:

=

R⋅

3
5

, dwuatomowych

=

R⋅

5
7

,

trzyatomowych

=

R⋅

3
4

27. Jaka jest przyczyna występowania zjawiska przewodnictwa cieplnego?

Przewodnictwo cieplne polega na przekazywaniu energii kinetycznej cząsteczek z ciał/substancji o
wyższej temperaturze do ciał/substancji o niższej temperaturze.
Ciała/subst. o wyższej temperaturze mają cząsteczki o wyższej średniej prędkości. Podczas zetknięcia się
z ciałem/subst. o niższej temperaturze – a zarazem niższej średniej prędkości cząsteczek – przekazują
energię kinetyczną. Przez to ciała o wyższej temperaturze początkowej oziębiają się, a ciała o niższej
temperaturze ulegają ociepleniu.

28. Jakie powierzchnie nazywamy powierzchniami ekwipotencjalnymi?

Powierzchnie w polu potencjalnym, w którym wszystkie punkty mają jednakowy potencjał.
Powierzchnie potencjalne określa się dla wszystkich pól potencjalnych (np. pola elektrostatycznego,
grawitacyjnego). Powierzchnie ekwipotencjalne są w każdym punkcie pola prostopadłe do wektora siły,
czyli do linii natężenia pola.

29. W oparciu o prawo Gaussa wyprowadzić wzór na pojemność kondensatora kulistego o

promieniu okładek R

1

i R

2

.

U =−

∫

R

1

R

2

E dr=−

∫

R

1

R

2

Q

4  r

2



0

dr =−

Q

4 r

2



0

∫

R

1

R

2

dr

r

2

=

Q

4  r

2



0



1

R

2

−

1

R

1



C=

Q

U

,

C=

4 r

2



0



1

R

2

−

1

R

1



30. Warunek powstania siły elektromotorycznej indukcji.

Warunkiem powstania SEM w obwodzie elektrycznym jest zmiana w czasie strumienia
magnetycznego przenikającego przez ten obwód.

Wartość SEM zależy od szybkości tych zmian w czasie:

(Prawo Faradaya)

31. W oparciu o zasadę Fermata wyprowadzić wzór na prawo załamania światła.

(zasada Fermata pyt. 10)

→

Światło biegnie z punktu A do punktu B, chcemy znaleźć krzywą, po której się porusza.

=−

 



t

Są 2 ośrodki optyczne o współczynnikach załamania n

1

i n

2

, prędkość światła w każdym z tych

ośrodków:

v

1

=

c

n

1

,

v

2

=

c

n

2

.

x – miejsce, w którym światło przechodzi przez granicę
ośrodków

czas potrzebny na przebycie tej drogi:

t  x =



x

2

−

h

1

2

v

1





h

2

2



a

2

−

x

2



2

v

2

a – odległość pomiędzy A i B mierzona w poziomie

dt  x 

dx

=

0

<=>

x

v

1

⋅



x

2



h

1

2



−

a− x

v

2

⋅



h

2

2



a− x

2

=

0

x

v

1

⋅



x

2



h

1

2

=



a− x

v

2

⋅



h

2

2



a− x

2

v

1

2

=

−

x



h

1

2



x

2

a− x

h

2

2



a−x 

2

,

v

1

v

2

=

sin 

sin 

, zatem:

v

1

v

2

=

n

2

n

1

=

sin 
sin 

32. Jakie zjawisko nazywamy rezonansem i jaki warunek musi być spełniony, aby wystąpił

rezonans?

Rezonansem nazywamy zjawisko polegające na przepływie energii pomiędzy dwoma lub większą ilością
układów drgających. Warunkami koniecznymi wystąpienia rezonansu są:

jednakowa lub bardzo zbliżona częstotliwość drgań do drgań własnych układu

→

istnienie mechanicznego połączenia między układami

→

33. Kondensator naładowano za pomocą baterii, którą następnie odłączono. Między okładki

kondensatora wsunięto dielektryk. Co się dzieje z ładunkiem, pojemnością, różnicą
potencjałów i energią kondensatora?

