Poprawa kartkówki 1 - rozwiązanie
Zadanie 1. Rozwiąż układ równań z parametrem k ze względu na zmienne
x, y:
(
−2x + (k + 2)y = 2
(k − 1)x + (k − 4)y = −1
Rozwiązanie:
Macierze A i U wynoszą odpowiednio:
A =
"
−2
k + 2
k − 1 k − 4
#
, U =
"
−2
k + 2
2
k − 1 k − 4 −1
#
.
Najpierw policzmy
det A = −2(k − 4) − (k − 1)(k + 2) = −2k + 8 − (k
2
+ 2k − k − 2) =
−2k + 8 − k
2
− k + 2 = −k
2
− 3k + 10.
∆ = (−3)
2
− 4((−1) · 10) = 49. Miejsca zerowe wyznacznika macierzy A to
k
1
=
3−7
−2
= 2 oraz k
2
=
3+7
−2
= −5.
Przypadek 1: k 6= 2 i k 6= −5.
Wtedy macierz A ma rząd równy 2, a z tego rzU = 2. Czyli rzA = rzU = 2
co oznacza, że układ jest oznaczony. Wyznaczamy rozwiązanie (jedyne).
A
1
=
"
2
k + 2
−1 k − 4
#
, A
2
=
"
−2
2
k − 1 −1
#
.
det A
1
= 2(k − 4) + (k + 2) = 2k − 8 + k + 2 = 3k − 6
det A
2
= 2 − 2(k − 1) = −2k + 4
x =
det A
1
det A
=
3k−6
−k
2
−3k+10
=
3(k−2)
−(k−2)(k+5)
=
−3
k+5
y =
det A
2
det A
=
−2k+4
−k
2
−3k+10
=
−2(k−2)
−(k−2)(k+5)
=
2
k+5
(mogliśmy skrócić przez (k − 2),
ponieważ k 6= 2).
Przypadek 2: k = 2.
Wtedy
A =
"
−2
4
1
−2
#
, U =
"
−2
4
2
1
−2 −1
#
. W tym przypadku
rzA = rzU = 1 < n, gdzie liczba zmiennych n = 2, zatem układ jest
nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań, zależnych od
n − 1 = 2 − 1 = 1 parametru - twierdzenie Kroneckera-Capelliego). Zgodnie
z algorytmem (patrz: ćwiczenia 2) odrzucamy jedno równanie (niech to
będzie równanie drugie). Od tego momentu rozważamy tylko
−2x + (k + 2)y = 2.
Przenosimy na drugą stronę równości wyrażenie (k + 2)y i od tego momentu
traktujemy y jako parametr (ponownie algorytm). Z tego x = (1 +
k
2
)y − 1.
