Politechnika Rzeszowska

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Katedra Mechaniki Konstrukcji

Mechanika teoretyczna

Wykład 7: Statyka (cd)

Piotr Nazarko

pnazarko.sd.prz.edu.pl

Studia niestacjonarne

Rzeszów 2012

Plan prezentacji

Układy kratownicowe

Podstawowe pojęcia
Analiza budowy

Obliczanie sił w prętach kratownicy

Metoda równoważenia węzłów (MRW)
Metoda Rittera
Metody wykreślne

UKŁADY KRATOWNICOWE

Kratownice

I

Kratownica jest to geometrycznie niezmienny układ prętów
prostych połączonych między sobą za pomocą przegubów
idealnych (bez tarcia).

I

Obciążeniem kratownicy mogą być jedynie siły skupione
przyłożone w węzłach (pomijając ciężar własny prętów).

I

Pomimo, że założenie przegubowych połączeń prętów
kratownicy znacznie upraszcza teorię kratownic to jednak w
rzeczywistych konstrukcjach inżynierskich połączenia tworzące
tzw. węzły są realizowane w sposób odbiegający od tego
założenia.

I

Kratownica może być płaska (gdy wszystkie pręty leżą w
jednej płaszczyźnie) lub przestrzenna.

Obliczanie sił w prętach kratownic płaskich

I

Rozwiązanie płaskiej kratownicy sprowadza się do obliczenia
reakcji podpór i wyznaczenia sił we wszystkich prętach. Biorąc
pod uwagę przyjęte wcześniej założenia jedyną siłą w pręcie
kratownicy jest siła działająca wzdłuż osi pręta (ściskająca lub
rozciągająca).

I

Poznany wcześniej warunek konieczny geometrycznej
niezmienności i statycznej wyznaczalności
V = 3t − 2b − p − 3 = 0 w przypadku kratownic jest
uciążliwy do sprawdzenia, bo większość przegubów to
przeguby wielokrotne.

Analiza budowy

I

Układ 3 prętów połączonych przegubami, tworzący trójkąt można
traktować jako jedno ciało sztywne.

I

Jeżeli do takiej tarczy dołączymy za pomocą dwóch prętów nie
leżących na jednej prostej kolejny przegub, to także otrzymamy
układ, który można traktować jako jedno ciało sztywne, a fragment
kratownicy zbudowany z trójkątów można traktować jako jedną
tarczę.

I

Analiza budowy układów kratownicowych będzie zatem polegać na
tworzeniu takich tarcz, a następnie badaniu sposobu połączenia
między nimi oraz tarczą podłoża (ostoją).

Analiza budowy – przykłady

Przykład 1: Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 3
b = 0
p = 6

V = 3 · 3 − 6 − 3 = 0

Tarcze 1 i 2 połączone są w sposób geometrycznie niezmienny (za
pomocą 3 prętów nie przecinających się w jednym punkcie) –
można traktować je jako jedno ciało sztywne, z którym tarcza 3
jest także połączona w sposób geometrycznie niezmienny. Zatem
kratownica jest GN i SW.

Analiza budowy – przykłady (cd.)

Przykład 2: Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 3
b = 3
p = 0

V = 3 · 3 − 2 · 3 − 3 = 0

Trzy tarcze połączone przegubami nie leżącymi na jednej prostej
stanowią układ GN i SW.

Analiza budowy – przykłady (cd.)

Przykład 3: Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 4
b = 0
p = 9

V = 3 · 4 − 9 − 3 = 0

Warunek konieczny GN i SW jest spełniony, ale kratownica jest
GN. Tarcze 1 i 2 są połączone w sposób GN i można je traktować
jako jedną tarczę, do której tarcze 3 i 4 dołączone są w sposób GN
(za pomocą trzech prętów, których osie przecinają się w jednym
punkcie).

Analiza budowy – przykłady (cd.)

