FUNKTORY PRAWDZIWOŚCIOWE

Funktor prawdziwościowy - jest funktorem zdaniotwórczym od argumentów zdaniowych, a funktor zdaniotwórczy to łącznik, za pomocą, którego z danych zdań tworzy się nowe zdanie.

Zdania określamy małymi literami: p, q, r, s, z

Wartość logiczna zdania: prawda - 1, fałsz - 0

Funktory prawdziwościowe mogą być jednoargumentowe, np.:

AFIRMACJA

Afirmacja potwierdza prawdę, afirmacja zdania p jest niczym innym jak potwierdzeniem istniejącej wartości logicznej zdania.

Funktorem afirmacji jest zwrot: „prawdą jest, że...”

Np. Prawdą jest, że w tym semestrze mamy egzamin z logiki.

• 1

NEGACJA

Negacja, czyli przeczenie, negacja zdania p jest niczym innym jak zaprzeczeniem zdania p.

Funktorem negacji jest zwrot: „nieprawda, że...”

Symbol negacji: ~

Zaprzeczeniem czyli negacją zdania p jest zdanie nieprawda, że p, co zapisujemy ~p. Zdanie ~p nazywamy negacją zdania p Negacja zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym, a negacja zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym.

Z dwóch zdań p i ~p jedno musi być fałszywe. To prawo logiki nosi nazwę zasady sprzeczności.

Z dwóch zdań p i ~p jedno musi być prawdziwe. To zasada wyłączonego środka.

Z tych dwóch zasad wynika: z dwóch zdań p i ~p zawsze jedno jest prawdziwe, a drugie fałszywe.

Prawo podwójnego przeczenia.

Zdanie ~(~p) ma tę samą wartość logiczną co zdanie p.

Zdanie: Nieprawda, że nie przyjdę oznacza, że przyjdę.

Tabelka:

p	~ p
1	0
0	1

Np. Nieprawda, że Katowice leżą nad Wisłą.

1 0

Nieprawda, że w Oświęcimiu jest obóz.

• 1

Funktory prawdziwościowe mogą być wieloargumentowe, np.:

KONIUNKCJA

Funktorem koniunkcji jest zwrot: „i”, ale mogą by też inne: „oraz”, „a także”, „lecz”, „a”, „ale”

Symbol koniunkcji: ∧

Zdanie p ∧ q nazywamy koniunkcją lub iloczynem logicznym zdań p i q, a zdania p i q czynnikami tej koniunkcji. Koniunkcja p ∧ q jest zdaniem prawdziwym, gdy obydwa jej czynniki są zdaniami prawdziwymi. Jeśli zaś przynajmniej jeden z czynników jest zdaniem fałszywym, to koniunkcja jest również zdaniem fałszywym.

Tabelka:

p	q	p ∧ q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Np. Jan jest zajęty, ale może rozwiązać to zadanie.

1 1 1

Polska leży w Europie, a jej prezydent pochodzi z Mongolii.

1 0 0

Kraków jest stolicą Polski i Warszawa jest stolicą Polski.

0 0 1

Uniwersytet Śląski leży w Szwajcarii, ale Wydział Prawa mieści się w Czechach.

0 0 0

ALTERNATYWA NIEROZŁĄCZNA

Funktorem alternatywy nierozłącznej są zwroty: „lub”, „bądź”

Symbol alternatywy rozłącznej: ∨

Alternatywa jest fałszywa tylko w jednym przypadku - gdy oba zdania są fałszywe. W pozostałych przypadkach Alternatywa jest prawdziwa.

Zdanie p ∨ q nazywamy alternatywą lub sumą logiczną zdań p i q, a zdania p, q nazywamy składnikami

tej alternatywy. Zdanie p lub q uznajemy za prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań p, q jest prawdziwe. Alternatywa p ∨ q jest więc prawdziwa, gdy co najmniej jedno ze zdań p, q jest prawdziwe.

Tabelka:

p	q	p ∨ q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Np. Pójdę do kina lub zostanę w domu.

1 1 0

Trzymam pisak w lewej ręce lub w prawej.

1 1 1

Lubię logikę bądź historię prawa.

0 1 1

Pójdę do sklepu po jajka lub przyniosę je z kurnika.

0 0 0

ALTERNATYWA ROZŁĄCZNA

Funktor alternatywy rozłącznej są zwroty: „albo..., albo...”, „bądź..., bądź...”

Symbol alternatywy rozłącznej: ⊥ ,

Alternatywa wykluczająca (alternatywa rozłączna, różnica symetryczna,) to logiczny funktor zdaniotwórczy (dwuargumentowa funkcja boolowska) . Różnica symetryczna zdań
jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jedno ze zdań p, q jest prawdziwe:

Tabelka:

p	q	p ⊥ q
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Np. Albo zdam egzamin z logiki, albo z historii prawa. (zdałam z obu przedmiotów)

1 0 1

Albo wyniosę śmieci, albo pościeram kurze.

