FUNKTORY PRAWDZIWO

FUNKTORY PRAWDZIWO

Ś

Ś

CIOWE

CIOWE

Micha

Micha

ł

ł

Krotoszy

Krotoszy

ń

ń

ski

ski

§

§

Prezentacja na prawach rękopisu

§

§

Funktory prawdziwościowe

Funktory

prawdziwościowe

to takie funktory zdaniotwórcze o
argumentach zdaniowych (z/z, z/zz
itp.), w których przypadku na
podstawie samej tylko wartości
logicznej

ich

argumentów,

a niezależnie od ich treści, można
jednoznacznie określić

jaka jest

wartość logiczna zdania zbudowa-
nego za pomocą tego funktora.

Jeśli np. mamy dane zdania

p

oraz

q

oraz dwuargumentowy funktor

lub

to

lub

jest

funktorem

prawdziwo-

ściowym, bo prawdziwość

zdania

p lub q

daje się określić już jedynie

na podstawie wartości logicznej zdań

p

oraz

q.

Urutseg , Formal logic icon

§

§

Rodzaje funktorów. Funktory jednoargumentowe

Funktor asercji to taki funktor
jednoargumentowy, który ze zdaniem
prawdziwym daje zdanie prawdziwe –
a z fa

ł

szywym fa

ł

szywe.

Jego

odpowiednikiem

w

mowie

potocznej by

ł

oby wyrażenie „

Jest tak,

ż

e”.

Np.

Jest tak,

ż

e Piotr czyta

ksi

ąż

k

ę

.

p

Jest tak,

że p

1

1

0

0

Funktor negacji to taki funktor
jednoargumentowy, który ze zdaniem
prawdziwym daje zdanie fa

ł

szywe –

a z fa

ł

szywym prawdziwe.

Jego

odpowiednikiem

w

mowie

potocznej by

ł

oby wyrażenie „

Nie jest

tak,

ż

e”.

Np.

Nie jest tak,

ż

e orangu-

tany mieszkaj

ą

w bibliotekach.

Symbole negacji: ~ , ¬

p

~ p

1

0

0

1

§

§

Funktory dwuargumentowe. Koniunkcja i dysjunkcja

Funktor koniunkcji to taki funktor
dwuargumentowy,

który

daje

zdanie

prawdziwe

tylko

wówczas,

gdy

oba

argumenty są prawdziwe.

Jego odpowiednikiem w mowie potocznej
by

ł

oby spójnik „

i”

„Np.

Pozna

ń

jest miastem

wojewódzkim i Pozna

ń

jest miastem

uniwersyteckim.

Symbole koniunkcji: ^ ,

·

Przy

wieloargumentowej

koniunkcji,

koniunkcja jest prawdziwa tylko, gdy
wszystkie zdania są prawdziwe.

Funktor dysjunkcji to taki funktor
dwuargumentowy,

który

daje

zdanie

fa

ł

szywe tylko wówczas, gdy oba argumenty

są prawdziwe.

Symbol dysjunkcji: /

p

q

p^q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

p

q

p/q

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

§

§

Funktory dwuargumentowe. Alternatywy

Alternatywa nieroz

ł

ączna to taki funktor

dwuargumentowy, który daje zdanie fa

ł

szywe

tylko wówczas, gdy oba argumenty są
fa

ł

szywe.

Jego odpowiednikiem w mowie potocznej
by

ł

oby spójnik „

lub”

„Np.

Gro

ź

ny pies g

ł

o

ś

no

szczeka lub gro

ź

ny pies gryzie w

ł

ydk

ę

.

Symbol alternatywy nieroz

ł

ącznej:

v

Przy

wieloargumentowej

alternatywie

nieroz

ł

ącznej, alternatywa jest prawdziwa już

gdy jedno ze dań jest prawdziwe.

p

q

pvq

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Alternatywa roz

ł

ączna to taki funktor

dwuargumentowy,

który

daje

zdanie

prawdziwe gdy jedno zdanie-argument jest
prawdziwe a drugie fa

ł

szywe.

