05 Rozdział I Liczby zespolone

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

5

Rozdział I

Liczby zespolone

§ 1.

Wprowadzenie, (dodawanie liczb zespolonych)

Definicja 1.

[6]

Niech

(

)

{

}

R

: a, b

a,b

R

R

C

=

×

=

.

W zbiorze

C

wprowadzimy działanie

+

,

(

) (

)

(

)

d

b

c

a

d

c

b

a

+

+

=

+

,

,

,

.

Twierdzenie 1.

[6]

Działanie + jest ł

ą

czne tj.

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

e,f

c,d

a,b

e,f

c,d

a,b

+

+

=

+

+

dla ka

ż

dego

(

)

a,b

,

(

)

c,d

,

(

)

C

e,f

.

Dowód.

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

e,f

d

c,b

a

e,f

c,d

a,b

L

+

+

+

=

+

+

=

(

)

(

)

(

)

=

+

+

+

+

=

f

d

,b

e

c

a

(

)

(

) (

)

(

)

P

e,f

c,d

a,b

=

+

+

.

Twierdzenie 2.

[6]

Para uporz

ą

dkowana

(

)

0

0, jest elementem neutralnym działania + ,

(

) (

)

(

) (

)

(

)

a,b

a,b

,

,

a,b

=

+

=

+

0

0

0

0

dla ka

ż

dego

(

)

C

a,b

.

Dowód.

(

) (

)

(

)

(

)

b

a

b

a

b

a

,

0

,

0

0

,

0

,

=

+

+

=

+

.

Twierdzenie 3.

[6]

Elementem przeciwnym w sensie działania + , do elementu

(

)

C

a,b

jest

(

)

b

a,

.

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

6

Dowód.

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

,

0

,

,

=

+

+

=

+

b

b

a

a

b

a

a,b

.

Definicja 2.

[6]

Par

ę

(

)

b

a,

b

ę

dziemy nazywa

ć

elementem przeciwnym do elementu

(

)

a,b

i b

ę

dziemy oznacza

ć

przez

(

)

a,b

.

Twierdzenie 4.

[6]

Działanie + jest przemienne,

(

) (

)

(

) (

)

b

a

d

c

d

c

b

a

,

,

,

,

+

=

+

dla

(

)

b

a

,

,

(

)

C

d

c

,

.

Dowód.

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

b

a

d

c

b

d

a

c

d

b

c

a

d

c

b

a

,

,

,

,

,

,

+

=

+

+

=

+

+

=

+

.

Wniosek 5.

[3]

Zbiór C wraz z działaniem + jest grup

ą

przemienn

ą

.

§ 2.

Mnożenie

W zbiorze C wprowadzamy działanie o okre

ś

lone wzorem

(

) (

)

(

)

bc

ad

bd

ac

d

c

b

a

+

=

,

,

,

o

dla

(

)

b

a

,

,

(

)

C

d

c

,

.

W celu ułatwienia, znak o , b

ę

dziemy zapisywa

ć

tylko dla mno

ż

enia

przez liczby rzeczywiste zapisane za pomoc

ą

cyfr oraz wyj

ą

tkowo

w twierdzeniu 21 i wniosku 51. W pozostałych przypadkach symbol ten

b

ę

dziemy opuszcza

ć

.

Twierdzenie 6.

[6]

Działanie mno

ż

enia jest ł

ą

czne,

(

) (

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

f

e

d

c

b

a

f

e

d

c

b

a

,

,

,

,

,

,

=

.

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

7

Dowód.

(

) (

)(

)

(

)

(

)(

)

=

+

=

=

de

cf

df

ce

b

a

f

e

d

c

b

a

L

,

,

,

,

,

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

=

+

+

+

=

df

ce

b

de

cf

a

de

cf

b

df

ce

a

,

(

)

bdf

bce

ade

acf

bde

bcf

adf

ace

+

+

=

,

oraz

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

=

+

=

=

f

e

bc

ad

bd

ac

f

e

d

c

b

a

P

,

,

,

,

,

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

=

+

+

+

=

f

bd

ac

e

bc

ad

f

bc

ad

e

bd

ac

,

(

)

=

+

+

=

bdf

acf

bce

ade

bcf

adf

bde

ace

,

(

)

bdf

bce

ade

acf

bde

bcf

adf

ace

+

+

=

,

,

P

L =

, wi

ę

c twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 7.