1 1 0

Bądź zostanę tutaj, bądź wyjdę na zewnątrz.

0 1 1

Albo Katowice są stolicą Polski, albo Kraków jest stolicą Polski.

0 0 0

IMPLIKACJA

Funktorami implikacji są zwroty: „jeśli..., to...”, „jeżeli..., to...”, „gdyby..., to...” o ile..., to...”

Symbolem implikacji jest: γ , =>

Zdanie złożone, które otrzymujemy po połączeniu dwóch zdań słowami: jeśli ..,, to ... nazywamy implikacją i zapisujemy symbolicznie p ⇒ q. Zdanie p to poprzednik implikacji, a zdanie q to jej następnik.

W języku potocznym zdanie jeżeli p, to q rozumiemy w ten sposób, że q daje się wywnioskować z p.
W sensie matematycznym implikacja p ⇒ q, której poprzednik p i następnik q są zdaniami fałszywymi jest uznawana za prawdziwą. Implikacja p ⇒ q, której zarówno poprzednik p jaki i następnik q są zdaniami prawdziwymi, jest zdaniem prawdziwym. Zdaniem prawdziwym jest też implikacja o poprzedniku fałszywym i następniku prawdziwym. Jedynie przypadek, w którym poprzednik implikacji jest zdaniem

prawdziwym, a następnik zdaniem fałszywym prowadzi nas do zdania fałszywego.

Implikację p ⇒ q uznajemy za zdanie fałszywe tylko wtedy, gdy poprzednik p jest zdaniem prawdziwym, a następnik q jest zdaniem fałszywym. W pozostałych przypadkach implikacje uznajemy za zdanie prawdziwe.

Tabelka:

p	q	p γ q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Np. Jeśli Jan będzie się dobrze uczył, to tata kupi mu komputer.

1 1 1

Jeżeli Jan będzie się dobrze uczył, to tata kupi mu komputer. (nie kupił)

1 0 0

O ile Jan będzie się uczył, to tata kupi mu zabawkę. (nie uczył się, ale tata i tak kupił)

0 1 1

Jeśli Jan się będzie uczył, to tata kupi mu komputer. (nie uczył się, nie ma komputera)

0 1 0

IMPLIKACJA ODWROTNA

Funktorem implikacji odwrotnej jest zwrot: „tylko wtedy..., gdy...”

Symbolem implikacji odwrotnej jest: 

Tabelka:

p	q	p  q
1	1	1
1	0	1
0	1	0
0	0	1

Np. Tylko wtedy pójdę do kina, gdy będzie ładna pogoda.

1 1 1

1 1 0

0 0 1

0 1 0

RÓWNOWAŻNOŚĆ

Funktorem równoważność są: „wtedy i tylko wtedy, gdy...”, „zawsze i tylko wtedy, gdy...”

Symbolem równoważności: ≡ , <=>

Zdanie złożone postaci: p wtedy i tylko wtedy, gdy q nazywamy równoważnością zdań i zapisujemy
p ⇔ q. Zdania p, q nazywamy członami tej równoważności. Równoważność p ⇔ q jest zdaniem prawdziwym tylko wtedy, gdy oba jej człony mają tę samą wartość logiczną, a więc gdy są jednocześnie

zdaniami prawdziwymi lub jednocześnie fałszywymi.

Równoważnymi są takie zdania, które mają tę samą wartość logiczną.

Tabelka:

p	q	p ≡ q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Np. Zawsze i tylko wtedy, gdy Warszawa jest stolicą Polski, Warszawa leży w Polsce.

1 1 1

Zawsze i tylko wtedy, gdy Katowice są stolicą Polski, Katowice leża w Polsce.

0 0 1

DYSJUNKCJA

Funktorem dysjunkcji jest zwrot: „co najwyżej p lub q”

Jeden ze spójników zdaniowych w logice. Mianem tym określa się: dwuargumentowa funkcja boolowska (funktor logiczny). Często przedstawiany symbolicznie jako pionowa kreska "|", który oznacza logiczną negację koniunkcji dwóch argumentów.

Dysjunkcja zdań p | q jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy zdania p i q są równocześnie prawdziwe. Charakterystyczną własnością dysjunkcji jest to, że można przy jej pomocy zdefiniować wszystkie pozostałe spójniki logiczne.

Symbol dysjunkcji: /

Tabelka:

p	q	p / q
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1

Np. Co najwyżej zostanę tłumaczem lub nauczycielką.

0 1 1

Co najwyżej zmienię studia lub zostanę na tych.

1 1 0

Co najwyżej zostanę sędzią lub adwokatem.

1 0 0

BINEGACJA

Funktorem binegacji jest zwrot: „ani..., ani...”

NOR (binegacja)- funkcja boolowska realizująca zaprzeczoną sumę logiczną (NOT OR) - jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba składniki są fałszywe.

