CAŁKI PODWÓJNE - część pierwsza
Przykład 1. Oblicz całkę podwójną
Z Z
D
(e
5x
y + 1) dx dy,
gdzie obszar
D =
©
(x, y) ∈ R
2
:
1 ≤ x ≤ 2,
3e
−x
≤ y ≤ e
x
ª
.
Rozpoczniemy od naszkicowania na płaszczyźnie X0Y obszaru D. Najpierw prowadzimy
dwie proste prostopadłe do osi 0X przechodzące przez x = 1 oraz x = 2. Kolejnym
etapem jest naszkicowanie dwóch funkcji wykładniczych. Malejącej funkcji y = 3e
−x
oraz rosnącej y = e
x
. Obszar ograniczony przez te cztery krzywe to nasz obszar D, który
na rysunku cieniujemy - patrz ryc.1.
Kolejna procedura to przejście od całki podwójnej do całki iterowanej. Zabieg ten
polega na rozbiciu symbolu
RR
na dwie całki pojedyncze oznaczone. Jedna z tych dwóch
całek będzie całką względem dx, druga - względem dy. Jedna z nich będzie całką ze-
wnętrzną (odnoszącą się do zmiennej niezależnej), a druga - wewnętrzną (odnoszącą się
do zmiennej zależnej). Od nas zależy wybór, która z całek będzie zewnętrzna, a która
wewnętrzna; wynik pozostanie taki sam w obydwu konfiguracjach (o ile nie popełnimy
błędu).
1
Przyjmimy, że w naszym zadaniu rolę całki zewnętrznej będzie pełniła całka wzglę-
dem dx. Musimy wskazać granice tej całki. W tym celu przyglądamy się obszarowi D
na wykresie oraz zakresowi zmienności współrzędnych odciętych (x) tego obszaru. To
znaczy rzutujemy prostopadle na oś 0X obszar D i odnajdujemy ekstremalne wartości
współrzędnych odciętych. U nas minimalna wartość współrzędnej odciętej to x = 1, a
maksymalna to x = 2. W tych granicach zmienia się x. Te dwie wartości (1 oraz 2) stają
się granicami całki względem dx. Dolną granicą jest liczba 1, a górną liczba 2.
Nieco inaczej rzecz ma się z całką wewnętrzną, u nas - całką względem dy. Jej granice
zależą bowiem od wartości, jakie przyjmuje x. Sytuację tę obrazuje ryc.2.
Wyobrażamy sobie, że na osi 0X obserwujemy punkt x (oznaczony na tej rycinie przez
grubą kropkę i podpisany x). Następnie zastanawiamy się, jak dla takiego x zmienia się
w obszarze D współrzędna y. Otóż zmienia się ona od "dolnej" funkcji wykładniczej do
"górnej" funkcji wykładniczej. Dla ustalonego x na osi odciętych współrzędna y będzie
się więc zmieniać od y = 3e
−x
do y = e
x
. Formuły po prawej stronie znaku "=" stają
się granicami: (odpowiednio) dolną i górną wewnętrznej całki po dy.
2
Zamieniamy zatem całkę podwójną na iterowaną:
Z Z
D
(e
5x
y + 1) dx dy =
2
Z
1
µ
e
x
Z
3e
−x
(e
5x
y + 1) dy
¶
dx.
Alternatywny zapis całki iterowanej jest następujący:
Z Z
D
(e
5x
y + 1) dx dy =
2
Z
1
dx
e
x
Z
3e
−x
(e
5x
y + 1) dy.
Obliczmy więc naszą całkę. Metoda jest następująca: przepisujemy symbol całki
zewnętrznej, a obliczamy całkę wewnętrzną. Pamiętamy, że całkujemy funkcję dwóch
zmiennych - zatem w przypadku całkowania względem zmiennej y, będziemy traktywać
zmienną x jako stałą (parametr). Stałą moża wyłączać przed symbol całki, natomiast
całka ze stałej jest równa tej stałej razy argument (po którym całkowanie się odbywa).