Przykład 4: Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 3
b = 1
p = 4

V = 3 · 3 − 2 · 1 − 4 − 3 = 0

Układ jest GZ, bo trzy tarcze połączone są trzema przegubami
(jeden rzeczywisty i dwa umowne), które leżą na jednej prostej.

Analiza budowy – przykłady (cd.)

Przykład 5: Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 3
b = 3
p = 0

V = 3 · 3 − 2 · 3 − 3 = 0

Układ jest GZ, bo trzy tarcze połączone są trzema przegubami
(jeden rzeczywisty i dwa umowne), które leżą na jednej prostej.

Analiza budowy – przykłady (cd.)

Przykład 6: Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 3
b = 3
p = 0

V = 3 · 3 − 2 · 3 − 3 = 0

Układ jest GZ, bo trzy tarcze połączone są trzema przegubami
(jeden rzeczywisty i dwa umowne), które leżą na jednej prostej.

Analiza budowy – przykłady (cd.)

Przykład 7: Przeprowadź analizę budowy układu.

Układ jest GZ.

Analiza budowy – przykłady (cd.)

Przykład 8: Przeprowadź analizę budowy układu.

Układ jest GZ.

Analiza budowy – przykłady (cd.)

Przykład 9: Przeprowadź analizę budowy układu.

Układ jest GN i SW. Można to wykazać odłączając od układy
parę prętów połączonych przegubem pojedynczym. Jeśli układ jest
WGN to połączenie z ostoją za pomocą przegubu i pręta sprawia,
że cały układ jest GN, a w tym przypadku także SW.

Metoda równoważenia węzłów

Jeżeli myślowo wytniemy z płaskiej kratownicy węzeł zastępując
wszystkie przecięte pręty siłami, to otrzymamy płaski zbieżny układ
sił, dla którego możemy napisać dwa równania równowagi

P

P

ix

= 0

P

P

iy

= 0

Tych równań jest 2 · w . Jeżeli liczba niewiadomych to p + r , gdzie
p–liczb prętów kratownicy, r –liczba więzów podporowych (reakcji),
to warunek konieczny geometrycznej niezmienności i statycznej
wyznaczalności kratownicy płaskiej ma postać

p + r = 2 · w

Przykład

Aby rozwiązać powyższą kratownicę metodą równoważenia węzłów
najpierw wyznaczamy reakcje podpór. Przystępując od razu do wycinania
węzłów otrzymalibyśmy układ równań sprzężonych trudny do rozwiązania.

P P

ix

= 0

4 − H

A

= 0 ⇒ H

A

= 4 N

P M

iA

= 0

3 · 4 − 4 · 3 − V

B

· 12 = 0 ⇒ V

B

= 2 N

P P

iy

= 0

V

A

+ V

B

− 3 = 0 ⇒ V

A

= 3 − V

B

= 1 N

Przykład (cd)

Po obliczeniu reakcji podbór, wycinanie węzła zaczynamy od
miejsca, w którym zbiegają się dwa pręty (występują nie więcej niż
dwie niewiadome siły).

Węzeł A

P

P

ix

= 0

−4 + S

1

+ S

2

·

4
5

= 0 ⇒ S

1

= 4 − S

2

·

4
5

= 5

1
3

N

P

P

iy

= 0

1 + S

2

·

3
5

= 0 ⇒ S

2

= −

5
3

N

Przykład (cd)

Węzeł C

P

P

ix

= 0

S

3

− S

1

= 0 ⇒ S

3

= S

1

= 5

1
3

N

P

P

iy

= 0

S

4

= 0

Węzeł D

P

P

ix

= 0

S

6

+

4
5

S

5

−

4
5

S

2

= 0 ⇒ S

6

=

4
3

N

P

P

iy

= 0

−3 −

3
5

S

5

−

3
5

S

2

= 0 ⇒ S

5

= −

10

3

N

Przykład (cd)

Węzeł E

P

P

ix

= 0

S

8

− S

3

−

4
5

S

5

= 0 ⇒ S

8

=

8
3

N

P

P

iy

= 0

S

7

+

4
5

S

5

= 0 ⇒ S

7

= 2 N

Węzeł F

P

P

iy

= 0

−S

7

−

3
5

S

9

= 0 ⇒ S

9

= −

10

3

N

Przykład (cd)

I

W ten sposób otrzymaliśmy siły we wszystkich prętach
kratownicy.

