Politechnika Rzeszowska

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Katedra Mechaniki Konstrukcji

Mechanika teoretyczna

Wykład 3: Statyka (cd)

Piotr Nazarko

pnazarko.sd.prz.edu.pl

Studia niestacjonarne

Rzeszów 2012

Plan prezentacji

Redukcja US

Redukcja sił do punktu
Twierdzenie o zamianie bieguna redukcji
Niezmienniki US

Redukcja US (cd)

Siły skośne
Redukcja US do skrętnika
Przykład

Redukcja dowolnego płaskiego US

Redukcja płaskiego US
Przykład

REDUKCJA US

Wektor i moment główny

Wektorem głównym S
układu sił nazywamy wektor
swobodny, który jest sumą
geometryczną wszystkich sił
układu.

Momentem głównym M

O

układu sił względem punktu
O nazywamy wektor równy
sumie geometrycznej
momentów wszystkich ził
układu względem punktu O.

S =

n

X

i =1

P

i

M

O

=

n

X

i =1

r

i

× P

i

Redukcja sił do punktu

Twierdzenie

Dwa układy sił nazywamy równoważnymi, jeśli mają jednakowe
wektory główne i momenty główne względem dowolnego punktu.

Twierdzenie (równoległe przeniesienie siły)

Siłę przyłożoną w punkcie A ciała sztywnego można przenieść równolegle
do linii działania tej siły i przyłożyć ją w dowolnym punkcie B tego ciała,
dodając przy tym parę sił o momencie równym momentowi tej siły
względem punktu B.

Redukcja dowolnego US

Twierdzenie

Dowolny przestrzenny US działających na ciało sztywne można
zredukować do układu złożonego z sumy geometrycznej S
wszystkich sił układu (czyli wektora głównego zaczepionego
w dowolnym biegunie redukcji O) oraz pary sił o momencie równym
momentowi głównemu M

O

tego układu sił względem punktu O.

S =

n

X

i =1

P

i

M

O

=

n

X

i =1

M

iO

=

n

X

i =1

r

i

× P

i

Redukcja dowolnego US (cd)

Uzasadnienie: Siły P

1

, P

2

, · · · , P

n

przesuwamy równolegle do

dowolnie obranego środka redukcji O. Otrzymamy zbieżny układ sił
P

1

, P

2

, · · · , P

n

działający na jeden punkt O, który zastępujemy

wypadkową

S =

n

X

i =1

P

i

oraz par sił (P

i

, −P

i

), który zastępujemy jedną parą o momencie

równym

M

O

=

n

X

i =1

M

iO

=

n

X

i =1

r

i

× P

i

Redukcja dowolnego US (cd)

Twierdzenie o zamianie bieguna redukcji

Zredukowanie US do innego bieguna redukcji powoduje jedynie zmianę
momentu głównego układu, nie wywołując zmiany wektora głównego.

M

O

0

= M

O

+ O

0

O × S

M

O

=

n

X

i =1

M

iO

=

n

X

i =1

r

i

×P

i

r

0
i

= r

i

+ O

0

O

M

O

0

=

n

X

i =1

r

0
i

× P

i

=

=

n

X

i =1

(r

i

+ O

0

O) × P

i

=

=

n

X

i =1

(r

i

× P

i

) + O

0

O ×

n

X

i =1

P

i

Twierdzenie o zamianie bieguna redukcji (cd)

M

O

0

= M

O

+ O

0

O × S

Moment główny względem nowego bieguna redukcji jest równy sumie
geometrycznej momentu głównego względem starego bieguna i momentu
wektora głównego S zaczepionego w starym biegunie względem nowego
bieguna.

Wnioski:

1. Jeżeli wektor główny układu S = 0 to moment główny układu nie

zależy od wyboru punktu (jest stały) i układ redukuje się zawsze do
pary sił.

2. Jeżeli S k O

0

O to M

O

0

= M

O

(gdy nowy biegun redukcji leży na

linii działania wektora S zaczepionego w starym biegunie to
M

O

0

= M

O

).

Twierdzenie o zamianie bieguna redukcji (cd)

Wyznaczmy iloczyn skalarny wektora głównego S i momentu
głównego M

O

0

:

M

O

0

· S = M

O

· S +

⊥S

z

}|

{

O

0

O × S

·S

|

{z

}

=0

= M

O

· S = const

Ponieważ

M

O

· S = M

O

· S · cos α

oraz S = const, zatem

M

O

· cos α = const

Niezmienniki US

Każdy układ sił ma zatem dwa niezmienniki, tzn. wielkości
niezależne od położenia bieguna redukcji:

I

wektor głowny S ,

I

rzut wektora momentu głównego na kierunek wektora
głównego.

