Politechnika Rzeszowska

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Katedra Mechaniki Konstrukcji

Mechanika teoretyczna

Wykład 8: Kinematyka

Piotr Nazarko

pnazarko.sd.prz.edu.pl

Studia niestacjonarne

Rzeszów 2012

Plan prezentacji

Kinematyka punktu

Opis matematyczny ruchu punktu
Prędkość i przyśpieszenie

Kinematyka bryły

Ruch postępowy
Ruch obrotowy
Ruch płaski

KINEMATYKA PUNKTU

Opis matematyczny ruchu punktu

Położenie punktu w czasie i przestrzeni można określić za pomocą
wektora wodzącego r poprowadzonego od stałego punktu O do punktu
ruchomego M.

Torem ruchu albo trajektorią
poruszającego się punktu jest krzywa
geometryczna, którą zakreśla punkt
materialny w czasie ruchu (jest to
miejsce geometryczne punktów
przestrzeni, w których punkt ten
przebywał lub będzie przebywał).

Tor ruchu jest hodografem wektora położenia r (t) (hodograf wektora
jest to miejsce geometryczne położeń jego końca).

Opis matematyczny ruchu punktu (cd)

W czasie ruchu punktu M wektor wodzący r zmienia swoją długość i swój
kierunek, czyli jest opisany pewną funkcją wektorową czasu (parametru
skalarnego)

r = r (t)

Jest to wektorowe równanie ruchu punktu (nie zależy od układu
współrzędnych). Wektor r (t) możemy rozkładać w dowolnym
prostokątnym układzie współrzędnych związanym z nieruchomym
punktem O. Za każdym razem dostaniemy inny opis tego samego ruchu.

Współrzędne wektora r (t) w układzie xyz (gdy jego początek pokrywa się
z początkiem układu współrzędnych) są równe współrzędnym punktu M.

r

x

= x (t)i

r

y

= y (t)j

r

z

= z(t)k

Opis matematyczny ruchu punktu (cd)

Funkcja wektorowa

r (t) = x (t)i + y (t)j + z(t)k

zwana równaniem ruchu pozwala na określenie położenia punktu
w każdej chwili czasu i daje wyczerpujący opis ruchu.

Ruch punktu można opisać także za pomocą 3 równań skalarnych







x = x (t)
y = y (t)

t [s]

z = z(t)

Równania te są jednocześnie równaniami parametrycznymi toru ruchu

(parametrem jest czas). Rugując z tych równań parametr t otrzymujemy

równanie toru ruchu.

Opis matematyczny ruchu punktu (cd)

Przykład 1: Dane są równania ruchu punktu poruszającego się
w płaszczyźnie Oxy. Znajdź tor ruchu punktu.

x = 20t

2

+ 5

y = 15t

2

+ 3

[m]

t[s]

Aby otrzymać równanie toru ruchu wyrugujemy z tych równań
parametr t. Z pierwszego równania mamy:

t

2

=

x − 5

20

Po podstawieniu do drugiego równania:

y =

3

4

x −

3

4

— jest to równanie prostej

Opis matematyczny ruchu punktu (cd)

Na poniższym rysunku przedstawiono postać wyznaczonej funkcji
y =

3
4

x −

3
4

opisującej tor ruchu punktu.

W chwili t

0

= 0 punkt materialny znajduje się w położeniu A

0

(5, 3).

Torem ruchu jest półprosta.

Opis matematyczny ruchu punktu (cd)

Przykład 2: Dane są równania ruchu punktu poruszającego się
w płaszczyźnie Oxy. Znajdź tor ruchu punktu.

x = 2 + 4 cos 2t
y = 1 + 5 sin 2t

⇒

cos 2t =

x −2

4

sin 2t =

y −1

5

Po obustronnym podniesieniu do
kwadratu i zsumowaniu
otrzymamy:

(x − 2)

2

16

+

(y − 1)

2

25

= 1

Jest to równanie elipsy.

