15
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
5. Operatorowe i czasowe rozwiązanie równania stanu.
równanie stanu
d
x( t ) Ax( t ) Bu( t )
dt
y( t ) Cx
równ
(
a
t )
ni
Du(
e wy ś
t )
j cia
=
+
=
+
x(t) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t) – wektor wyjść o wymiarze mx1
z warunkiem początkowym x(0)=x
0
lub bardziej ogólnie x(t
0
)=x
0
16
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Do rozwiązania równania stanu użyjemy transformaty Laplace’a:
(
)
(
)
(
)
0
0
1
1
0
sX ( s ) x
AX ( s ) BU( s )
sI
A X ( s ) x
BU( s )
X ( s )
sI
A
x
sI
A
BU( s )
−
−
−
=
+
−
=
+
=
−
+
−
Macierz (sI-A)
-1
jest nazywana rezolwentą macierzy A, a jej oryginał
(
)
{
}
(
)
(
)
1
1
1
adj sI
A
( t ) L
sI
A
L
det sI
A
−
−
−
⎧
⎫
−
⎪
⎪
Φ
=
−
=
⎨
⎬
−
⎪
⎪
⎩
⎭
macierzą fundamentalną albo tranzycyjną równania
d
x( t ) Ax( t )
dt
=
. Rozwiązaniem tego równania z warunkiem
początkowym x(0)=x
0
będzie
(
)
1
0
X ( s )
sI A
x
−
=
−
czyli
0
x( t )
( t )x
= Φ
17
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
a rozwiązaniem równania
d
x( t ) Ax( t ) Bu( t )
dt
=
+
z warunkiem początkowym x(0)=x
0
będzie
(
)
(
)
1
1
0
X ( s )
sI
A
x
sI
A
BU( s )
−
−
=
−
+
−
, czyli
0
0
t
x( t )
( t )x
( t
)Bu( )d
τ
τ τ
= Φ
+ Φ −
∫
Jeżeli warunek początkowy jest dany w x(t
0
)=x
0
to dla t>t
0
0
0
0
t
t
x( t )
( t t )x
( t
)Bu( )d
τ
τ τ
= Φ −
+ Φ −
∫
Opis
układów dyskretnych w przestrzeni stanów
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
1
((
kT
Du
kT
Cx
kT
y
kT
Bu
kT
Ax
T
k
x
+
=
+
=
+
splot
18
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Rozwiązanie:
)
(
)
(
)
)
1
((
kT
Bu
kT
Ax
T
k
x
+
=
+
)
0
(
)
0
(
)
(
Bu
Ax
T
x
+
=
)
(
)
(
)
2
(
T
Bu
T
Ax
T
x
+
=
=
)
(
)
0
(
)
0
(
2
T
Bu
ABu
x
A
+
+
)
3
(
)
2
(
)
3
(
T
Bu
T
Ax
T
x
+
=
=
)
2
(
)
(
)
0
(
)
0
(
2
3
T
Bu
T
ABu
Bu
A
x
A
+
+
+
1
z
u(kT
x(kT)
y(kT)
x((k+1)T)
19
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
.....................................................................
)
(
)
0
(
)
(
1
0
1
i
Bu
A
x
A
kT
x
k
i
i
k
k
∑
−
=
−
−
+
=
=
)
)
((
)
0
(
1
1
T
i
k
Bu
A
x
A
k
i
i
k
−
+
∑
=
−
Operatorowo
)
(
)
(
)
0
(
)
(
z
Bu
z
AX
zx
z
zX
+
=
−
(
) (
)
)
(
)
0
(
)
(
1
z
Bu
zx
A
zI
z
X
+
−
=
−
(
)
{
}
1
1
−
−
−
=
A
zI
z
Z
A
k
macierz tranzycyjna
(
)
{
}
1
1
1
−
−
−
−
=
A
zI
Z
A
k