http://chomikuj.pl/aligatorro
5
Rozdział I
Liczby zespolone
§ 1.
Wprowadzenie, (dodawanie liczb zespolonych)
Definicja 1.
[6]
Niech
(
)
{
}
R
: a, b
a,b
R
R
C
∈
=
×
=
.
W zbiorze
C
wprowadzimy działanie
+
,
(
) (
)
(
)
d
b
c
a
d
c
b
a
+
+
=
+
,
,
,
.
Twierdzenie 1.
[6]
Działanie + jest ł
ą
czne tj.
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
e,f
c,d
a,b
e,f
c,d
a,b
+
+
=
+
+
dla ka
ż
dego
(
)
a,b
,
(
)
c,d
,
(
)
C
e,f ∈
.
Dowód.
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
e,f
d
c,b
a
e,f
c,d
a,b
L
+
+
+
=
+
+
=
(
)
(
)
(
)
=
+
+
+
+
=
f
d
,b
e
c
a
(
)
(
) (
)
(
)
P
e,f
c,d
a,b
=
+
+
.
Twierdzenie 2.
[6]
Para uporz
ą
dkowana
(
)
0
0, jest elementem neutralnym działania + ,
(
) (
)
(
) (
)
(
)
a,b
a,b
,
,
a,b
=
+
=
+
0
0
0
0
dla ka
ż
dego
(
)
C
a,b ∈
.
Dowód.
(
) (
)
(
)
(
)
b
a
b
a
b
a
,
0
,
0
0
,
0
,
=
+
+
=
+
.
Twierdzenie 3.
[6]
Elementem przeciwnym w sensie działania + , do elementu
(
)
C
a,b ∈
jest
(
)
b
a, −
−
.
http://chomikuj.pl/aligatorro
6
Dowód.
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
,
0
,
,
=
−
+
−
+
=
−
−
+
b
b
a
a
b
a
a,b
.
Definicja 2.
[6]
Par
ę
(
)
b
a, −
−
b
ę
dziemy nazywa
ć
elementem przeciwnym do elementu
(
)
a,b
i b
ę
dziemy oznacza
ć
przez
(
)
a,b
−
.
Twierdzenie 4.
[6]
Działanie + jest przemienne,
(
) (
)
(
) (
)
b
a
d
c
d
c
b
a
,
,
,
,
+
=
+
dla
(
)
b
a
,
,
(
)
C
d
c
∈
,
.
Dowód.
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
b
a
d
c
b
d
a
c
d
b
c
a
d
c
b
a
,
,
,
,
,
,
+
=
+
+
=
+
+
=
+
.
Wniosek 5.
[3]
Zbiór C wraz z działaniem + jest grup
ą
przemienn
ą
.
§ 2.
Mnożenie
W zbiorze C wprowadzamy działanie o okre
ś
lone wzorem
(
) (
)
(
)
bc
ad
bd
ac
d
c
b
a
+
−
=
,
,
,
o
dla
(
)
b
a
,
,
(
)
C
d
c
∈
,
.
W celu ułatwienia, znak o , b
ę
dziemy zapisywa
ć
tylko dla mno
ż
enia
przez liczby rzeczywiste zapisane za pomoc
ą
cyfr oraz wyj
ą
tkowo
w twierdzeniu 21 i wniosku 51. W pozostałych przypadkach symbol ten
b
ę
dziemy opuszcza
ć
.
Twierdzenie 6.
[6]
Działanie mno
ż
enia jest ł
ą
czne,
(
) (
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
,
,
,
,
,
,
=
.
http://chomikuj.pl/aligatorro
7
Dowód.