ładunek:

→

Q=const.

pojemność:

→

C

1

=



0

⋅

S

d

,

C

2

=



0

⋅

r

⋅

S

d

=

r

⋅

C

1

- wzrost pojemności

różnica potencjałów (napięcie):

→

U

1

=

Q

C

1

=

Q⋅d


0

⋅

S

,

U

2

=

Q

C

2

=

Q⋅d



0

⋅

r

⋅

S

=

U

1



r

- spadek napięcia

energia:

→

W

1

=

Q⋅U

1

2

,

W

2

=

Q⋅U

2

2

=

Q⋅U

1

2 

r

- spadek energii

natężenie:

→

E

1

=

U

1

d

,

E

2

=

U

2

d

=

U

1

d⋅

r

- spadek natężenia

34. Dwie identyczne kulki znajdujące się w odległości r od siebie naładowano identycznymi

ładunkami Q. Czy zmieni się wielkość oddziaływania, jeżeli część ładunku przeniesiemy z
pierwszej kulki na drugą?

Q – ładunek początkowy, r – odległość między kulkami, q – część przeniesionego ładunku

I.

F

1

=

Q⋅Q

r

2

⋅

k =

Q

2

r

2

⋅

k

II. F

2

=



Q−qQq

r

2

⋅

k=

Q

2

−

q

2

r

2

⋅

k

- zmniejszy się siła Coulomba działająca na kulki (zmiana wartości o kwadrat przeniesionego ładunku q

2

)





x

a-x

h

1

h

2

35. Jaki jest mechanizm powstawania płaskiej fali elektromagnetycznej? Metody polaryzacji.

Powstanie fali elektromagnetycznej – zmienne w czasie pole magnetyczne indukuje wirowe pole
elektryczne i na odwrót – zmienne w czasie pole elektryczne indukuje wirowe pole magnetyczne. Ciąg
tych wzajemnie sprzężonych pól nzw. falą elektromagnetyczną.
Jest to fala poprzeczna, w której składowa elektryczna i magnetyczna są prostopadłe do siebie, a obie są
prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali.

Fala płaska – w idealnym jednorodnym dielektryku nie występują swobodne ładunki, a parametry
elektryczne nie zależą od współrzędnych punktu obserwacji. W takim przypadku można znaleźć
rozwiązanie równania falowego, które zależy wyłącznie od współrzędnej wzdłuż jednego kierunku (0X) i
jest niezmienna w każdej płaszczyźnie Y0Z, prostopadłej do tego kierunku. W takim przypadku mamy do
czynienia z płaską falą elektromagnetyczną.

Polaryzacja fali – zjawisko polaryzacji dotyczy wyłącznie fal poprzecznych i polega na uporządkowaniu
drgań ośrodka (fala spolaryzowana oscyluje tylko w wybranym kierunku).
Polaryzacja fali elektromagnetycznej – związana z wektorem pola elektrycznego.
Metody polaryzacji:

załamanie

→

odbicie

→

rozpraszanie

→

selektywne pochłanianie

→

36. Zbiornik wypełniony jest mieszaniną wodoru i azotu o temperaturze T. Cząsteczki którego

gazu mają większą energię kinetyczną?

Oba gazy mają taką samą energię kinetyczną – energia kinetyczna gazu zależy od ilości stopni swobody (

E

k

=

i

2

⋅

kT

), a cząsteczki wodoru i azotu występują w postaci N

2

i H

2

(5 stopni swobody).