[6]

Element

( )

0

,

1

jest elementem neutralnym (działania mno

ż

enia) o ,

(

)( )

( )(

)

(

)

b

a

b

a

b

a

,

,

0

,

1

0

,

1

,

=

=

dla ka

ż

dego

(

)

C

b

a

,

.

Dowód.

(

)( )

(

)

(

)

b

a

b

a

b

a

b

a

,

1

0

,

0

1

0

,

1

,

=

+

=

o

o

o

o

.

Twierdzenie 8.

[6]

Elementem odwrotnym w sensie działania o do elementu

(

)

C

b

a

,

,

gdzie

(

)

(

)

0

,

0

,

b

a

jest

+

+

2

2

2

2

,

b

a

b

b

a

a

.

Dowód.

(

)

=

+

+

2

2

2

2

,

,

b

a

b

b

a

a

b

a

=

+

+

+

+

+

=

2

2

2

2

2

2

2

2

,

b

a

a

b

b

a

b

a

b

a

b

b

b

a

a

a

( )

0

,

1

,

2

2

2

2

2

2

=



+

+

+

+

=

b

a

ab

ab

b

a

b

a

.

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

8

Twierdzenie 9.

[6]

Działanie

o

jest przemienne,

(

)(

)

(

)(

)

b

a

d

c

d

c

b

a

,

,

,

,

=

dla

(

)

b

a

,

,

(

)

C

d

c

,

.

Dowód.

(

)(

)

(

)

(

)

=

+

=

+

=

cb

da

db

ca

bc

ad

bd

ac

d

c

b

a

,

,

,

,

(

)

(

)(

)

b

a

d

c

da

cb

db

ca

,

,

,

=

+

=

.

Wniosek 10.

[3]

Para

(

)

{

}

(

)

o

,

0

,

0

\

C

jest grupą przemienną.

§ 3.

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Twierdzenie 11.

[6]

Działanie

o

jest rozdzielne względem + ,

(

) (

) (

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

f

e

b

a

d

c

b

a

f

e

d

c

b

a

,

,

,

,

,

,

,

+

=

+

dla

(

)

b

a

,

,

(

)

d

c

,

,

(

)

C

f

e

,

.

Dowód.

(

) (

) (

)

(

)

(

)(

)

=

+

+

=

+

f

d

e

c

b

a

f

e

d

c

b

a

,

,

,

,

,

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

=

+

+

+

+

+

=

e

c

b

f

d

a

f

d

b

e

c

a

,

(

)

be

bc

af

ad

bf

bd

ae

ac

+

+

+

+

=

,

oraz

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

=

+

f

e

b

a

d

c

b

a

,

,

,

,

(

) (

)

=

+

+

+

be

af

bf

ae

bc

ad

bd

ac

,

,

(

)

=

+

+

+

+

=

be

af

bc

ad

bf

ae

bd

ac

,

(

)

be

bc

af

ad

bf

bd

ae

ac

+

+

+

+

=

,

.

Wniosek 12.

[3]

Układ

(

) (

)

(

)

1,0

,

0,0

,

,

C,

o

+

jest ciałem.

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

9

Definicja 3.

Ciało

(

) (

)

(

)

1,0

,

0,0

,

,

C,

o

+

nazywamy ciałem liczb zespolonych.

Elementy tego ciała nazywamy liczbami zespolonymi.

§ 4.

Ciało liczb rzeczywistych jako podciało

ciała liczb zespolonych

Twierdzenie 13.

Dla dowolnych

R

b

a

,

mamy

(

) (

) (

)

0

,

0

,

0

,

b

a

b

a

+

=

+

,

(

)(

)

(

)

0

,

0

,

0

,

ab

b

a

=

.