W chwili t

0

= 0 punkt znajduje się w położeniu A

0

(6, 1) i dalej porusza

się zgodnie z kierunkiem zaznaczonym na rysunku.

Ruchu punktu opisany współrzędną łukową

Załóżmy, że znany jest tor poruszającego się punktu. Znajomość toru nie
wystarcza do opisu ruchu, bowiem punkt może się poruszać w różny
sposób po tym torze.
Niech s(t) oznacza współrzędną łukową punktu M względem punktu M

0

.

Droga s(t) mierzona wzdłuż toru ruchu od ustalonego punktu wraz
z równaniem toru całkowicie określają położenie punktu w każdej chwili.

Jest to tzw. naturalny opis ruchu s=s(t) i nosi nazwę równania ruchu
punktu na torze. Droga przebyta przez punkt w odstępie czasu (0, t)

s =

Z

t

0

ds

dt

dt

Ruchu punktu opisany współrzędną łukową







x = x (t)
y = y (t)
z = z(t)

Jeżeli ruch opisany jest równaniami
parametrycznymi to różniczkę współrzędnej
łukowej obliczamy ze wzoru

ds =

p

(dx )

2

+ (dy )

2

+ (dz)

2

dt

Współrzędna łukowa

s =

Z

t

0

s

dx

dt

2

+

dy

dt

2

+

dz

dt

2

dt

s =

Z

t

0

p

˙x

2

+ ˙y

2

+ ˙z

2

dt

Jest to znane z matematyki wyrażenie na długość łuku krzywej danej

równaniami parametrycznymi.

Współrzędna łukowa

Przykład 3: Dane są równania ruchu punktu poruszającego się
w płaszczyźnie Oxy. Wyznacz równanie toru oraz równanie ruchu punktu
po torze w naturalnym opisie ruchu.

x = 4 sin t
y = 4 cos t

⇒

sin t =

x
4

cos t =

y
4

Po obustronnym podniesieniu do
kwadratu i zsumowaniu:

x

4

2

+

y

4

2

= 1

x

2

+ y

2

= 16

Jest to równanie okręgu o
promieniu r = 4.

t

0

= 0

x

0

= 0, y

0

= 4 ⇒ A

0

(0, 4)

Współrzędna łukowa (cd)

x = 4 sin t
y = 4 cos t

⇒

˙x = 4 cos t
˙y = −4 sin t

s(t) =

Z

t

0

p

˙x

2

+ ˙y

2

dt =

Z

t

0

p

16 cos

2

t + 16 sin

2

tdt =

Z

t

0

r dt

s(t) = 4t

— ruch jednostajny

Prędkość średnia

Wektorem prędkości średniej nazywamy stosunek przyrostu wektora
wodzącego w dwóch położeniach do czasu potrzebnego na przejście
z pierwszego położenia do drugiego.

v

śr

=

∆r

∆t

Przyrost wektor wodzącego

∆r (t) = r (t + ∆t) − r (t)

∆t = t

2

− t

1

V

śr

ma kierunek cięciwy i zależy od wyboru punktu na torze.

Prędkość chwilowa

Wektorem prędkości chwilowej nazywamy granicę, do której zmierza
wektor prędkości średniej, gdy przyrost czasu ∆t → 0 (jest on pochodną
względem czasu wektora wodzącego r (t)).

v = lim

∆t→0

∆r (t)

∆t

=

dr (t)

dt

= ˙r(t)

Wektor prędkości chwilowej jest wektorem stycznym do toru (gdy
∆t → 0, cięciwa dąży do stycznej).

Wszystkie praktycznie mierzone prędkości są prędkościami średnimi.

Wektor prędkości chwilowej jest pojęciem abstrakcyjnym, ma jednak

praktycznie większe znaczenie niż prędkość średnia, ponieważ

jednoznacznie charakteryzuje on ruch w danej chwili.

