Funktory prawdziwościowe a spójniki międzyzdaniowe mowy potocznej
Pojęcie funktora prawdziwościowego (cz. I, rozdz. 7, § 1, str. 77-82)
Funktorem prawdziwościowym nazywamy taki funktor zdaniotwórczy o argumentach zdaniowych, których znaczenie określane jest przez to, iż przy danej wartości logicznej argumentów zdaniowych takiego funktora jednoznacznie określona jest wartość logiczna całego zdania zbudowanego z tego funktora, i z tych argumentów. Wartość logiczna funktora zależy od wartości logicznej zdania argumentu, nie od treści tego zdania. Funktor zwykły po uzupełnieniu zdaniem argumentem prawdziwym tworzy zdanie prawdziwe, a po uzupełnieniu fałszywym - zdanie fałszywe. Funktory prawdziwościowe od jednego argumentu (1 - prawda, 0 - fałsz).
| p | f1(p) | f2(p) | f3(p) ~ | F4(p) |
|---|---|---|---|---|
1 0 |
1 1 |
1 0 |
0 1 |
0 0 |
Funktor Verum - “jest albo nie jest tak, że… |
„jest tak, że…” | Funktor Negacji - „nie jest tak, że…” | Funktor Falsum - „jest i nie jest jednocześnie tak, że…” |
Matryce funktorów prawdziwościowych:
| P | a | f1 | f2 - ν | f3 | f4 - ⊃ | f5 - / | f6 | f7 | f8 - ≡ | f9 - ⊥ | f10 | f11 | f12 - • | f13 | f14 | f15 | f16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Negacja (cz. I, rozdz. 7, § 1, str. 78 i § 2, str. 82-85)
| P | ~p |
|---|---|
1 0 |
0 1 |
Funktor negacji ~ . Odpowiada mu zwrot - „nie jest tak, że...” („nieprawda, że”). Funktor negacji to taki funktor prawdziwościowy, który po uzupełnieniu argumentem prawdziwym (zdaniem prawdziwym) tworzy zdanie fałszywe, a po uzupełnieniu argumentem fałszywym tworzy zdanie prawdziwe. Zdanie zbudowane z tego funktora i zdania składowego nazywamy negacją tego zdania składowego. Para zdań względem siebie sprzecznych - jedno jest negacją drugiego. Prawdziwość pierwszego zdania przesądza o fałszywości drugiego. Fałszywość pierwszego przesądza o prawdziwości drugiego. Zasada sprzeczności głosi, że dwa zdania względem siebie sprzeczne nie mogą oba być prawdziwe. Zasada wyłączonego środka głosi, że dwa zdania względem siebie sprzeczne nie mogą oba być fałszywe (zasada wyłączonego trzeciego - zdania pośredniego). Z zasady sprzeczności i zasady wyłączonego środka wziętych łącznie wynika, że z dwóch zdań względem siebie sprzecznych jedno (i tylko jedno) jest prawdziwe, oraz jedno
(i tylko jedno) jest fałszywe. Zasada podwójnego przeczenia głosi, że negacja negacji jakiegokolwiek zdania ma taką samą wartość logiczną jak zdanie, które zostało podwójnie zanegowane. Wspomniane trzy twierdzenia (oznaczamy je jako T1, T2, T3) nazwano ongiś „podstawowymi zasadami myślenia”, ze względu na ich rolę
w logice dwuwartościowej. Posługując się symbolami funktorów prawdziwościowych, twierdzenia te można zapisać następująco: T1 - zasada sprzeczności: ~ (p • ~p)
T2 - zasada wyłączonego środka: p ν ~ p
T3 – zasada podwójnego przeczenia: p ≡ ~ (~p)
Para zdań względem siebie przeciwnych - nigdy oba nie są prawdziwe. Oba zdania mogą być fałszywe. Prawdziwość któregokolwiek z nich przesądza o fałszywości drugiego, ale fałszywość któregoś z nich, nie przesądza o prawdziwości drugiego zdania.
Koniunkcja (cz. I, rozdz. 7, § 1, str. 78-79 i § 3, str. 85-86)
| P | Q | p • q |
|---|---|---|
1 1 0 0 |
1 0 1 0 |
1 0 0 0 |
Funktor koniunkcji • - zdanie złożone zbudowane za pomocą tego funktora nazywamy koniunkcją. Funktor ten ma pod niektórymi względami właściwości podobne do właściwości znaku mnożenia. Warunkiem wystarczającym i zarazem koniecznym prawdziwości koniunkcji jest prawdziwość obu zdań składowych. Natomiast fałszywość choćby jednego zdania składowego jest warunkiem wystarczającym fałszywości koniunkcji. Fałszywość obu zdań składowych nie jest warunkiem koniecznym fałszywości koniunkcji, gdyż już przy jednym zdaniu fałszywym, całość jest fałszywa. Odpowiada mu spójnik „i” („oraz”). Znaczenie koniunkcyjne spójnika „i” - A jest B i C (A jest B i A jest C) - tworzy część dla tych klas wspólną, czyli iloczyn tych klas (cechy razem). Znaczenie enumeracyjne spójnika „i” - A i B są C (A należy do klasy C oraz B należy do klasy C) - chodzi nam o wszystkie A i wszystkie B, a nie o wszystkie przedmioty A będące zarazem przedmiotem B. Znaczenie syntetyzujące spójnika „i” - A i B razem wzięte to C.