Dowód.

(

) (

) (

) (

)

0

,

0

0

,

0

,

0

,

b

a

b

a

b

a

+

=

+

+

=

+

,

(

)(

) (

) (

)

0

,

0

0

,

0

0

0

,

0

,

ab

b

a

ab

b

a

=

+

=

o

o

o

.

Z twierdzenia 13 wynikają dwa ważne wnioski.

Wniosek 14.

[3]

Zbiór

(

)

{

}

R

a

a

R

=

:

0

,

~

jest podciałem ciała C ze względu na działania

+

,

o

dziedziczone z C .

Wniosek 15.

[3]

Ciało

R

liczb rzeczywistych i ciało R

~

są izomorficzne. Izomorfizmem

R

R

f

~

:

jest odwzorowanie określone wzorem

( ) (

)

0

,

a

a

f

=

dla

R

a

.

Dowód.

(

) (

) (

) (

)

( )

( )

b

f

a

f

b

a

b

a

b

a

f

+

=

+

=

+

=

+

0

,

0

,

0

,

,

( ) (

) (

)(

)

( ) ( )

b

f

a

f

b

a

ab

ab

f

=

=

=

0

,

0

,

0

,

dla dowolnych a ,

R

b

.

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

10

Ponadto

( ) ( )

0

,

1

1 =

f

,

( ) (

)

0

,

0

0 =

f

.

Uwaga. Odpowiadające sobie przy izomorfizmie elementy ciał

R

i R

~

będziemy identyfikować.

§ 5.

Liczba

i

Twierdzenie 16.

[6]

Element

( )

1

,

0

=

i

, nazywamy jednostką urojoną, spełniającą warunki:

1.

1

2

=

i

,

2.

1

=

i

,

3.

( )

1

2

=

i

.

Dowód.

(

)(

)

(

)

(

)

1

0

,

1

0

1

1

0

,

1

1

0

0

1

,

0

1

,

0

2

=

=

+

=

=

o

o

o

o

i

,

(

)

(

)(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

=

+

=

=

0

1

1

0

,

1

1

0

0

1

,

0

1

,

0

2

o

o

o

o

i

(

)

1

0

,

1

=

=

.

Wniosek 17.

[6]

Dla dowolnej liczby zespolonej

(

)

C

b

a

,

zachodzi równo

ść

(

)

bi

a

b

a

+

=

,

.

Dowód.

(

)

(

) (

)

(

) (

)( )

bi

a

b

a

b

a

b

a

+

=

+

=

+

=

1

,

0

0

,

0

,

,

0

0

,

,

.

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

11

§ 6.

Moduł, część rzeczywista i część urojona

liczby zespolonej

Definicja 4.

[6]

Modułem liczby zespolonej

bi

a +

, nazywamy liczb

ę

rzeczywist

ą

nieujemn

ą

2

2

b

a +

i oznaczamy j

ą

przez

bi

a +

.

Definicja 5.

[6]

Niech

(

)

a

bi

a

re

=

+

,

(

)

b

bi

a

im

=

+

. Wówczas a nazywamy cz

ęś

ci

ą

rzeczywist

ą

za

ś

b cz

ęś

ci

ą

urojon

ą

liczby zespolonej

bi

a +

.

Wniosek 18.

[6]

Dla ka

ż

dego

(

)

bi

a

z

+

=

mamy

z

re z

,

z

im z

.

Dowód.

z

b

a

a

a

re z

=

+

=

2

2

,

z

b

a

b

b

im z

=

+

=

2

2

.

Twierdzenie 19.

[6]

Dla dowolnych

C

z

z

2

1

,

mamy

2

1

2

1

z

z

z

z

=

.

Dowód.

Niech

i

b

a

z

1

1

1

+

=

,

i

b

a

z

2

2

2

+

=

.