Wektor prędkości

W kartezjańskim układzie odniesienia wektor prędkości, jako pochodna
wektora wodzącego względem czasu, określony jest wzorem

v (t) = ˙r(t) = ˙x (t)i + ˙y (t)j + ˙z(t)k

v = v

x

i + v

y

j + v

z

k

v

x

= ˙x

v

y

= ˙y

v

z

= ˙z

v =

q

v

2

x

+ v

2

y

+ v

2

z

Różniczkę wektora wodzącego r (t) możemy wyrazić poprzez wektor
prędkości

dr = v dt

dr ∼

= ds

(1)

Wektor prędkości

Biorąc bezwzględne wartości obu stron równania (1), otrzymujemy po
lewej stronie moduł różniczki wektora wodzącego (czyli element długości
łuku), a po prawej stronie prędkość pomnożoną przez różniczkę czasu

|ds| = v dt

v =

ds

dt

= | ˙s(t)|

Prędkość jako moduł wektora
prędkości jest zawsze dodatnia.

Wektor prędkość v jest zawsze styczny do toru i zwrócony w stronę,
w którą w danej chwili porusza się punkt. Innymi słowy zwrot wektora
prędkości określa kierunek ruchu punktu.

Przyśpieszenia

Wektorem przyśpieszenia średniego nazywamy stosunek przyrostu
wektora prędkości do przyrostu czasu:

a

śr

=

∆v

∆t

Wektorem przyśpieszenia chwilowego nazywamy granicę, do której
dąży wektor przyśpieszenia średniego, gdy przyrost czasu dąży do zera.

a = lim

∆t→0

∆v

∆t

=

dv

dt

= ˙v (t) = ¨

r (t)

We współrzędnych kartezjańskich

a(t) = ¨

x (t)i + ¨

y (t)j + ¨

z(t)k = a

x

i + a

y

j + a

z

k

a

x

= ¨

x = ˙v

x

a

y

= ¨

y = ˙v

y

a

z

= ¨

z = ˙v

z

Moduł tego wektora nazywamy przyśpieszeniem a =

q

a

2

x

+ a

2

y

+ a

2

z

Przyśpieszenia (cd)

Przykład: Ruch punktu w płaszczyźnie Oxy
opisują podane równania. Oblicz prędkość
i przyśpieszenia punktu w chwili t.

x = 2t
y = 4t

2

+ 1

[m] t[s]

Równanie toru:

t =

x
2

y = 4

x
2

2

+ 1 = x

2

+ 1

v

x

= ˙x = 2

m

s

= const

v

y

= ˙y = 8t

a

x

= ¨

x = ˙v

x

= 0

a

y

= ¨

y = ˙v

y

= 8

m
s

2

= const

a = 8

m
s

2

Przyśpieszenie styczne i normalne

Wektor przyśpieszenia jest w ogólnym przypadku nachylony pod kątem
do stycznej toru. W teorii krzywych wprowadza się neutralny układ
wektorów podstawowych na krzywej w postaci jednostkowych wektorów
(wersorów) ortogonalnych: τ – stycznego, n – normalnego i b –
binormalnego.

b = τ × n

Wektory τ , n, b zmieniają swoje kierunki
przy przejściu z jednego punktu krzywej do
drugiego — są więc funkcjami czasu.

Przyśpieszenie styczne i normalne (cd)

Niech r = r (s) będzie równaniem toru we
współrzędnej łukowej s. Wówczas

r = r (s(t))

jest wektorowym równaniem ruchu.
Różniczkując ostatni związek względem t i
uwzględniając wzory Freneta:

dr

ds

= τ

dτ

ds

=

n

ρ

gdzie ρ – promień krzywizny.

