FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

POZIOM PODSTAWOWY

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi:

Zad. 1
Wiedząc, że α jest kątem ostrym i tg α =

1
2

, oblicz wartość wyrażenia

cos α−sin α

2 cos α+3 sin α

.

Rozwiązanie:
Korzystając z zależności tg α =

sin α

cos α

, przekształcamy równość tg α =

1
2

:

tg α =

1

2

⇐⇒

sin α

cos α

=

1

2

⇐⇒ cos α = 2 sin α

Zatem

cos α − sin α

2 cos α + 3 sin α

=

2 sin α − sin α

2 · 2 sin α + 3 sin α

=

sin α

7 sin α

=

1

7

Odp. Wartość podanego wyrażenia wynosi

1
7

.

Zad. 2
Wiedząc, że 0

◦

< α < 90

◦

i cos α =

√

5

5

, oblicz sin α, tg α.

Rozwiązanie:
Aby obliczyć cos α, korzystamy z „ jedynki trygonometrycznej”:

sin

2

α + cos

2

α = 1

sin

2

α +



√

5

5



2

= 1

zał.: sin α ∈ (0; 1)

sin

2

α +

5

25

= 1

sin

2

α = 1 −

1
5

sin

2

α =

4
5

sin α =

2

√

5

∨

sin α = −

2

√

5

/

∈ (0; 1) (sprzeczność z założeniem)

sin α =

2

√

5

5

Zatem sin α =

2

√

5

5

.

Obliczamy tg α:

tg α =

sin α

cos α

=

2

√

5

5

:

√

5

5

=

2

√

5

5

·

5

√

5

= 2

Odp. sin α =

2

√

5

5

, tg α = 2.

Zad. 3
Uzasadnij, że nie istnieje kąt ostry α taki, że sin α =

1
3

i cos α =

2
3

.

Rozwiązanie:
Dla każdego kąta ostrego α prawdziwa jest równość sin

2

α + cos

2

α = 1. Obliczmy więc wartość wyra-

żenia sin

2

α + cos

2

α dla sin α =

1
3

i cos α =

2
3

:

sin

2

α + cos

2

α =



1

3



2

+



2

3



2

=

1

9

+

4

9

=

5

9

6= 1

Zatem nie istnieje kąt ostry α taki, że sin α =

1
3

i cos α =

2
3

.

Zad. 4

Rozwiąż równanie tg x =

2·

√

0,125

3

2

−3,5

dla 0

◦

< x < 90

◦

.

Rozwiązanie:
Obliczamy wartość wyrażenia znajdującego się po prawej stronie równania:

2 ·

p

0, 125

3

2

−3,5

=

2 · (

1
8

)

3
2

2

−3,5

=

2 · (2

−3

)

3
2

2

−3,5

=

2 · 2

−4,5

2

−3,5

=

2

−3,5

2

−3,5

= 1

Rozwiązujemy równanie przy założeniu 0

◦

< x < 90

◦

:

tg x =

2 ·

p

0, 125

3

2

−3,5

⇐⇒ tg x = 1 ⇐⇒ x = 45

◦

Odp. x = 45

◦

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi:

Zad. 5

Dane są liczby a =

−2·sin 30

◦

+4·tg 30

◦

·cos 30

◦

3·tg 45

◦

·sin 30

◦

+cos 60

◦

, b =

13 cos 60

◦

−8 sin 30

◦

3 sin 30

◦

−2 cos 60

◦

. Oblicz wartość wyrażenia



log b−log a

3



−2

.

Rozwiązanie:

a =

−2·sin 30

◦

+4·tg 30

◦

·cos 30

◦

3·tg 45

◦

·sin 30

◦

+cos 60

◦

=

−2·

1
2

+4·

√

3

3

·

√

3

2

3·1·

1
2

+

1
2

=

−1+2

3
2

+

1
2

=

1
2

b =

13 cos 60

◦

−8 sin 30

◦

3 sin 30

◦

−2 cos 60

◦

=

13·

1
2

−8·

1
2

3·

1
2

−2·

1
2

=

5
2

1
2

=

5
2

·

2
1

= 5



log b−log a

3



−2

=



log 5−log

1
2

3



−2

=



log(5:

1
2

)

3



−2

=



log(5·2)

3



−2

=



log 10

3



−2

=

1
3

−2

= 3

2

= 9

Odp.



log b−log a

3



−2

= 9

Zad. 6
Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej BC. Wiadomo, że bok AC ma długość
3 cm i tg |

^CBA| = 0, 6. Oblicz obwód koła opisanego na trójkącie ABC.