I

Zostały 3 niewykorzystane równania: 1 równanie dla węzła F i
2 równania dla węzła B. Zostały one dlatego, że z 2 · w
równań równowagi można obliczyć zarówno siły we wszystkich
prętach kratownicy, jak i reakcje podporowe. A w tym zadaniu
reakcje wyznaczono z innych równań równowagi.

I

Niewykorzystane równania mogą posłużyć do kontroli
poprawności obliczeń.

Przykład (cd)

Kontrola obliczeń:

Węzeł F

P P

iy

= 0

−

4
3

+ 4 + (−

10

3

) ·

4
5

= 0

Węzeł B

P P

ix

= 0

−S

8

− S

9

·

4
5

= −

8
3

− (−

10

3

) ·

4
5

= 0

P P

iy

= 0

2 + S

9

3
5

= 2 + (−

10

3

) ·

3
5

= 0

Wnioski z MRW – pręty zerowe

Wnioski wynikające z metody równoważenia węzłów (pręty
zerowe):

1. Jeżeli w węźle nie obciążonym schodzą się dwa pręty to siły

w obu prętach są równe zeru.

P

P

iy

= 0

N

2

sin α = 0

N

2

= 0

P

P

ix

= 0

N

1

+ N

2

cos α = 0

N

1

= 0

Wnioski z MRW – pręty zerowe (cd)

2. Jeżeli w węźle nie obciążonym schodzą się trzy pręty, a dwa

z nich leżą na jednej prostej, to siła w trzecim pręcie jest
równa zeru, a dwie pierwsze siły są sobie równe.

P

P

iy

= 0

N

3

sin α = 0

N

3

= 0

P

P

ix

= 0

N

2

− N

1

+ N

3

cos α = 0

N

1

= N

2

Wnioski z MRW – pręty zerowe (cd)

3. Jeżeli w węźle schodzą się dwa pręty, a węzeł jest obciążony

siłą (lub reakcją) działającą wzdłuż jednego z prętów to siła
w tym drugim pręcie jest równa zeru.

Przykład: Wyznacz pręty zerowe.

Przykład (cd): Wyznacz pręty zerowe.

Przykład (cd): Wyznacz pręty zerowe.

O tym, który pręt jest zerowy
decyduje przede wszystkim
sposób obciążenia kratownicy,
a także jej budowa.
W kratownicy nieobciążonej
wszystkie pręty są oczywiście
zerowe.

Metoda Rittera

Wyznacz siły w zaznaczonych prętach kratownicy korzystając z metody
Rittera.

1. Oblicz reakcje podpór.

P P

ix

= 0

H

A

= 4 N

P M

iA

= 0

3 · 4 + 4 · 3 − V

B

· 12 = 0 ⇒ V

B

= 2 N

P P

iy

= 0

V

A

+ V

B

− 3 = 0 ⇒ V

A

= 1 N

Metoda Rittera (cd)

2. Aby obliczyć siły w zaznaczonych prętach przecinamy kratownicę

przekrojem (α − α) na dwie tarcze. Jeżeli przekrój przecina trzy
pręty, których osie przecinają się w jednym punkcie to nazywamy do
przekrojem Rittera.

3. Jeżeli dla danego pręta przekrój Rittera istnieje to siłę w tym pręcie

można wyznaczyć z równania o jednej niewiadomej.

Metoda Rittera (cd)

Punkt Rittera dla siły G jest punktem, w którym przecinają się kierunki
dwóch pozostałych przeciętych prętów (K i D).

