Zadanie. Zbadaj przebieg zmienności poniższej funkcji. Sporządź tabelkę przebiegu zmienności
funkcji i naszkicuj wykres z uwzględnieniem charakterystycznych dla niej punktów:

f (x) =

x

3

− 4

x

2

.

Rozwiązanie

1. Dziedzina, parzystość, charakterystyczne punkty

• Dziedzina

D

f

= R \ {0}.

• Parzystość

Najpierw zauważmy, że f (1) = −3, f (−1) = −5. Zatem

f (1) 6= f (−1) oraz f (1) 6= −f (−1).

f nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

(w przeciwnym wypadku któraś z własności (f (x) = f (−x)) lub (f (x) = −f (−x))musiałaby
być spełniona dla każdego x z dziedziny, a my pokazaliśmy, że dla x = 1 tak nie jest.
Czyli ogólnie: mając podejrzenie, że funkcja nie jest parzysta (odpowiednio - niepa-
rzysta) znajdujemy dowolny argument taki, żeby pokazać, że pierwsza (odpowiednio -
druga) powyższa równość nie jest spełniona. Z dużym prawdopodobieństwem będzie to
”pierwszy lepszy” wybrany przez nas x).

• Miejsca zerowe

f (x) = 0

x

3

− 4

x

2

= 0

x =

3

√

4

Miejsce zerowe: {

3

√

4}.

• Punkty przecięcia wykresu z osiami

Punkty przecięcia z osią OX:
(Takie punkty postaci (x, f (x)), w których f (x) = 0. Wobec tego x musi być miejscem
zerowym. Ponieważ jest tylko jedno miejsce zerowe, więc jest tylko jeden punkt prze-
cięcia się wykresu z osią OX)
(

3

√

4, 0).

Punkt przecięcia z osią OY:
(Zawsze jest tylko jeden. Jest on postaci (0, f (0)). Ponieważ wartość f w x = 0 nie
istnieje, więc nie wykres nie przecina się z osią OY.)
Brak.

2. Asymptoty

• Pionowe: Dziedziną jest zbiór (−∞, 0)∪(0, ∞), więc jedynym kandydatem jest x = 0.

lim

x→0

+

f (x) = lim

x→0

+

(x −

4

x

2

) = −∞,

lim

x→0

−

f (x) = lim

x→0

−

(x −

4

x

2

) = −∞.

f ma asymptotę pionową o równaniu x = 0.

• Ukośne:

- prawostronne

a = lim

x→∞

f (x)

x

= lim

x→∞

x

3

− 4

x

3

= lim

x→∞

(1 −

4

x

3

) = 1.

b = lim

x→∞

(f (x) − ax) = lim

x→∞

(

x

3

− 4

x

2

− x) = lim

x→∞

(

x

3

− 4 − x

3

x

2

) = lim

x→∞

(

−4

x

2

) = 0

f ma asymptotę ukośną prawostronną o równaniu y = x.
- lewostronne

a = lim

x→−∞

f (x)

x

= lim

x→−∞

x

3

− 4

x

3

= lim

x→−∞

(1 −

4

x

3

) = 1.

b = lim

x→−∞

(f (x) − ax) = lim

x→−∞

(

x

3

− 4

x

2

− x) = lim

x→−∞

(

x

3

− 4 − x

3

x

2

) = lim

x→∞

(

−4

x

2

) = 0

f ma asymptotę ukośną lewostronną o równaniu y = x.

3. Monotoniczność, ekstrema

f

0

(x) = (

x

3

− 4

x

2

)

0

= (x −

4

x

2

)

0

= 1 +

8

x

3

=

x

3

+ 8

x

3

=

(x + 2)(x

2

− 2x + 4)

x

3

.

Dla równania x

2

− 2x + 4 = 0 jest ∆ < 0, wobec tego x

2

− 2x + 4 > 0 dla każdego x ∈ D

f

(*).

• Przedziały monotoniczności:

f

0

(x) > 0.

(x + 2)(x

2

− 2x + 4)

x

3

> 0.

Po uwzględnieniu (*)

x + 2

x

3

> 0.

Po pomnożeniu obustronnie przez x

6

(możemy tak zrobić, ponieważ x

6

> 0, skoro

D

f

= R \ {0}, ale od teraz musimy pamiętać, że x 6= 0.):

(x + 2)x

3

> 0.

x

-2

0

f

0

(x)

+

0

−

 +

 - oznacza, że wartość nie istnieje (bierzemy tylko x 6= 0).

Kliknij, aby zobaczyć wykres f

0

(x).

x ∈ (−∞, −2) ∪ (0, ∞)

f jest rosnąca w przedziale x ∈ (−∞, −2) ∪ (0, ∞).
f jest malejąca w przedziale x ∈ (−2, 0).

• Ekstrema:

x

-2

0

f

0

(x)

+

0

−



+

f (x)

%

max

&

 %

f ma w x = −2 lokalne maksimum, równe f (−2) = −3.
Uwaga! W punkcie x = 0 funkcja f nie osiąga minimum, ponieważ warunkiem ko-
niecznym na ekstremum w punkcie x jest, aby f

0

(x) = 0, zaś f

0

(0) nie istnieje.

4. Wklęsłość, wypukłość, punkty przegięcia

Policzyliśmy już

f

0

(x) = 1 +

8

x

3

.

Wobec tego

f

00

(x) = (1 +

8

x

3

)

0

= (1 + 8x

−3

)

0

= −24x

−4

= −

24

x

4

x

(−∞, −2)

−2

(−2, 0)

0

(0, ∞)

f

00

(x)

−

−

−



−

• Przedziały wklęsłości i wypukłości:

Widać, że f

0

(x) < 0 dla każdego x ∈ D

f

. Stąd wniosek, że

f jest wklęsła w zbiorze R \ {0}.

• Punkty przegięcia:

Natychmiastową konsekwencją powyższego faktu jest
brak punktów przegięcia f .
Uwaga! Gdyby było inaczej,z tabelki łatwo odczytalibyśmy przedziały wypukłości
(czyli zbiory, gdzie f

00

(x) > 0), wklęsłości (f

00

(x) < 0) oraz punkty przegięcia (f

00

(x) =

0 oraz f

00

(x) zmienia znak na przeciwny)).

5. Tabelka, wykres

• Tabelka:

x

(−∞, −2)

−2

(−2, 0)

0

(0, ∞)

f

0

(x)

+

0

−



+

f

00

(x)

−

−

−



−

f (x)

y=x

%

−3(max)

&

−∞



−∞

%

y=x

wklęsła



wklęsła

Uwaga! Informacja, że

y=x

% oraz %

y=x

jest napisana po to, aby zaznaczyć, że dla

x → −∞ oraz dla x → ∞ funkcja zachowuje się podobnie jak funkcja y = x (patrz:
asymptoty ukośne).
Informacja, że &

−∞

oraz

−∞

% wynika z badania asymptot pionowych w punkcie

x = 0 (patrz: asymptoty pionowe).
Powyższą tabelkę można tworzyć na wiele różnych sposobów. Najlepiej utworzyć tak,
aby zawrzeć jak najwięcej informacji, które pozwolą nam naszkicować wykres badanej
funkcji f .

• Wykres:

Kliknij, aby zobaczyć wykres funkcji f (x).