Rozwiązanie:

tg |

^CBA| = 0, 6 ⇐⇒

|AC|
|AB|

= 0, 6 ⇐⇒

3

|AB|

=

3
5

⇐⇒ |AB| = 5[cm]

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość boku BC:

(|BC|)

2

= (|AB|)

2

+ (|AC|)

2

zał.: |BC| > 0

(|BC|)

2

= 5

2

+ 3

2

(|BC|)

2

= 25 + 9

(|BC|)

2

= 34

|BC| =

√

34

∨

|BC| = −

√

34 (sprzeczność z założeniem)

Zatem |BC| =

√

34 cm.

Ponieważ środek koła opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej tego

trójkąta, więc promień koła opisanego na trójkącie ABC wynosi r =

√

34

2

cm.

Obliczamy obwód koła opisanego na trójkącie ABC:

L = 2πr = 2π ·

√

34

2

=

√

34π [cm].

Odp. Obwód koła opisanego na trójkącie ABC wynosi

√

34π cm.

Zad. 7
W pewnym trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa

7
5

. Oblicz iloczyn cosinu-

sów tych kątów.

Rozwiązanie:
Niech α, β oznaczają miary kątów ostrych danego trójkąta prostokątnego. Z treści zadania mamy:
sin α + sin β =

7
5

. Ponieważ α i β są kątami ostrymi tego samego trójkąta prostokątnego, więc

sin β = cos α i sin α = cos β. Zatem:

sin α + cos α =

7
5

/()

2

sin

2

α + 2 sin α cos α + cos

2

α =

49
25

sin

2

α + cos

2

α + 2 sin α cos α =

49
25

1 + 2 sin α cos α =

49
25

2 sin α cos α = 1

24
25

− 1

2 sin α cos α =

24
25

/ : 2

sin α cos α =

12
25

cos β cos α =

12
25

Odp. Iloczyn cosinusów tych kątów wynosi

12
25

.

Zad. 8
Sprawdź tożsamość: cos

2

α +

1

tg

2

α

=

1−sin

4

α

sin

2

α

dla kąta ostrego α.

Rozwiązanie:
L = cos

2

α +

1

tg

2

α

= cos

2

α +

1

sin2 α

cos2 α

= cos

2

α +

cos

2

α

sin

2

α

=

sin

2

α cos

2

α

sin

2

α

+

cos

2

α

sin

2

α

=

sin

2

α cos

2

α+cos

2

α

sin

2

α

=

cos

2

α(sin

2

α+1)

sin

2

α

=

(1−sin

2

α)(1+sin

2

α)

sin

2

α

=

1−sin

4

α

sin

2

α

= P

POZIOM ROZSZERZONY

Zad. 9
Rozwiąż równanie: sin x + cos

2

x = 1.

Rozwiązanie:

sin x + cos

2

x = 1

sin x + 1 − sin

2

x = 1

sin x − sin

2

x = 0

sin x(1 − sin x) = 0

sin x = 0

∨

1 − sin x = 0

x = kπ

k ∈ C

sin x = 1

x =

π

2

+ 2kπ

k ∈ C

Odp. x = kπ lub x =

π

2

+ 2kπ, gdzie k ∈ C.

Zad. 10
Sporządź wykres funkcji f (x) =

sin x−| sin x|

cos x

w przedziale h−2π; 2πi.

Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji f :

x ∈ h−2π; 2πi

∧

cos x 6= 0

x 6=

π

2

+ kπ

k ∈ C

Zatem D

f

= h−2π; 2πi \ {−

3
2

π, −

π

2

,

π

2

,

3
2

π}.

Przekształcamy wzór funkcji f :

f (x) =

sin x − | sin x|

cos x

=











sin x−sin x

cos x

,

gdy sin x ­ 0

sin x+sin x

cos x

,

gdy sin x < 0

=











0,

gdy sin x ­ 0

2 sin x

cos x

,

gdy sin x < 0

=

=











0

dla x ∈ h−2π; −

3
2

π) ∪ (−

3
2

π; −πi ∪ h0;

π

2

) ∪ (

π

2

; πi

2 tg x

dla x ∈ h−π; −

π

2

) ∪ (−

π

2

; 0i ∪ hπ;

3
2

π) ∪ (

3
2

π; 2πi

Sporządzamy wykres funkcji f :