Zadanie. Zbadaj przebieg zmienności poniższej funkcji. Sporządź tabelkę przebiegu zmienności
funkcji i naszkicuj wykres z uwzględnieniem charakterystycznych dla niej punktów:
f (x) =
x
3
− 4
x
2
.
Rozwiązanie
1. Dziedzina, parzystość, charakterystyczne punkty
• Dziedzina
D
f
= R \ {0}.
• Parzystość
Najpierw zauważmy, że f (1) = −3, f (−1) = −5. Zatem
f (1) 6= f (−1) oraz f (1) 6= −f (−1).
f nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
(w przeciwnym wypadku któraś z własności (f (x) = f (−x)) lub (f (x) = −f (−x))musiałaby
być spełniona dla każdego x z dziedziny, a my pokazaliśmy, że dla x = 1 tak nie jest.
Czyli ogólnie: mając podejrzenie, że funkcja nie jest parzysta (odpowiednio - niepa-
rzysta) znajdujemy dowolny argument taki, żeby pokazać, że pierwsza (odpowiednio -
druga) powyższa równość nie jest spełniona. Z dużym prawdopodobieństwem będzie to
”pierwszy lepszy” wybrany przez nas x).
• Miejsca zerowe
f (x) = 0
x
3
− 4
x
2
= 0
x =
3
√
4
Miejsce zerowe: {
3
√
4}.
• Punkty przecięcia wykresu z osiami
Punkty przecięcia z osią OX:
(Takie punkty postaci (x, f (x)), w których f (x) = 0. Wobec tego x musi być miejscem
zerowym. Ponieważ jest tylko jedno miejsce zerowe, więc jest tylko jeden punkt prze-
cięcia się wykresu z osią OX)
(
3
√
4, 0).
Punkt przecięcia z osią OY:
(Zawsze jest tylko jeden. Jest on postaci (0, f (0)). Ponieważ wartość f w x = 0 nie
istnieje, więc nie wykres nie przecina się z osią OY.)
Brak.
2. Asymptoty
• Pionowe: Dziedziną jest zbiór (−∞, 0)∪(0, ∞), więc jedynym kandydatem jest x = 0.
lim
x→0
+
f (x) = lim
x→0
+
(x −
4
x
2
) = −∞,
lim
x→0
−
f (x) = lim
x→0
−
(x −
4
x
2
) = −∞.
f ma asymptotę pionową o równaniu x = 0.
• Ukośne:
- prawostronne
a = lim
x→∞
f (x)
x
= lim
x→∞
x
3
− 4
x
3
= lim
x→∞
(1 −
4
x
3
) = 1.
b = lim
x→∞
(f (x) − ax) = lim
x→∞
(
x
3
− 4
x
2
− x) = lim
x→∞
(
x
3
− 4 − x
3
x
2
) = lim
x→∞
(
−4
x
2
) = 0
f ma asymptotę ukośną prawostronną o równaniu y = x.
- lewostronne
a = lim
x→−∞
f (x)
x
= lim
x→−∞
x
3
− 4
x
3
= lim
x→−∞
(1 −
4
x
3
) = 1.
b = lim
x→−∞
(f (x) − ax) = lim
x→−∞
(
x
3
− 4
x
2
− x) = lim
x→−∞
(
x
3
− 4 − x
3
x
2
) = lim
x→∞
(
−4
x
2
) = 0
f ma asymptotę ukośną lewostronną o równaniu y = x.
3. Monotoniczność, ekstrema
f
0
(x) = (
x
3
− 4
x
2
)
0
= (x −
4
x
2
)
0
= 1 +
8
x
3
=
x
3
+ 8
x
3
=
(x + 2)(x
2
− 2x + 4)
x
3
.
Dla równania x
2
− 2x + 4 = 0 jest ∆ < 0, wobec tego x
2
− 2x + 4 > 0 dla każdego x ∈ D
f
(*).
• Przedziały monotoniczności:
f
0
(x) > 0.
(x + 2)(x
2
− 2x + 4)
x
3
> 0.
Po uwzględnieniu (*)
x + 2
x
3
> 0.
Po pomnożeniu obustronnie przez x
6
(możemy tak zrobić, ponieważ x
6
> 0, skoro
D
f
= R \ {0}, ale od teraz musimy pamiętać, że x 6= 0.):
(x + 2)x
3
> 0.
x
-2
0
f
0
(x)
+
0
−
+
- oznacza, że wartość nie istnieje (bierzemy tylko x 6= 0).
Kliknij, aby zobaczyć wykres f
0
(x).
x ∈ (−∞, −2) ∪ (0, ∞)
f jest rosnąca w przedziale x ∈ (−∞, −2) ∪ (0, ∞).
f jest malejąca w przedziale x ∈ (−2, 0).
• Ekstrema:
x
-2
0
f
0
(x)
+
0
−
+
f (x)
%
max
&
%
f ma w x = −2 lokalne maksimum, równe f (−2) = −3.
Uwaga! W punkcie x = 0 funkcja f nie osiąga minimum, ponieważ warunkiem ko-
niecznym na ekstremum w punkcie x jest, aby f
0
(x) = 0, zaś f
0
(0) nie istnieje.
4. Wklęsłość, wypukłość, punkty przegięcia
Policzyliśmy już
f
0
(x) = 1 +
8
x
3
.
Wobec tego
f
00
(x) = (1 +
8
x
3
)
0
= (1 + 8x
−3
)
0
= −24x
−4
= −
24
x
4
x
(−∞, −2)
−2
(−2, 0)
0
(0, ∞)
f
00
(x)
−
−
−
−
• Przedziały wklęsłości i wypukłości:
Widać, że f
0
(x) < 0 dla każdego x ∈ D
f
. Stąd wniosek, że
f jest wklęsła w zbiorze R \ {0}.
• Punkty przegięcia:
Natychmiastową konsekwencją powyższego faktu jest
brak punktów przegięcia f .
Uwaga! Gdyby było inaczej,z tabelki łatwo odczytalibyśmy przedziały wypukłości
(czyli zbiory, gdzie f
00
(x) > 0), wklęsłości (f
00
(x) < 0) oraz punkty przegięcia (f
00
(x) =
0 oraz f
00
(x) zmienia znak na przeciwny)).
5. Tabelka, wykres
• Tabelka:
x
(−∞, −2)
−2
(−2, 0)
0
(0, ∞)
f
0
(x)
+
0
−
+
f
00
(x)
−
−
−
−
f (x)
y=x
%
−3(max)
&
−∞
−∞
%
y=x
wklęsła
wklęsła
Uwaga! Informacja, że
y=x
% oraz %
y=x
jest napisana po to, aby zaznaczyć, że dla
x → −∞ oraz dla x → ∞ funkcja zachowuje się podobnie jak funkcja y = x (patrz:
asymptoty ukośne).
Informacja, że &
−∞
oraz
−∞
% wynika z badania asymptot pionowych w punkcie
x = 0 (patrz: asymptoty pionowe).
Powyższą tabelkę można tworzyć na wiele różnych sposobów. Najlepiej utworzyć tak,
aby zawrzeć jak najwięcej informacji, które pozwolą nam naszkicować wykres badanej
funkcji f .
• Wykres:
Kliknij, aby zobaczyć wykres funkcji f (x).