Alternatywa nierozłączna, alternatywa rozłączna, dysjunkcja (cz. I, rozdz. 7, § 1, str. 79-80 i § 4, str. 86-88)
| P | Q | p ν q |
|---|---|---|
1 1 0 0 |
1 0 1 0 |
1 1 1 0 |
Funktor alternatywy nierozłącznej ν . Zdanie złożone zbudowane za pomocą tego funktora nazywamy alternatywą nierozłączną (zwykłą). Pod pewnymi względami ma on właściwości podobne do właściwości znaku dodawania. Warunkiem wystarczającym prawdziwości alternatywy zwykłej jest prawdziwość choćby jednego argumentu zdaniowego. Prawdziwość obu zdań składowych nie jest konieczna. Natomiast warunkiem wystarczającym i zarazem koniecznym fałszywości alternatywy zwykłej jest fałszywość obu zdań składowych. Odpowiada mu spójnik „lub”. Używa się go, gdy może być prawdziwe przynajmniej jedno zdanie (przynajmniej jeden warunek jest spełniony), ale nie wyklucza się, że oba zdania są prawdziwe (spełnione są oba
warunki). Np. „Nabywca otrzymał części zamienne lub bon na bezpłatną naprawę”, tzn. nabywca otrzymał
| P | Q | p ⊥ q |
|---|---|---|
1 1 0 0 |
1 0 1 0 |
0 1 1 0 |
przynajmniej jedno, a nie wyklucza się, że otrzymał jedno i drugie.
Funktor alternatywy rozłącznej ⊥ . Zbudowane za pomocą tego funktora zdanie złożone, zwane alternatywą rozłączną jest prawdziwe, gdy jeden i tylko jeden z argumentów zdaniowych jest prawdziwy, i jeden i tylko jeden jest fałszywy. Dla fałszywości alternatywy rozłącznej wystarczy, aby argumenty były tej samej wartości logicznej (oba prawdziwe albo oba fałszywe). Odpowiada mu spójnik „albo”. Używa się go, gdy tylko jeden warunek może być spełniony. Np. „Nabywca otrzymał części zamienne albo bon na bezpłatną naprawę”, tzn. nabywca otrzymał tylko jedną z dwóch rzeczy.
| P | q | p / q |
|---|---|---|
1 1 0 0 |
1 0 1 0 |
0 1 1 1 |
Funktor dysjunkcji / . Zbudowane za pomocą tego funktora zdanie złożone, zwane dysjunkcją, jest prawdziwe, jeśli przynajmniej jedno ze zdań składowych jest fałszywe. Prawdziwość obu zdań składowych jest warunkiem wystarczającym fałszywości dysjunkcji. Funktor daje, więc zdanie prawdziwe łącząc takie dwa zdania, które nie są oba prawdziwe, tzn. jedno z nich, albo oba są fałszywe. Odpowiada mu spójnik „bądź... bądź...” - jest to spójnik naciągany, niepewny, bowiem nie zawsze jest prawidłowy. Np. „Nabywca otrzymał bądź części zamienne bądź bon na bezpłatną naprawę”, tzn. nabywca nie otrzymał zarazem i części i bonu, co najwyżej otrzymał jedno, a nie wyklucza się tego, że i nie otrzymał części zamiennych, i nie otrzymał bonu”.
Równoważność (cz. I, rozdz. 7, § 1, str. 81-82 i § 5, str. 88-89)
Funktor równoważności ≡ . Tak zbudowane zdanie złożone, zwane równoważnością jest prawdziwe wtedy
i tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są tej samej wartości logicznej, a fałszywe, jeśli zdania są odmiennej
| p | q | p ≡ q |
|---|---|---|
1 1 0 0 |
1 0 1 0 |
1 0 0 1 |
wartości logicznej, niezależnie od treści tych zdań. Zwrot „zawsze i tylko wtedy, gdy...” używany jest w języku polskim dla oznaczenia takiego związku pomiędzy zdaniami, że łączymy takie dwa zdania
o tej samej wartości logicznej (równoważne), które w jakiś sposób powiązane są ze sobą treściowo. Tego, że dwa zdania tworzą prawdziwą równoważność, czyli są zdaniami względem siebie równoważnymi, nie można utożsamiać z tym, że są to zdania równoznaczne. Równoważności formalne (mają większą doniosłość) służą do stwierdzenia pewnych prawidłowości ogólnych, a nie tylko takiej samej wartości logicznej dwóch zdań odnoszących się do jakichś konkretnych przypadków - równoważność materialna.