Jego odpowiednikiem w mowie potocznej
by

ł

oby spójnik „

albo”

„Np.

Wymierza si

ę

kar

ę

grzywny albo wymierza si

ę

kar

ę

wi

ę

zienia.

Symbol alternatywy nieroz

ł

ącznej:

⊥

p

q

p

⊥

q

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

§

§

Funktory dwuargumentowe. Równoważność i implikacja

Równoważność to taki funktor dwuargu-
mentowy, który daje zdanie prawdziwe gdy
oba zdania-argumenty są prawdziwe albo
gdy oba są fa

ł

szywe.

Jego odpowiednikiem w mowie potocznej
by

ł

oby zwrot „

wtedy i tylko wtedy, gdy”

„Np.

Ziemia jest kul

ą

wtedy i tylko wtedy,

gdy ziemia obraca si

ę

wokó

ł

w

ł

asnej osi.

Symbol równoważności:

≡

p

q

p ≡ q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

p

q

p → q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Implikacja to taki funktor dwuargu-
mentowy, który daje zdanie fa

ł

szywe

tylko, gdy poprzednik (zdanie pierwsze)
jest prawdziwy, a następnik (zdanie
drugie) jest fa

ł

szywy.

Jego odpowiednikiem w mowie potocznej
by

ł

oby zwrot „

je

ś

li... to...”

„Np.

Je

ś

li pada

deszcz, to ziemia jest mokra.

Symbole implikacji:

⊂

, →

p → q = ~(p^~q)
p → q = ~p v q

równoważne ≠ równoznaczne

§

§

Zdania sprzeczne
i przeciwne

Parą

zdań

względem

siebie

sprzecznych

nazywamy

parę

zdań,

z których jedno jest negacją drugiego. Np.:

W Zatoce Gda

ń

skiej

ż

yj

ą

rekiny

oraz

Nie

jest tak,

ż

e w Zatoce Gda

ń

skiej

ż

yj

ą

rekiny.

Zasada

sprzeczności

~(p^~p)

Dwa zdania względem siebie sprzeczne nie mogą
oba być prawdziwe.

Zasada

wy

ł

ączonego

środka

pv~p

Dwa zdania względem siebie sprzeczne nie mogą
oba być fa

ł

szywe.

Zasada

podwójnego

przeczenia

p

≡~(~p)

Negacja negacji zdania ma taką samą wartość
logiczną jak zdanie podwójnie zanegowane.

Para zdań przeciwnych to taka para zdań, w których przypadku prawdziwość
jednego z nich przesądza o fa

ł

szywości drugiego, ale fa

ł

szywość jednego z nich

nie przesądza o prawdziwości drugiego. Ze zdań tych oba nie mogą być
prawdziwe – ale oba mogą być fa

ł

szywe.

Np.:

Jack jest psem

oraz

Jack jest muzykiem.

Fbattail/Chris huh, Tiburón

§

§

Znaczenie spójnika „i”

S

ł

owo i jest w języku polskim wieloznaczne:

funktor

dwuargumentowy

od argumentów zdaniowych

(koniunkcja, slajd nr 4)

znaczenie enumeracyjne

A i B są C = A są C i B są C

Psy i koty s

ą

ssakami.

funktor

dwuargumentowy

od

argumentów nazwowych

znaczenie koniunkcyjne

A jest B i C = A jest B i A jest C

(należy do iloczynu obu klas)

Nergal jest muzykiem i celebryt

ą

.

znaczenie syntetyzujące

A i B są C = A i B razem wzięte to C

Zdanie i negacja zdania

to zdania sprzeczne.