(
) (
)(
)
(
)
(
)(
)
=
+
−
=
=
de
cf
df
ce
b
a
f
e
d
c
b
a
L
,
,
,
,
,
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
=
−
+
+
+
−
−
=
df
ce
b
de
cf
a
de
cf
b
df
ce
a
,
(
)
bdf
bce
ade
acf
bde
bcf
adf
ace
−
+
+
−
−
−
=
,
oraz
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
=
+
−
=
=
f
e
bc
ad
bd
ac
f
e
d
c
b
a
P
,
,
,
,
,
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
=
−
+
+
+
−
−
=
f
bd
ac
e
bc
ad
f
bc
ad
e
bd
ac
,
(
)
=
−
+
+
−
−
−
=
bdf
acf
bce
ade
bcf
adf
bde
ace
,
(
)
bdf
bce
ade
acf
bde
bcf
adf
ace
−
+
+
−
−
−
=
,
,
P
L =
, wi
ę
c twierdzenie zostało udowodnione.
Twierdzenie 7.
[6]
Element
( )
0
,
1
jest elementem neutralnym (działania mno
ż
enia) o ,
(
)( )
( )(
)
(
)
b
a
b
a
b
a
,
,
0
,
1
0
,
1
,
=
=
dla ka
ż
dego
(
)
C
b
a
∈
,
.
Dowód.
(
)( )
(
)
(
)
b
a
b
a
b
a
b
a
,
1
0
,
0
1
0
,
1
,
=
+
−
=
o
o
o
o
.
Twierdzenie 8.
[6]
Elementem odwrotnym w sensie działania o do elementu
(
)
C
b
a
∈
,
,
gdzie
(
)
(
)
0
,
0
,
≠
b
a
jest
+
−
+
2
2
2
2
,
b
a
b
b
a
a
.
Dowód.
(
)
=
+
−
+
2
2
2
2
,
,
b
a
b
b
a
a
b
a
=
+
+
+
−
+
−
−
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
,
b
a
a
b
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
( )
0
,
1
,
2
2
2
2
2
2
=
+
+
−
+
+
=
b
a
ab
ab
b
a
b
a
.
http://chomikuj.pl/aligatorro
8
Twierdzenie 9.
[6]
Działanie
o
jest przemienne,
(
)(
)
(
)(
)
b
a
d
c
d
c
b
a
,
,
,
,
=
dla
(
)
b
a
,
,
(
)
C
d
c
∈
,
.
Dowód.
(
)(
)
(
)
(
)
=
+
−
=
+
−
=
cb
da
db
ca
bc
ad
bd
ac
d
c
b
a
,
,
,
,
(
)
(
)(
)
b
a
d
c
da
cb
db
ca
,
,
,
=
+
−
=
.
Wniosek 10.
[3]
Para
(
)
{
}
(
)
o
,
0
,
0
\
C
jest grupą przemienną.
§ 3.
Rozdzielność mnożenia względem dodawania
Twierdzenie 11.
[6]
Działanie
o
jest rozdzielne względem + ,
(
) (
) (
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
f
e
b
a
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
,
,
,
,
,
,
,
+
=
+
dla
(
)
b
a
,
,
(
)
d
c
,
,
(
)
C
f
e
∈
,
.
Dowód.
(
) (
) (
)
(
)
(
)(
)
=
+
+
=
+
f
d
e
c
b
a
f
e
d
c
b
a
,
,
,
,
,
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
=
+
+
+
+
−
+
=
e
c
b
f
d
a
f
d
b
e
c
a
,
(
)
be
bc
af
ad
bf
bd
ae
ac
+
+
+
−
−
+
=
,
oraz
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
=
+
f
e
b
a
d
c
b
a
,
,
,
,
(
) (
)
=
+
−
+
+
−
be
af
bf
ae
bc
ad
bd
ac
,
,
(
)
=
+
+
+
−
+
−
=
be
af
bc
ad
bf
ae
bd
ac
,
(
)
be
bc
af
ad
bf
bd
ae
ac
+
+
+
−
−
+
=
,
.
Wniosek 12.
[3]
Układ
(
) (
)
(
)
1,0
,
0,0
,
,
C,
o
+
jest ciałem.
http://chomikuj.pl/aligatorro
9
Definicja 3.
Ciało
(
) (
)
(
)
1,0
,
0,0
,
,
C,
o
+
nazywamy ciałem liczb zespolonych.
Elementy tego ciała nazywamy liczbami zespolonymi.
§ 4.