Wtedy

(

)(

)

=

+

+

=

+

+

=

2

1

1

2

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

b

b

i

b

a

i

b

a

a

a

i

b

a

i

b

a

z

z

(

) (

)

(

)

(

)

=

+

+

=

+

+

=

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

b

a

b

a

b

b

a

a

i

b

a

b

a

b

b

a

a

=

+

+

+

+

=

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

b

b

a

a

a

a

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

12

(

)

(

)

(

)(

)

=

+

+

=

+

+

+

=

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

b

a

b

a

b

a

b

b

a

a

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

z

z

b

a

b

a

=

+

+

=

.

Twierdzenie 20.

[6]

Dla dowolnych liczb zespolonych

1

z

,

2

z

, gdzie

0

2

z

, mamy

2

1

2

1

z

z

z

z

=

.

Dowód.

2

2

1

1

z

z

z

z =

.

2

2

1

2

2

1

1

z

z

z

z

z

z

z

=

=

.

St

ą

d

2

1

2

1

z

z

z

z

=

.

Z twierdzenia 20 wynika

Twierdzenie 21.

[6]

Dla dowolnych liczb zespolonych

n

z

z

,...,

1

,

n

n

z

z

z

z

o

o

o

o

...

...

1

1

=

.

Twierdzenie 22.

[6]

(

)

2

1

2

1

re z

re z

z

z

re

+

=

+

,

(

)

2

1

2

1

im z

im z

z

z

im

+

=

+

.

Dowód.

Niech

i

b

a

z

1

1

1

+

=

,

i

b

a

z

2

2

2

+

=

.

Wtedy

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

i

b

b

a

a

re

i

b

a

i

b

a

re

z

z

re

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

re z

re z

a

a

+

=

+

=

,

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

13

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

i

b

b

a

a

im

i

b

a

i

b

a

im

z

z

im

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

im z

im z

b

b

+

=

+

=

.

Twierdzenie 23.

[6]

Dla dowolnej liczby zespolonej

z

mamy

z

re z

i

z

im z

.

Twierdzenie 24.

[6]

Dla dowolnych liczb zespolonych

1

z

,

2

z

mamy

2

1

2

1

z

z

z

z

+

+

.

Dowód.

Mo

ż

emy zało

ż

y

ć

,

ż

e

0

2

1

+

z

z

.

Wtedy

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

+

+

+

=

+

+

=

, wi

ę

c zgodnie z twierdzeniem 22





+

+





+

=





+

+

+

=

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

1

z

z

z

re

z

z

z

re

z

z

z

z

z

z

re

i na mocy wniosku 18





+

+





+

2

1

2

2

1

1

z

z

z

re

z

z

z

re

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

+

+

+

=

+

+

+

,

2

1

2

2

1

1

1

z

z

z

z

z

z

+

+

+

,

2

1

2

1

z

z

z

z

+

+

.

Twierdzenie 25.

[6]

Dla dowolnych liczb zespolonych

1

z

,

2

z

mamy

2

1

2

1

z

z

z

z

+

.

Dowód.

(

)

(

)

2

2

1

2

2

1

1

z

z

z

z

z

z

z

+

+

+

=

. Na mocy twierdzenia 24 mamy

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

14

(

)

2

2

1

2

2

1

z

z

z

z

z

z

+

+

+

+

.

St

ą

d

2

2

1

1

z

z

z

z

+

+

,

2

1

2

1

z

z

z

z

+

.

Podobnie

(

)

(

)

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

+

+

+

+

+

=

,

2

1

1

2

z

z

z

z

+

,

(

)

2

1

2

1

z

z

z

z

+

,

z

z

z

z

2

1

2

1

+

.

§ 7.

Sprzężenie liczby zespolonej

Definicja 6.

[6]

Niech

bi

a

z

+

=

. Liczb

ę

bi

a

z

=

nazywamy liczb

ą

sprz

ęż

on

ą

do

z

.

Wniosek 26.

[6]

Je

ż

eli

C

z

z

2

1

,

i

0

2

z

, to

2

2

2

1

2

1

z

z

z

z

z

=

.