X

M

II

R

G

= 0

4 · 3 − G · 3 − 2 · 4 = 0 ⇒ G =

4

3

N

lub

X

M

I

R

G

= 0

G · 3 − 3 · 4 + 1 · 8 = 0 ⇒ G =

4

3

N

Metoda Rittera (cd)

Podobnie wyznaczamy punkt Rittera dla siły D.

X

M

II

R

D

= 0

D · 3 − 2 · 8 = 0 ⇒ D =

16

3

N

lub

X

M

I

R

D

= 0

1 · 4 + 4 · 3 − D · 3 = 0 ⇒ D =

16

3

N

Metoda Rittera (cd)

Punkt Rittera dla siły K nie istnieje, bo pręty G i D są równoległe. W takim
przypadku, aby otrzymać równanie z jedną niewiadomą wykorzystujemy
równanie sumy rzutów sił na oś prostopadłą do prętów G i D.

X

P

II

iy

= 0

2 + K ·

3
5

= 0 ⇒ K = −

10

3

N

lub

X

P

I

iy

= 0

1 − 3 − K ·

3
5

= 0 ⇒ K = −

10

3

N

Przykład: Wyznacz siły w zaznaczonych prętach kratownicy.

W kratownicy wspornikowej można nie obliczać reakcji podpór tylko od

razu układać równania Rittera dla części konstrukcji, w której nie

występują podpory.

sin α =

3
5

=

r
8

r =

24

5

P M

II

R

D

= 0

D · 6 + 6 · 4 = 0 ⇒ D = −4 N

P M

II

R

S

= 0

S · 8 − 6 · 4 = 0 ⇒ S = 3 N

P M

II

R

G

= 0

6 · 4 − G ·

24

5

= 0 ⇒ G = 5 N

lub

P M

II

R

G

= 0

6 · 4 −

3
5

G · 4 −

4
5

G · 3 = 0

6 · 4 − G (

12

5

+

12

5

) = 0 ⇒ G = 5 N

Przykład: Wyznacz siły w wybranych prętach kratownicy.

Reakcje podpór:

2
6

=

3
x

⇒ x = 9 m

P P

ix

= 0

2 − H

A

= 0 ⇒ H

A

= 2 N

P M

iA

= 0

3 · 6 + 2 · 3 − V

B

· 12 = 0 ⇒ V

B

= 2 N

P P

iy

= 0

V

A

+ V

B

− 3 = 0 ⇒ V

A

= 1 N

P M

I

R

D

= 0

− D · 4 + 2 · 4 + 1 · 3 = 0 ⇒ D =

11

4

N

sin α =

r

K

15

=

4
5

⇒ r

K

= 12 m

P M

I

R

K

= 0

K · 12 − 1 · 9 = 0 ⇒ K =

3
4

N

lub:

4
5

K · 12 +

3
5

K · 4 − 1 · 9 = 0

K

48

5

+

12

5

− 1 · 9 = 0

K · 12 − 1 · 9 = 0

sin α =

r

G

15

=

1

√

10

⇒ r

G

=

15

√

10

m

lub:

cos β =

r

G

5

=

3

√

10

⇒ r

G

=

15

√

10

m

P M

I

R

G

= 0

G ·

15

√

10

+ 1 · 6 = 0 ⇒ G = −

2

√

10

5

N

lub:

G ·

3

√

10

· 4 + G ·

1

√

10

· 3 + 1 · 6 = 0

G



12

√

10

+

3

√

10



+ 1 · 6 = 0 ⇒ G = −

2

√

10

5

N

Nietypowe przekroje Rittera

W niektórych przypadkach można zastosować metodę Rittera przecinając
większą liczbę prętów (więcej niż 3 pręty). Można tak zrobić, gdy
zauważymy, że jeden z przeciętych prętów jest zerowy, znamy wartość siły
w pręcie lub gdy osie wszystkich przeciętych prętów przecinają się w
jednym punkcie.