Liczbę

M

O

· S = R

nazywamy wyróżnikiem układu.

R = 0

gdy

M

O

⊥ S, S = 0

lub

M

O

= 0

R 6= 0

gdy

∠(M

O

, S ) 6= 90

◦

Niezmienniki US (cd)

Dowolny układ sił można zastąpić siłą równą wektorowi głównemu S oraz

parą sił M

C

o płaszczyźnie prostopadłej do linii działania S . Taki układ

nosi nazwę skrętnika.

Niezmienniki US (cd)

W zależności od wartości S i M

O

i ich wzajemnego położenia

rozróżniamy następujące przypadki redukcji układu sił:

S

M

O

R

Najprostszy układ równoważny
danemu US

S = 0

M

O

= 0

R = 0

układ zerowy (równowaga)

S = 0

M

O

6= 0

R = 0

para sił o momencie M = M

O

S 6= 0

M

O

= 0

R = 0

wypadkowa W =

S

O

S 6= 0

M

O

6= 0

R = 0

(M

O

⊥ S)

wypadkowa W =

S

C

C 6= O

S 6= 0

M

O

6= 0

R 6= 0

(M

O

6⊥ S)

skrętnik

Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby dowolny przestrzenny
układ sił redukował się do wypadkowej jest S 6= 0 oraz R = 0.

Niezmienniki US (cd)

Osią centralną nazywamy miejsce geometryczne punktów,
względem których wektor momentu układu jest równoległy do
wektora sumy lub jest wektorem zerowym (wtedy oś centralna jest
linią działania wypadkowej).

Moment układu sił względem dowolnego punktu leżącego na linii
działania wypadkowej tego układu jest równy zeru.

Siły skośne

Każdy układ sił (np. S , M

O

) można sprowadzić do dwóch sił

skośnych, z których jedna przechodzi przez środek redukcji O.

Siły skośne (cd)

W szczególnym przypadku, gdy M

O

⊥ S układ redukuje się do jednej siły

(wypadkowej).
Działanie momentu M

O

zastępujemy parą sił −S , S , a następnie od

układu możemy odłączyć dwójkę zerową S , −S powstałą w punkcie O.

S · h = M

O

h =

M

O

S

W =

S

C

REDUKCJA US DO SKRĘTNIKA

Redukcja dowolnego przestrzennego US do skrętnika

M

00
O

= OC × S

W wyniki redukcji układu do
pkt. O mamy S i M

O

.

Rozłóżmy wektor momentu
głównego na składowe M

0
O

i M

00
O

, które są odpowiednio

równoległe i prostopadłe do
S . Zastąpmy wektor
momentu M

00
O

parą sił S

i −S , a następnie odłączmy
od układu dwójkę zerową.
Redukując US do pkt. C
otrzymamy wektor główny S
i moment M

C

= M

00
O

.

Redukcja dowolnego przestrzennego US do skrętnika

Skrętnik stanowią dwa wektory
kolinearne: S i M

0
O

. Linia

działania skrętnika przechodzi
przez ściśle określony punkt C.

S ·M

O

= S ·M

O

cos ϕ ⇒ cos ϕ =

S · M

O

S · M

O

M

0

O

= M

O

cos ϕ = M

O

S · M

O

S · M

O

=

S · M

O

S

M

0
O

= M

0

O

· e

S

=

S · M

O

S

·

S

S

=

S · M

O

S

2

· S

Moment ten możemy też wyznaczyć z twierdzenia o zamianie bieguna
redukcji:

M

0
O

= M

O

+ CO × S

Redukcja dowolnego przestrzennego US do skrętnika

W celu wyznaczenia wektora OC (położenia punktu C) porównamy
wzory stronami

M

O

+ CO × S =

S·M

O

S

2

· S

CO × S =

S·(S·M

O

)−M

O

·(S·S)

S

2

,

gdzie

S · S = S

2

Licznik po prawej jest rozwinięciem podwójnego iloczynu
wektorowego

S × M

O

× S =

M

O

S

S · M

O

S · S

= M

O

· (S · S) − S · (S · M

O

)

zatem

S × OC =

S × (S × M

O

)

S

2

(1)

Redukcja dowolnego przestrzennego US do skrętnika

Ogólne rozwiązanie równania (1) ma postać:

OC =

(S × M

O

)

S

2

+ λS ,

gdzie λ jest dowolną wielkość skalarną.

Jest to wektorowe równanie osi centralnej, które można przedstawić
w postaci odcinkowej trzech parametrycznych równań skalarnych











x

C

=

S

y

M

Oz

−S

z

M

Oy

S

2

+ λS

x

y

C

=

S

z

M

Ox

−S

x

M

Oz

S

2

+ λS

y

z

C

=

S

x

M

Oy

−S

y

M

Ox

S

2

+ λS

z

Przykład

Zadanie: Zredukować dany układ sił do najprostszej postaci.
Wyznaczyć równanie osi centralnej. Dane: P

1

= P

2

= P

3

= 1 N.