Ciało liczb rzeczywistych jako podciało
ciała liczb zespolonych
Twierdzenie 13.
Dla dowolnych
R
b
a
∈
,
mamy
(
) (
) (
)
0
,
0
,
0
,
b
a
b
a
+
=
+
,
(
)(
)
(
)
0
,
0
,
0
,
ab
b
a
=
.
Dowód.
(
) (
) (
) (
)
0
,
0
0
,
0
,
0
,
b
a
b
a
b
a
+
=
+
+
=
+
,
(
)(
) (
) (
)
0
,
0
0
,
0
0
0
,
0
,
ab
b
a
ab
b
a
=
+
−
=
o
o
o
.
Z twierdzenia 13 wynikają dwa ważne wnioski.
Wniosek 14.
[3]
Zbiór
(
)
{
}
R
a
a
R
∈
=
:
0
,
~
jest podciałem ciała C ze względu na działania
+
,
o
dziedziczone z C .
Wniosek 15.
[3]
Ciało
R
liczb rzeczywistych i ciało R
~
są izomorficzne. Izomorfizmem
R
R
f
~
:
→
jest odwzorowanie określone wzorem
( ) (
)
0
,
a
a
f
=
dla
R
a ∈
.
Dowód.
(
) (
) (
) (
)
( )
( )
b
f
a
f
b
a
b
a
b
a
f
+
=
+
=
+
=
+
0
,
0
,
0
,
,
( ) (
) (
)(
)
( ) ( )
b
f
a
f
b
a
ab
ab
f
=
=
=
0
,
0
,
0
,
dla dowolnych a ,
R
b ∈
.
http://chomikuj.pl/aligatorro
10
Ponadto
( ) ( )
0
,
1
1 =
f
,
( ) (
)
0
,
0
0 =
f
.
Uwaga. Odpowiadające sobie przy izomorfizmie elementy ciał
R
i R
~
będziemy identyfikować.
§ 5.
Liczba
i
Twierdzenie 16.
[6]
Element
( )
1
,
0
=
i
, nazywamy jednostką urojoną, spełniającą warunki:
1.
1
2
−
=
i
,
2.
1
−
=
i
,
3.
( )
1
2
−
=
−
i
.
Dowód.
(
)(
)
(
)
(
)
1
0
,
1
0
1
1
0
,
1
1
0
0
1
,
0
1
,
0
2
−
=
−
=
+
−
=
=
o
o
o
o
i
,
(
)
(
)(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
=
−
+
−
−
−
−
=
−
−
=
−
0
1
1
0
,
1
1
0
0
1
,
0
1
,
0
2
o
o
o
o
i
(
)
1
0
,
1
−
=
−
=
.
Wniosek 17.
[6]
Dla dowolnej liczby zespolonej
(
)
C
b
a
∈
,
zachodzi równo
ść
(
)
bi
a
b
a
+
=
,
.
Dowód.
(
)
(
) (
)
(
) (
)( )
bi
a
b
a
b
a
b
a
+
=
+
=
+
=
1
,
0
0
,
0
,
,
0
0
,
,
.
http://chomikuj.pl/aligatorro
11
§ 6.
Moduł, część rzeczywista i część urojona
liczby zespolonej
Definicja 4.
[6]
Modułem liczby zespolonej
bi
a +
, nazywamy liczb
ę
rzeczywist
ą
nieujemn
ą
2
2
b
a +
i oznaczamy j
ą
przez
bi
a +
.
Definicja 5.
[6]
Niech
(
)
a
bi
a
re
=
+
,
(
)
b
bi
a
im
=
+
. Wówczas a nazywamy cz
ęś
ci
ą
rzeczywist
ą
za
ś
b cz
ęś
ci
ą
urojon
ą
liczby zespolonej
bi
a +
.
Wniosek 18.
[6]
Dla ka
ż
dego
(
)
bi
a
z
+
=
mamy
z
re z ≤
,
z
im z ≤
.
Dowód.
z
b
a
a
a
re z
=
+
≤
≤
=
2
2
,
z
b
a
b
b
im z
=
+
≤
≤
=
2
2
.