Otrzymamy

v = ˙r =

dr

ds

ds

dt

= v τ

v = |v | =

ds

dt

bo |τ | = 1

Przyśpieszenie styczne i normalne (cd)

a = ¨

r = ˙v = ˙v τ + v ˙τ

Pochodną wektora τ można obliczyć jako pochodną złożoną

˙τ =

dτ

dt

=

dτ

ds

ds

dt

=

v

ρ

n

bo

ds

dt

= v

zatem

a = ˙v τ +

v

2

ρ

n

a = a

st

τ + a

n

n + a

b

b







a

st

= ˙v = ¨

s

a

n

=

v

2

ρ

a

b

= 0

dv

dt

τ = ˙v τ

wektor przyśpieszenia stycznego

v

2

ρ

n

wektor przyśpieszenia normalnego

Przyśpieszenie styczne i normalne (cd)

I

Wektor przyśpieszenia leży w płaszczyźnie ściśle stycznej do toru
(wyznaczonej przez wektory τ i n), nie na składowej binormalnej.

I

Gdy torem ruchu punktu jest prosta to ρ = ∞, stąd a

n

= 0

a wówczas:

a = a

st

τ

I

Wektor przyśpieszenia stycznego powoduje zmianę modułu
wektora prędkości.

I

Wektor przyśpieszenia normalnego (dośrodkowego) powoduje
zmianę kierunku wektora prędkości (zakrzywienie toru ruchu).

Przyśpieszenie styczne i normalne (cd)

I

Jeżeli v = const to ruch nazywamy jednostajnym.

v = ˙s

˙s = const

gdy

¨

s = 0

I

WKW, aby w pewnym przedziale czasu ruch był jednostajny jest
¨

s = 0 (wówczas a

st

= 0).

a

n

= 0

ruch prostoliniowy

a

n

6= 0

ruch krzywoliniowy

a

st

= 0

ruch jednostajny

a

st

= const

ruch jednostajnie zmienny

Szczególne przypadki ruchu punktu

1. Ruch prostoliniowy

Oś x można przyjąć tak, aby pokrywała się z torem ruchu. Wówczas v i a
są wektorami leżącymi na osi Ox.

v = ˙s = ˙x

a = a

st

= ¨

x = ˙v

Gdy a = const ruch jest jednostajnie zmienny:

I

jednostajnie przyśpieszony, gdy a zgodnie skierowane z wektorem
prędkości v ,

I

jednostajnie opóźniony w przypadku, gdy wektory a i v są
przeciwnie skierowane.

Szczególne przypadki ruchu punktu (cd)

dv = a(t)dt

ds = v (t)dt

v (t) =

R

t

0

a(t)dt + v

0

s(t) =

R

t

0

v (t)dt + s

0

Gdy a(t) = a = const wówczas

v (t) =

R

t

0

adt + v

0

= at + v

0

s(t) =

R

t

0

(at + v

0

)dt + s

0

=

at

2

2

+ v

0

t + s

0

Gdy a(t) ≡ 0 wówczas

v (t) = v

0

s(t) = v

0

t + s

0

Szczególne przypadki ruchu punktu (cd)

2. Ruch po okręgu

ρ = r = const

s(t) = r · ϕ(t)

Prędkość kątowa

ω(t) = ˙

ϕ(t)

Przyśpieszenie kątowe

ε = ˙

ω(t) = ¨

ϕ(t)

Szczególne przypadki ruchu punktu (cd)

dω = εdt

ω(t) =

Z

t

0

εdt + ω

0

dϕ = ωdt

ϕ(t) =

Z

t

0

ω(t)dt + ϕ

0

Prędkość i przyśpieszenie

v =

ds
dt

=

d

dt

(r · ϕ(t)) = r ˙

ϕ = ωr

a

st

= ˙v (t) =

d

dt

(ω(t) · r ) = ε · r

a

n

=

v

2

ρ

=

r

2

ω

2

r

= ω

2

r

a =

q

a

2

st

+ a

2

n

= r

p

ε

2

+ ω

4

KINEMATYKA BRYŁY

Ruch postępowy bryły

Ruch postępowy bryły jest to ruch, w czasie którego odcinki łączące
dwa dowolne punkty bryły są stale równoległe do swoich poprzednich
położeń.

r

A

(t) = r

B

(t) + AB

AB = const

˙r

A

= ˙r

B

¨

r

A

= ¨

r

B

v

A

= v

B

= . . . = v

a

A

= a

B

= . . . = a

Ruch postępowy bryły (cd)

W ruchu postępowym bryły tory ruchu punktów są do siebie równoległe,
a prędkości i przyśpieszenia jednakowe — pola prędkości i przyspieszeń są
jednorodne.

