Poprawa kartkówki 1 - rozwiązanie

Zadanie 1. Rozwiąż układ równań z parametrem k ze względu na zmienne
x, y:

(

−2x + (k + 2)y = 2
(k − 1)x + (k − 4)y = −1

Rozwiązanie:
Macierze A i U wynoszą odpowiednio:

A =

"

−2

k + 2

k − 1 k − 4

#

, U =

"

−2

k + 2

2

k − 1 k − 4 −1

#

.

Najpierw policzmy
det A = −2(k − 4) − (k − 1)(k + 2) = −2k + 8 − (k

2

+ 2k − k − 2) =

−2k + 8 − k

2

− k + 2 = −k

2

− 3k + 10.

∆ = (−3)

2

− 4((−1) · 10) = 49. Miejsca zerowe wyznacznika macierzy A to

k

1

=

3−7

−2

= 2 oraz k

2

=

3+7

−2

= −5.

Przypadek 1: k 6= 2 i k 6= −5.
Wtedy macierz A ma rząd równy 2, a z tego rzU = 2. Czyli rzA = rzU = 2
co oznacza, że układ jest oznaczony. Wyznaczamy rozwiązanie (jedyne).

A

1

=

"

2

k + 2

−1 k − 4

#

, A

2

=

"

−2

2

k − 1 −1

#

.

det A

1

= 2(k − 4) + (k + 2) = 2k − 8 + k + 2 = 3k − 6

det A

2

= 2 − 2(k − 1) = −2k + 4

x =

det A

1

det A

=

3k−6

−k

2

−3k+10

=

3(k−2)

−(k−2)(k+5)

=

−3

k+5

y =

det A

2

det A

=

−2k+4

−k

2

−3k+10

=

−2(k−2)

−(k−2)(k+5)

=

2

k+5

(mogliśmy skrócić przez (k − 2),

ponieważ k 6= 2).
Przypadek 2: k = 2.
Wtedy

A =

"

−2

4

1

−2

#

, U =

"

−2

4

2

1

−2 −1

#

. W tym przypadku

rzA = rzU = 1 < n, gdzie liczba zmiennych n = 2, zatem układ jest
nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań, zależnych od
n − 1 = 2 − 1 = 1 parametru - twierdzenie Kroneckera-Capelliego). Zgodnie
z algorytmem (patrz: ćwiczenia 2) odrzucamy jedno równanie (niech to
będzie równanie drugie). Od tego momentu rozważamy tylko
−2x + (k + 2)y = 2.
Przenosimy na drugą stronę równości wyrażenie (k + 2)y i od tego momentu
traktujemy y jako parametr (ponownie algorytm). Z tego x = (1 +

k
2

)y − 1.

Wobec tego rozwiązaniem jest nieskończony zbiór par liczb:

{(x, y) : x = (1 +

k

2

)y − 1, y ∈ R}.

Przypadek 3: k = −5.
Wtedy

A =

"

−2 −3
−6 −9

#

, U =

"

−2 −3

2

−6 −9 −1

#

.

Tutaj rzA = 1, zaś rzU = 2, zatem układ jest sprzeczny.

Zadanie 2. Znajdź dziedzinę funkcji

f (x) = log (

3x − 1

2x + 1

−

x − 1

x + 1

).

Rozwiązanie:
Dziedziną f (x) = log x jest zbiór {x ∈ R : x > 0}, zatem zadanie sprowadza
się do rozwiązania nierówności:

3x − 1

2x + 1

−

x − 1

x + 1

> 0.

Liczymy

(3x − 1)(x + 1)

(2x + 1)(x + 1)

−

(2x + 1)(x − 1)

(2x + 1)(x + 1)

> 0.

(3x

2

+ 3x − x − 1) − (2x

2

− 2x + x − 1)

(2x + 1)(x + 1)

> 0.

(x

2

+ 3x)

(2x + 1)(x + 1)

> 0.

x(x + 3)

(2x + 1)(x + 1)

> 0,

a stąd - korzystając na przykład z metody ”tabelkowej” - rozwiązaniem
nierówności, a tym samym szukaną dziedziną funkcji jest zbiór:

(−∞, −3) ∪ (−1, −

1

2

) ∪ (0, ∞).