37. Wyprowadzenie wzoru E=mc

2

.

mechanika Newtonowska →

p



=

m⋅v



,

E

k

=

p

2

2m

=

mv

2

2

,

F =

d p



dt

masa ciała zmienia się wraz z jego prędkością:

m=

m

0



1−

v

2

c

2

ruch ciała o zmiennej masie:

p



=

m⋅v



=

m

0



1−

v

2

c

2

⋅

v



F



=

d p



dt

=

dm

dt



d v



dt

⋅

m

wykonana praca

W =E

k

=

∫

Fdx=

∫



dm

dt

⋅

v

dv

dt

⋅

mdx=

∫



dm

dt

⋅

v dx 

∫



dv

dt

⋅

m dx

W =

∫

v⋅

dx

dt

⋅

dm

∫

m⋅dv⋅

dx

dt

=

∫

v

2

dm

∫

mv dv

przekształcenia masy:

m=

m

0



1−

v

2

c

2

→

m

2

=

m

0

2

1−

v

2

c

2

→

m

2

−

m

2

⋅

v

2

c

2

=

m

0

2

→

m

2

−

m

0

2

m

2

=

v

2

c

2

→

v

2

=

c

2

m

2

−

m

0

2

m

2

f

1



v =v

2

,

f

2



m=c

2

m

2

−

m

0

2

m

2

f

1

=

f

2

df

1



v

dv

=

2v

→

df

1



v =2v dv

df

2



m

dm

=

c

2

2 m⋅m

2

−

2 mm

2

−

m

0

2



m

4

=

c

2

2 m

0

2

m

3

=

m

0

2

c

2

m

2

⋅−

2

m



→

df

2



m=

2 c

2

m

0

2

m

3

dm

skoro

v

2

=

c

2

m

2

−

m

0

2

m

2

, to

df

1



v =df

2



m

→

c

2

m

0

2

m

3

dm=v dv

E=

∫

c

2

dm=c

2

∫

dm

→

E=mc

2

38. Wyprowadzenie wzoru na moment bezwładności:

a) pręta jednorodnego
b) obręczy
c) walca jednorodnego

a) Pręt jednorodny
m – masa pręta, l – długość pręta

I =

∫

r

2

dm=

¿

b) Obręcz
R – promień obręczy, m – masa obręczy

I =

∫

R

2

dm=R

2

∫

dm=R

2

⋅

m

c) Walec jednorodny

m – masa, R – promień podstawy, h – wysokość,

=

m



R

2

h

- gęstość walca

pochodna objętości

→

dV =2 r h dr

I =∈r

2

dV =

∫

r

2

2  r h dr =2   h

∫

0

R

r

3

dr =2 

m



R

2

h

h⋅[

1
4

r

4

]

0

R

=

2m

R

2

⋅

1
4

R

4

=

1
2

mR

2

39. Więzy. Siły reakcji więzów.

Więzami nazywamy czynniki ograniczające ruch ciała, natomiast siłami reakcji więzów siły, z jakimi więzy
oddziaływują na ciała.
Więzy gładkie – umownie oznaczają gładką powierzchnię, po której rozważane ciało może się poruszać
bez tarcia. Powierzchnia odpowiadająca nie wywiera na ciało siły w kierunku ruchu ciała. Działa
prostopadle do powierzchni, po której porusza się ciało.

E=

∫

m⋅

m

0

2

c

2

m

3

dm

∫

c

2

m

2

−

m

0

2

m

2

dm=

∫

m

0

2

c

2

m

2

dm

∫

c

2

−

m

0

2

c

2

m

2

dm=

∫

m

0

2

c

2

m

2

dm

∫

c

2

dm−

∫

m

0

2

c

2

m

2

dm

dm=

m⋅dr

l

m – l
dm – dr

I =

∫

r

2

m

l

dr=

m

l

∫

1
2

l

− 1

2

l

r

2

dr =

m

l

[

1
3

r

3

]

− 1

2

l

1
2

l

=

m

l

[

1
3

⋅

1
2

l

3

−

1
3

⋅−

1

2

l

3

]=

m

3l



l

3

8



l

3

8

=

1

12

ml

2