Twierdzenie 19.
[6]
Dla dowolnych
C
z
z
∈
2
1
,
mamy
2
1
2
1
z
z
z
z
=
.
Dowód.
Niech
i
b
a
z
1
1
1
+
=
,
i
b
a
z
2
2
2
+
=
.
Wtedy
(
)(
)
=
−
+
+
=
+
+
=
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
b
b
i
b
a
i
b
a
a
a
i
b
a
i
b
a
z
z
(
) (
)
(
)
(
)
=
+
+
−
=
+
+
−
=
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
b
a
b
a
b
b
a
a
i
b
a
b
a
b
b
a
a
=
+
+
+
+
−
=
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
a
a
a
a
http://chomikuj.pl/aligatorro
12
(
)
(
)
(
)(
)
=
+
+
=
+
+
+
=
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
z
z
b
a
b
a
=
+
+
=
.
Twierdzenie 20.
[6]
Dla dowolnych liczb zespolonych
1
z
,
2
z
, gdzie
0
2
≠
z
, mamy
2
1
2
1
z
z
z
z
=
.
Dowód.
2
2
1
1
z
z
z
z =
.
2
2
1
2
2
1
1
z
z
z
z
z
z
z
=
=
.
St
ą
d
2
1
2
1
z
z
z
z
=
.
Z twierdzenia 20 wynika
Twierdzenie 21.
[6]
Dla dowolnych liczb zespolonych
n
z
z
,...,
1
,
n
n
z
z
z
z
o
o
o
o
...
...
1
1
=
.
Twierdzenie 22.
[6]
(
)
2
1
2
1
re z
re z
z
z
re
+
=
+
,
(
)
2
1
2
1
im z
im z
z
z
im
+
=
+
.
Dowód.
Niech
i
b
a
z
1
1
1
+
=
,
i
b
a
z
2
2
2
+
=
.
Wtedy
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
i
b
b
a
a
re
i
b
a
i
b
a
re
z
z
re
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
re z
re z
a
a
+
=
+
=
,
http://chomikuj.pl/aligatorro
13
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
i
b
b
a
a
im
i
b
a
i
b
a
im
z
z
im
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
im z
im z
b
b
+
=
+
=
.
Twierdzenie 23.
[6]
Dla dowolnej liczby zespolonej
z
mamy
z
re z ≤
i
z
im z ≤
.
Twierdzenie 24.
[6]
Dla dowolnych liczb zespolonych
1
z
,
2
z
mamy
2
1
2
1
z
z
z
z
+
≥
+
.
Dowód.
Mo
ż
emy zało
ż
y
ć
,
ż
e
0
2
1
≠
+
z
z
.
Wtedy
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
+
+
+
=
+
+
=
, wi
ę
c zgodnie z twierdzeniem 22
+
+
+
=
+
+
+
=
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
z
z
z
re
z
z
z
re
z
z
z
z
z
z
re
i na mocy wniosku 18
≤
+
+
+
2
1
2
2
1
1
z
z
z
re
z
z
z
re
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
+
+
+
=
+
+
+
≤
,
2
1
2
2
1
1
1
z
z
z
z
z
z
+
+
+
≤
,
2
1
2
1
z
z
z
z
+
≤
+
.
Twierdzenie 25.
[6]
Dla dowolnych liczb zespolonych
1
z
,
2
z
mamy
2
1
2
1
z
z
z
z
+
≤
−
.
Dowód.
(
)
(
)
2
2
1
2
2
1
1
z
z
z
z
z
z
z
+
+
≤
−
+
=
. Na mocy twierdzenia 24 mamy
http://chomikuj.pl/aligatorro
14
(
)
2
2
1
2
2
1
z
z
z
z
z
z
+
+
≤
+
+
.
St
ą
d
2
2
1
1
z
z
z
z
+
+
≤
,
2
1
2
1
z
z
z
z
+
≤
−
.
Podobnie
(
)
(
)
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
+
+
≤
+
+
≤
−
+
=
,
2
1
1
2
z
z
z
z
+
≤
−
,
(
)
2
1
2
1
z
z
z
z
+
≤
−
−
,
z
z
z
z
2
1
2
1
−
≥
+
.