S = [1, 1, 1] [N]
S =

√

3 N

M

x

= 1 · 3 − 1 · 2 = 1 Nm

M

y

= −1 · 1 = −1 Nm

M

z

= 0

M

O

= [1, −1, 0] [Nm]

R = S · M

O

= 1 − 1 = 0

zatem S ⊥ M

O

i układ

można zredukować do
wypadkowej.

Przykład (cd)

Równanie wektorowe osi centralnej:

OC =

(S × M

O

)

S

2

+ λS =

1

3

i

j

k

1

1

1

1

−1

0

+ λ

1i + 1j + 1k

=

=

1

3

i + j + 2k

+λ

i + j + k

=

1

3

+ λ

i +

1

3

+ λ

j +

λ −

2

3

k

Równanie parametryczne osi centralnej:











x =

1
3

+ λ

y =

1
3

+ λ

z = λ −

2
3

Przykład (cd)

Równanie parametryczne osi
centralnej:











x =

1
3

+ λ

y =

1
3

+ λ

z = λ −

2
3

Do narysowania prostej
potrzebujemy conajmniej 2
punkty:
dla λ =

2
3

z = 0

y =

1

x = 1 ⇒ A(1, 1, 0)

dla λ = −

1
3

z = −1

y =

0

x = 0 ⇒ B(0, 0, −1)

REDUKCJA DOWOLNEGO PŁASKIEGO US

Moment siły względem punktu

P

i

= P

ix

· i + P

iy

· j

S = S

x

· i + S

y

· j =

X

P

ix

i +

X

P

iy

j

M

Oi

= r

i

× P

i

=

i

j

k

x

i

y

i

0

P

ix

P

iy

0

= (P

iy

x

i

− P

ix

y

i

)k

Moment siły względem punktu (cd)

Momenty wszystkich sił względem punktu O są prostopadłe do
płaszczyzny x-y i można je sumować algebraicznie jako wektory
kolinearne.

M

Oi

= P

iy

x

i

− P

ix

y

i

M

O

=

n

X

i =1

M

Oi

=

n

X

i =1

(P

iy

x

i

− P

ix

y

i

)

Ponieważ w układach płaskich sił M

O

⊥ S (R = 0) dlatego zawsze

można zredukować go do wypadkowej, jeżeli tylko S 6= 0.

Twierdzenie Varignona

Moment siły wypadkowej W względem dowolnego punktu równa
się sumie momentów sił układu względem tego punktu.

Równanie linii działania wypadkowej

Moment wypadkowej w pkt. O

M

O

(W ) = S

y

· x − S

x

· y

jednocześnie

M

O

(W ) =

X

M

Oi

= M

O

zatem

S

y

· x − S

x

· y = M

O

(2)

Równanie (2) jest równaniem
linii działania wypadkowej
danego US.

Równanie linii działania wypadkowej

Odległość h bieguna redukcji O od linii
działania wypadkowej ` wyznaczyć
możemy z zależności:

M

O

= S · h

⇒

h =

M

O

S

W postaci odcinkowej równanie
(2) zapisać możemy jako

x

M

O

S

y

+

y

−

M

O

S

x

= 1

x

a

x

+

y

a

y

= 1

gdzie

a

x

=

M

O

S

y

i a

y

= −

M

O

S

x

są współrzędnymi punktów
przecięcia osi centralnej z osiami
x i y.

Redukcja płaskiego US

W zależności od wartości S i M

O

rozróżniamy następujące

przypadki redukcji płaskiego układu sił:

S

M

O

Najprostszy układ równoważny
danemu

S = 0

M

O

= 0

układ zerowy (równowaga)

S = 0

M

O

6= 0

para sił o momencie M

O

S 6= 0

M

O

= 0

wypadkowa W =

S

O

S 6= 0

M

O

6= 0

wypadkowa W =

S

C

C 6= O

Przykład 1

Zadanie 1: Zredukować układ sił do najprostszej postaci.

P

1

= 10 N

P

2

= 2 N

P

3

= 6 N

Przykład 2

Zadanie 2: Zredukować układ sił do najprostszej postaci.

Przykład 3

Zadanie 3: Zredukować układ sił do punktu O. Sprawdzić, czy
istnieje wypadkowa. Następnie zredukować dany układ sił do
punktu O

0

korzystając z twierdzenia o zamianie biegunów redukcji.

P

1

= 10 N

P

2

= 6 N

P

3

= 5 N