§

§

Implikacja i stosunek wynikania

by Pawe

ł

Kokot

Funktor prawdziwościowy implikacji odczytuje się zazwyczaj w
mowie potocznej jako spójnik międzyzdaniowy „jeżeli…., to…”. W
mowie potocznej używamy tego spójnika dla wyrażenia myśli, że
nie tylko nie jest tak, że pierwsze zdanie jest prawdziwe,
a drugie fa

ł

szywe, lecz że

nie może być tak, aby pierwsze

by

ł

o prawdziwe, a drugie fa

ł

szywe

, że ze względu na

treść pierwszego zdania drugie musi być prawdziwe,
czyli że

z pierwszego wynika drugie

.

p

q

p → q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Ze zdania Z

1

wynika Z

2

wtedy i tylko wtedy, gdy:

1) implikacja zbudowana ze zdania Z

1

jako poprzednika i ze zdania Z

2

jako

następnika jest prawdziwa, oraz

2) prawdziwość tej implikacji opiera się na jakimś związku między tym, co g

ł

osi

zdanie Z

1

, a tym, co g

ł

osi zdanie Z

2

.

Związek między tym, co g

ł

osi jakieś zdanie

p

, a tym, co g

ł

osi jakieś zdanie

q

, które ze

zdania

p

wynika, może być bardzo różnorodnego charakteru, dlatego też poprzestaniemy

na podaniu przyk

ł

adów takiego związku…

§

§

Implikacja i stosunek wynikania

by Pawe

ł

Kokot

…może to być np. związek przyczynowy, jak np. w implikacji:

„Je

ś

li d

ł

ugo padaj

ą

deszcze, to gliniaste drogi staj

ą

si

ę

trudne do

przebycia”

, w której stwierdzamy, że deszcze stają się przyczyną

rozmoknięcia dróg (nie znaczy to jednak, że poprzednik jest
zdaniem mówiącym o przyczynie, a następnik – o skutku).

…może to być np. związek strukturalny, to znaczy związek
powsta

ł

y z takiego, a nie innego rozmieszczenia przedmiotów w

przestrzeni albo zdarzeń w czasie, np.

„Je

ś

li teraz jest wiosna, to

za pó

ł

roku b

ę

dzie jesie

ń

”

…może to być np. związek tetyczny, to znaczy powstający z
czyjegoś ustanowienia, np.

„Je

ś

li kto

ś

z winy swej wyrz

ą

dzi

ł

drugiemu szkod

ę

, to wed

ł

ug art. 415 Kodeksu cywilnego

obowi

ą

zany jest do jej naprawienia”

…może to być np. związek analityczny, związany np. z
samym sensem użytych s

ł

ów, np.:

„Je

ś

li Jan jest starszy od

Paw

ł

a, to Pawe

ł

jest m

ł

odszy od Jana”

Taki w

ł

aśnie charakter ma związek wynikania pewnych zdań z

innych ze względu na sens s

ł

ów wyznaczających ich budowę

wewnętrzną –

„Je

ś

li ka

ż

dy notariusz jest prawnikiem, to

niektórzy prawnicy s

ą

notariuszami”

p

q

p → q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

przedmiot badań

LOGIKI

FORMALNEJ

§

§

Implikacja i stosunek wynikania

by Pawe

ł

Kokot

Jeżeli z poprzednika implikacji wynika jej następnik, to poprzednik
nazywamy

racją,

a następnik implikacji –

następstwem.

p

q

p → q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Są zatem trzy możliwości co do wartości logicznej racji i następstwa:

A –

racja prawdziwa i następstwo prawdziwe;

B –

racja fa

ł

szywa i następstwo prawdziwe;

C –

racja fa

ł

szywa i następstwo fa

ł

szywe

! Wykluczone jest natomiast, na mocy definicji, aby racja mog

ł

a być

prawdziwa, a następstwo fa

ł

szywe !

Racja:

Nast

ę

pstwo:

prawdziwa

prawdziwe

fa

ł

szywa

fa

ł

szywe

! ZAPAMIĘTAJ !