P M

R

G

= 0

G · 2a + P · a + P · 2a = 0 ⇒ G = −

3P

2

Nietypowe przekroje Rittera (cd)

P M

R

G

= 0

5 · 3 + G · 4 = 0
G = −

15

4

Nietypowe przekroje Rittera (cd)

P M

R

G

= 0

G · 3 + 6 · 4 = 0
G = −8 N

P M

R

G

= 0

−S · 2l − 2P · l = 0
S = −P

Podsumowanie

I

Na podstawie przedstawionych przykładów można zauważyć, że
w metodzie Rittera wykorzystywane są alternatywne warunki
równowagi płaskiego dowolnego US działającego na CS.

I

W kratownicach o pasach nierównoległych w jednym przekroju
Rittera występują 3 punkty Rittera.

I

W kratownicach o pasach równoległych w jednym przekroju Rittera
występują 2 punkty Rittera. Aby obliczyć siłę w krzyżulcu należy
w tym przypadku skorzystać dodatkowo z równania sumy rzutów sił
na prostą prostopadłą do pasów kratownicy.

I

Możemy korzystać z nietypowych przekrojów Rittera (przekrój
poprowadzony przez więcej niż 3 pręty) o ile znamy wartości
nadmiarowych niewiadomych albo kierunki sił we wprowadzonym
przekroju przecinają się jednym punkcie.

Metody wykreślne rozwiązywania kratownic

I

Jeśli układ kratownicowy jest w równowadze, siły w każdym węźle
kratownicy powinny tworzyć zamknięte wieloboki sił.

I

Zamiast osobno rozpatrywać równowagę w węzłach kratownicy
można wykreślić wszystkie siły na planie sił Cremony.

I

W przeszłości metoda Cremony znajdowała praktyczne zastosowanie
w przypadku rozwiązywania kratownic złożonych z dużej liczby
prętów (ze względów rachunkowych metoda analityczna była
kłopotliwa).

I

Metody wykreślne pozwalają na graficzną wizualizację pracy
konstrukcji — modułów (długości) i zwrotów (ściskanie,
rozciąganie) wektorów sił, co jest istotne na etapie projektowania
geometrii kratownic (optymalizacja topologii).

Zastosowanie metod wykreślnych

Przykład 1: Korzystając z metod wykreślnych rozwiąż kratownicę
przedstawioną na rysunku.

Wyznaczamy kierunki reakcji korzystając
z twierdzenia o trzech siłach. Następnie
budujemy wielobok sił — układ jest w
równowadze jeśli wielobok sił jest
zamknięty.

Graficzna metoda równoważenia węzłów

Węzeł G

Węzeł E

Węzeł F

Węzeł D

Węzeł C

Węzeł B

Węzeł A

Plan sił Cremony

Najpierw wykreślamy
wielobok sił zewnętrznych
(w kolejności z jaką
obchodzimy kratownicę),
a następnie kreślimy
wieloboki sił odpowiadające
poszczególnym węzłom.
Zwroty sił zaznaczmy na
planie kratownicy.

Plan sił Cremony (cd)

Legenda:

I

— rozciąganie (+)

I

— ściskanie (–)

I

— pręt zerowy

Plan sił Cremony (cd)

Przykład 2: Dla kratownicy przedstawionej na rysunku sporządź plan sił
Cremony.

W pierwszej kolejności
wyznaczamy wartości
reakcji. Należy w tym
przypadku skorzystać
z analitycznych równań
równowagi.

Plan sił Cremony (cd)

Wykreślamy wielobok sił zewnętrznych (mamy tu do czynienia z układem sił

równoległych), a następnie kreślimy wieloboki sił odpowiadające poszczególnym

węzłom. Zwroty sił zaznaczmy na planie kratownicy.

Plan sił Cremony (cd)

Legenda:

I

— rozciąganie (+)

I

— ściskanie (–)