Dowód.

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

z

z

z

z

z

z

z

z

z

=

=

dla

0

2

z

.

Przykład 1.

[1]

Dane s

ą

liczby

i

z

3

2

1

+

=

,

i

z

=

1

2

.

Obliczymy

2

1

z

z +

,

2

1

z

z

,

2

1

z

z

,

2

1

z

z

.

Mamy

(

) (

)

i

i

i

i

i

z

z

2

3

3

1

2

1

3

2

2

1

+

=

+

+

=

+

+

=

+

;

(

) (

) (

)

i

i

i

i

i

z

z

4

1

3

1

2

1

3

2

2

1

+

=

+

+

=

+

=

;

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

15

(

)(

)

i

i

i

i

i

z

z

+

=

+

+

=

+

=

5

3

1

3

2

1

2

1

3

2

2

1

o

o

;

(

)(

)

(

)(

)

i

i

i

i

i

i

z

z

z

z

z

z

2

5

2

1

2

5

1

1

1

1

3

2

2

2

2

1

2

1

+

=

+

=

+

+

+

=

=

.

Twierdzenie 27.

[6]

Dla dowolnej liczby zespolonej

z

spełnione jest równanie

z

z =

.

Dowód.

(

)

z

b

a

i

b

a

bi

a

z

=

+

=

+

=

=

2

2

.

Twierdzenie 28.

[6]

Dla dowolnej liczby zespolonej

z

zachodzi równo

ść

( )

z

z =

.

Dowód.

( ) (

)

(

)

z

bi

a

i

b

a

bi

a

z

=

+

=

=

=

.

Twierdzenie 29.

[6]

Dla dowolnych liczb zespolonych

1

z

,

2

z

mamy:

1.

(

)

2

1

2

1

z

z

z

z

+

=

+

.

2.

(

)

2

1

2

1

z

z

z

z

=

.

3.

(

)

2

1

2

1

z

z

z

z

=

.

Dowód.

Niech

i

b

a

z

1

1

1

+

=

,

i

b

a

z

2

2

2

+

=

.

1.

(

) (

)

(

) (

)

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

i

b

b

a

a

i

b

a

i

b

a

z

z

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

(

) (

)

=

+

=

+

+

=

i

b

i

b

a

a

i

b

b

a

a

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

z

z

i

b

a

i

b

a

+

=

+

=

.

2.

(

)(

)

=

+

+

=

+

+

=

2

1

1

2

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

b

b

i

b

a

i

b

a

a

a

i

b

a

i

b

a

z

z

(

) (

)

(

) (

)

=

+

=

+

=

i

b

a

a

b

b

b

a

a

i

b

a

b

a

b

b

a

a

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

background image

http://chomikuj.pl/aligatorro

16

(

)(

)

2

1

2

2

1

1

z

z

i

b

a

i

b

a

=

=

.

3.

(

) (

) (

) (

)

=

+

=

+

+

=

i

b

b

a

a

i

b

a

i

b

a

z

z

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

(

) (

)

=

+

=

=

i

b

i

b

a

a

i

b

b

a

a

2

1

2

1

2

1

2

1

(

) (

)

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

z

z

i

b

a

i

b

a

i

b

a

i

b

a

=

=

+

=

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
F 13 Liczby zespolone
05 rozdzial 04 nzig3du5fdy5tkt5 Nieznany (2)
liczby zespolone 6 id 267992 Nieznany
1 Liczby Zespolone
liczby zespolone 2
Liczby zespolone
07 Liczby zespoloneid 6724
6 Liczby zespolone Funkcja dwóch i wielu zmiennych
liczby zespolone
LICZBY ZESPOLONE I ALGEBRA LINIOWA M GRZESIAK
05 Rozdzial 3
liczby zespolone na płaszczyźnie2
LICZBY ZESPOLONE(1)
05 Rozdzial V Zbiory
1 Liczby zespolone
postać wykładnicza liczby zespolonej

więcej podobnych podstron