§ 7.
Sprzężenie liczby zespolonej
Definicja 6.
[6]
Niech
bi
a
z
+
=
. Liczb
ę
bi
a
z
−
=
nazywamy liczb
ą
sprz
ęż
on
ą
do
z
.
Wniosek 26.
[6]
Je
ż
eli
C
z
z
∈
2
1
,
i
0
2
≠
z
, to
2
2
2
1
2
1
z
z
z
z
z
=
.
Dowód.
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
z
z
z
z
z
z
z
z
z
=
=
dla
0
2
≠
z
.
Przykład 1.
[1]
Dane s
ą
liczby
i
z
3
2
1
+
=
,
i
z
−
=
1
2
.
Obliczymy
2
1
z
z +
,
2
1
z
z −
,
2
1
z
z
,
2
1
z
z
.
Mamy
(
) (
)
i
i
i
i
i
z
z
2
3
3
1
2
1
3
2
2
1
+
=
−
+
+
=
−
+
+
=
+
;
(
) (
) (
)
i
i
i
i
i
z
z
4
1
3
1
2
1
3
2
2
1
+
=
+
+
−
=
−
−
+
=
−
;
http://chomikuj.pl/aligatorro
15
(
)(
)
i
i
i
i
i
z
z
+
=
+
+
−
=
−
+
=
5
3
1
3
2
1
2
1
3
2
2
1
o
o
;
(
)(
)
(
)(
)
i
i
i
i
i
i
z
z
z
z
z
z
2
5
2
1
2
5
1
1
1
1
3
2
2
2
2
1
2
1
+
−
=
+
−
=
+
−
+
+
=
=
.
Twierdzenie 27.
[6]
Dla dowolnej liczby zespolonej
z
spełnione jest równanie
z
z =
.
Dowód.
(
)
z
b
a
i
b
a
bi
a
z
=
+
=
−
+
=
−
=
2
2
.
Twierdzenie 28.
[6]
Dla dowolnej liczby zespolonej
z
zachodzi równo
ść
( )
z
z =
.
Dowód.
( ) (
)
(
)
z
bi
a
i
b
a
bi
a
z
=
+
=
−
−
=
−
=
.
Twierdzenie 29.
[6]
Dla dowolnych liczb zespolonych
1
z
,
2
z
mamy:
1.
(
)
2
1
2
1
z
z
z
z
+
=
+
.
2.
(
)
2
1
2
1
z
z
z
z
=
.
3.
(
)
2
1
2
1
z
z
z
z
−
=
−
.
Dowód.
Niech
i
b
a
z
1
1
1
+
=
,
i
b
a
z
2
2
2
+
=
.
1.
(
) (
)
(
) (
)
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
i
b
b
a
a
i
b
a
i
b
a
z
z
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
(
) (
)
=
−
−
+
=
+
−
+
=
i
b
i
b
a
a
i
b
b
a
a
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
z
z
i
b
a
i
b
a
+
=
−
+
−
=
.
2.
(
)(
)
=
−
+
+
=
+
+
=
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
b
b
i
b
a
i
b
a
a
a
i
b
a
i
b
a
z
z
(
) (
)
(
) (
)
=
+
−
−
=
+
−
−
=
i
b
a
a
b
b
b
a
a
i
b
a
b
a
b
b
a
a
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
http://chomikuj.pl/aligatorro
16
(
)(
)
2
1
2
2
1
1
z
z
i
b
a
i
b
a
=
−
−
=
.
3.
(
) (
) (
) (
)
=
−
+
−
=
+
−
+
=
−
i
b
b
a
a
i
b
a
i
b
a
z
z
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
(
) (
)
=
+
−
−
=
−
−
−
=
i
b
i
b
a
a
i
b
b
a
a
2
1
2
1
2
1
2
1
(
) (
)
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
z
z
i
b
a
i
b
a
i
b
a
i
b
a
−
=
−
−
−
=
+
−
−
=
.