Prędkość i przyśpieszenia ciała
sztywnego w ruchu postępowym
są wektorami swobodnymi.
Wystarczy zatem znajomość
ruchu jednego punktu do
określenia ruchu wszystkich
punktów ciała.

Ruch postępowy ciała sztywnego możemy sprowadzić do ruchu środka
masy, zatem ciało sztywne w ruchu postępowym ma 3 stopnie swobody.

Ruch postępowy może być prostoliniowy (gdy tory ruchu wszystkich

punktów są liniami prostymi) lub krzywoliniowy.

Ruch obrotowy bryły wokół stałej osi

Ruch obrotowy bryły wokół stałej osi jest to ruch ciała sztywnego, w czasie
którego punkty ciała leżące na tzw. osi obrotu pozostają nieruchome, zaś
pozostałe punkty poruszają się tak, że tor każdego punktu jest okręgiem
leżącym w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu (środek tego okręgu leży na
osi obrotu, a promień ma długość równą odległości punktu od osi obrotu).

Ruch obrotowy bryły wokół stałej osi (cd)

Gdy znamy tor punktu, do określenia jego ruchu wystarczy znać równanie drogi
s(t) = r ϕ(t), wówczas

v (t) = ˙s(t) = r ˙

ϕ(t) = r ω(t)

Prędkość kątowa ω(t) jest wielkością stałą dla wszystkich punktów ciała
w ruchu obrotowym. Prędkość liniowa v (t) zależy od odległości punktu od osi
obrotu.

Wektor ω jest wektorem
ślizgającym się po osi obrotu.

ε = ˙

ω = ¨

ϕ

ε = ˙

ω

ε k ω

v =

˙

R = ω × R

a = ˙v = ε × R

| {z }

a

st

+ ω × v

| {z }

a

n

a

n

= ω · v = ω

2

r =

v

2

r

a

st

= ε · r

a =

p

a

2

st

+ a

2

n

= r

√

ε

2

+ ω

4

Ruch obrotowy bryły wokół stałej osi (cd)

Wartość liczbowa przyśpieszenia jest proporcjonalna do odległości punktu
od osi obrotu, zaś tg α =

a

st

a

n

=

ε

ω

2

nie zależy od położenia punktu.

Wektory przedstawiające przyspieszenie punktów leżących na promieniu
prostopadłym do osi obrotu są do siebie równoległe, a ich końce leżą na
jednej prostej.

Pole predkości

Pole przyśpieszeń

Przykład

Zagadnienie przekładni: Koło zębate (I) obraca się z prędkością kątową
ω

1

. Z jaką prędkością kątową będzie obracać się koło (II)?

Obroty tarcz są przeciwne!

W chwili styku

v

A1

= v

A2

ω

1

r

1

= ω

2

r

2

ω

2

= ω

1

r

1

r

2

˙

ω

1

r

1

= ˙

ω

2

r

2

ε

1

r

1

= ε

2

r

2

ε

2

= ε

1

r

1

r

2

Ruch płaski ciała sztywnego

Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy ruch, podczas którego wszystkie
punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej
nieruchomej płaszczyzny zwanej płaszczyzną kierującą (taki ruch wykonuje np.
szafa przesuwana po podłodze).

Ruch płaski (cd)

Dowolna prosta prostopadła do płaszczyzny kierującej pozostaje w czasie
ruchu prostopadła do tej płaszczyzny i porusz się ruchem postępowym
(wszystkie punkty tej prostej mają takie same prędkości i takie same
przyspieszenia). Zatem ruch płaski CS możemy rozpatrywać jako ruch
rzutu tego ciała na płaszczyznę kierującą.