Symbol binegacji: 

Tabelka:

p	q	p  q
1	1	0
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Np. Ani ten oskarżony, ani tamten.

0 1 0

Wartości logiczne zdań:

		KONIUNKCJA	ALTERNATYWA	ALTERNATYWA ROZŁĄCZNA (WYKLUCZAJĄCA)	IMPLIKACJA	RÓWNOWAŻNOŚĆ	DYSJUNKCJA
p	q	p∧q	p∨q	p∨q	p⇒q	p⇔q	p/q
0	0	0	0	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	0	1
1	0	0	1	1	0	0	1
1	1	1	1	0	1	1	0

PRAWA RACHUNKU ZDAŃ - TAUTOLOGIE

Zdanie logiczne nazywamy tautologia, jeśli jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zmiennych zdaniowych w nim występujących.

Zaprzeczenie koniunkcji: Negacja koniunkcji dwóch zdań jest równoważna alternatywie negacji tych zdań.

- jest to pierwsze prawo De Morgana (EKSKLUZJA)

p	q	p ٨ q	~ ( p ٨ q )	~p	~q	( ~p )٧(~q )	L <=> P
1	1	1	0	0	0	0	1
1	0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1
0	0	0	1	1	1	1	1

Zaprzeczenie alternatywie: Negacja alternatywy dwóch zdań jest równoważna koniunkcji negacji tych zdań.

- jest to drugie prawo De Morgana (BINEGACJA)

p	q	p ٧ q	~( p ٧ q )	~p	~q	(~p) ٧ ( ~q)	L <=> P
1	1	1	0	0	0	0	1
1	0	1	0	0	1	0	1
0	1	1	0	1	0	0	1
0	0	0	1	1	1	1	1

Zaprzeczenie implikacji:



Zaprzeczenie równoważności:



przykład:
zaprzeczmy zdaniu: uczeń jest lody wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciepło
odp: uczeń je lody i nie jest ciepło lub jest ciepło i uczeń nie je lodów

Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:



Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji:



Prawo przemienności koniunkcji:



Prawo przemienności alternatywy:



Prawo łączności koniunkcji:



Prawo łączności alternatywy:



Prawo transpozycji:

Dowód wprost
Przyjmujemy za prawdziwe założenia i prowadzimy wnioskowanie do momentu stwierdzenia, że teza twierdzenia jest prawdziwa.
Dowód nie wprost
Przyjmujemy przypuszczenia o fałszywości tezy dowodzonego twierdzenia i pokazujemy, że prowadzi ono do sprzeczności z założeniem. Sprzeczność dowodzi prawdziwości twierdzenia.
Zasada indukcji matematycznej
Polega na wykazaniu prawdziwości twierdzenia dla n oraz że dla każdego k>=n z prawdziwości równości dla k wynika jego prawdziwości dla k+1. Wtedy twierdzenie jest prawdziwe.

- to prawo wyjaśnia zagadnienie dowodu nie wprost.

Prawo przechodniości implikacji:



Prawo odrywania:

Prawo wyłączonego środka (tertium non datur) - dla dowolnego zdania p prawdą jest, że p lub nie p.

p v ~p

Prawo sprzeczności

~(p ∧ ~ p)

Prawo pochłaniania

p ⇒ (p ∨ q)

Prawo pochłaniania

(p ∨ q) ⇒ p

Prawo podwójnego zaprzeczenia

~ (~ p) ⇔ p

KWANTYFIKATORY - są to najzwyczajniejsze w świecie stale (oczywiście logiczne), występujące sobie w (noszącym znamiona graficznego rozpisu sensu zdania) rachunku kwantyfikatorów, a oznaczane przez więcej niż wielu wytrawnych Logików w następujący sposób:


- KWANTYFIKATOR DUZY (kwantyfikator ogólny) - ostatnimi czasy zapisywany tak:

(czytany: “DLA KAZDEGO...”)



- KWANTYFIKATOR MALY (kwantyfikator egzystencjalny) - ostatnimi czasy zapisywany tak:

(czytany: “ISTNIEJE TAKI ..., ZE")


NAZWY- są dowolne zmienne - pojedyncze rzeczy, występujące w zdaniu i oznaczamy je małymi literami w następujący sposób :

" x , y , z... "

PREDYKATY - są to zmienne - własności NAZW i relacje miedzy tymi NAZWAMI zachodzące. Oznaczamy je wielkimi literami:

" P , Q , R , S... "

Predykaty reprezentują w wyrażeniu rachunku kwantyfikatorów albo NAZWE (zapisuje się to zawsze tak: P_{( x )} ), albo tez relacje pomiędzy NAZWAMI ( zapis : P_{( x , y )} ).

SCHEMAT ZDANIOWY - jest to symboliczny zapis odzwierciedlający zawartość zdania, np.:

(CZYTAJ : “Dla każdego x , x jest Ptakiem.” )

(CZYTAJ : “Istnieje taki y , ze y jest Qra.” )

1

---