I

Badanie ruchu płaskiego CS sprowadza się do badania ruchu figury
płaskiej poruszającej się w swej płaszczyźnie (3 stopnie swobody).

I

Rozpatrywany poprzednio ruch obrotowy CS wokół własnej osi jest
też szczególnym przypadkiem ruchu płaskiego.

Ruch płaski (cd)

Twierdzenie

Dowolne przemieszczenie figury w jej płaszczyźnie może być dokonane za
pomocą przesunięcia równoległego, równego przesunięciu dowolnie
obranego punktu A tej figury oraz obrotu wokół tego punktu. Kąt obrotu
nie zależy przy tym od wyboru punktu A.

Dowód:

Przemieśćmy ciało z położenia I w położenia II w taki sposób, że najpierw
przemieścimy je ruchem postępowym tak, aby punkt A

1

pokrył się z punktem

A

2

, a następnie obrócimy wokół A

2

o kąt ∆ϕ

1

.

Można też przesunąć figurę ruchem postępowym w taki sposób, aby pokryć

punkt B

1

z punktem B

2

, a następnie obrócić o kąt ∆ϕ

2

wokół punktu B

2

.

Ponieważ A

2

B

0

2

k A

0
2

B

2

k A

1

B

1

(ruch w pierwszej fazie był postępowy) zatem

∆ϕ

1

= ∆ϕ

2

. Kąt obrotu jest ten sam chociaż biegunem raz był punkt A

2

, raz

punkt B

2

.

Ruch płaski (cd)

Wniosek: Do obliczania prędkości chwilowej punktu w ruchu płaskim CS
można stosować metodę superpozycji.

Prędkość dowolnego punktu B ciała sztywnego poruszającego się ruchem

płaskim równa jest sumie geometrycznej prędkości dowolnie obranego

punktu A tego ciała oraz prędkości względnej punktu B względem punktu

A (czyli prędkości punktu B w ruchu obrotowym ciała wokół punktu A).

Prędkość kątowa tego ruchu nie zależy od wyboru punktu A.

Ruch płaski (cd)

Przykład 1: Mając dane v

A

, ω, r oblicz v

B

.

v

A

= v

Ax

i + v

Ay

j

ω = ωk

v

B

= v

A

+ v

BA

v

BA

= ω × r

Ponieważ ω ⊥ r

v

BA

= ωr

Ruch płaski (cd)

Przykład 2: Dane: v

A

= 4

m

s

, ω = 2s

−1

. Szukane: v

B

, v

C

, v

D

.

v

BA

= ω · AB = 2 · 4 = 8

m

s

v

DA

= ω · DA = 2 · 3 = 6

m

s

v

CA

= ω · AC = 2 · 5 = 10

m

s

v

B

=

p

v

2

A

+ v

2

BA

=

p

4

2

+ 8

2

=

√

80 = 4

√

5

m

s

v

D

= v

DA

− V

A

= 6 − 4 = 2

m

s

Ruch płaski (cd)

Aby znaleźć sumę wektorów v

A

i v

CA

zapiszemy je za pomocą

współrzędnych w układzie xy:

v

A

= [4, 0]

v

CA

= [−6, 8]

v

CAx

= −v

CA

cos α = −10 ·

3
5

= −6

m

s

v

CAy

= −v

CA

sin α = −10 ·

4
5

= 8

m

s

v

C

= v

A

+ v

CA

= [−2, 8]

v

C

=

p

(−2)

2

+ 8

2

=

√

68 = 2

√

17

m

s

Wektor v

CA

można także wyznaczyć stosując zapis wektorowy, co

pozwoli uniknąć rzutowania na osie xy:

ω = 2k

r = AC = 4i + 3j

v

CA

= ω × r =

i

j

k

0

0

2

4

3

0

= −6i + 8j