Zatem
Z Z
D
(e
5x
y + 1) dx dy =
2
Z
1
µ
e
x
Z
3e
−x
(e
5x
y + 1) dy
¶
dx =
2
Z
1
µ
e
5x
e
x
Z
3e
−x
y dy +
e
x
Z
3e
−x
1 dy
¶
dx =
=
2
Z
1
µ
e
5x
·
y
2
2
¸
e
x
3e
−x
+ [y]
e
x
3e
−x
¶
dx =
2
Z
1
µ
e
5x
µ
(e
x
)
2
2
−
(3e
−x
)
2
2
¶
+ e
x
− 3e
−x
¶
dx =
=
2
Z
1
µ
e
5x
µ
e
2x
2
−
9e
−2x
2
¶
+e
x
−3e
−x
¶
dx =
2
Z
1
µ
1
2
e
5x
·e
2x
−
9
2
e
5x
·e
−2x
+e
x
−3e
−x
¶
dx =
=
2
Z
1
µ
1
2
e
7x
−
9
2
e
3x
+ e
x
− 3e
−x
¶
dx =
·
1
2
·
1
7
e
7x
−
9
2
·
1
3
e
3x
+ e
x
+ 3e
−x
¸
2
1
=
=
1
14
e
7·2
−
3
2
e
3·2
+ e
2
+ 3e
−2
−
µ
1
14
e
7·1
−
3
2
e
3·1
+ e
1
+ 3e
−1
¶
=
=
1
14
e
14
−
3
2
e
6
+ e
2
+ 3e
−2
−
1
14
e
7
+
3
2
e
3
− e − 3e
−1
≈ 85251.
.
3
Przykład 2. Oblicz całkę podwójną
Z Z
D
xy
2
dx dy,
gdzie obszar
D =
©
(x, y) ∈ R
2
:
1 ≤ x
2
+ y
2
≤ 4,
x ≤ 0,
y ≥ 0
ª
.
Szkicujemy na płaszczyźnie X0Y obaszar D. Ponieważ równanie
x
2
+ y
2
= 1
określa okrąg o środku w punkcie (0, 0) i promieniu równym 1, zaś równanie
x
2
+ y
2
+ 4
określa okrąg o środku w punkcie (0, 0) i promieniu równym 2, to rozwiązaniem podwój-
nej nierówności
1 ≤ x
2
+ y
2
≤ 4
jest różnica między dwoma kołami o środkach w punkcie (0, 0): tym większym - o promie-
niu równym 2 oraz tym mniejszym - o promieniu równym 1. Ze względu zaś na warunek,
że
x ≤ 0 oraz y ≥ 0,
ograniczamy się do II ćwiartki układu współrzędnych - patrz ryc.3.
4
W przypadku, gdy obszar D jest kołem, fragmentem koła lub fragmentem różnicy
dwóch kół, stosujemy zamianę współrzędnych (x, y) na współrzędne biegunowe. Współ-
rzędne biegunowe określamy następująco:
½
x = r cos α
y = r sin α.
Jakobian tego przekształcenia wynosi r.
W zadanym obszarze D określamy zmienność r (długości promienia wodzącego) oraz
α (kąta, jaki zakreśla w obszarze D promień wodzący r począwszy od osi 0X, przeciwnie
do ruchu wskazówek zegara).
Mamy więc:
½
r ∈ h1; 2i
α ∈
π
2
; π
®
.
Zmieniając współrzędne (x, y) na (r, α), musimy zastąpić w funkcji podcałkowej
zmienną x wyrażeniem r cos(α) oraz zmienną y wyrażeniem r sin(α). Ponadto w cał-
ce wyrażonej przy użyciu nowych zmiennych należy funkcję podcałkową przemnożyć
przez jakobian (= r).
Otrzymujemy więc:
Z Z
D
xy
2
dx dy =
π
Z
π
2
µ
2
Z
1
r cos α
| {z }
x
·(r sin α
| {z }
y
)
2
·
r
|{z}
jakobian
dr
¶
dα =
=
π
Z
π
2
µ
2
Z
1
r
4
cos α sin
2
α dr
¶
dα =
π
Z
π
2
µ
cos α sin
2
α
2
Z
1
r
4
dr
¶
dα =
=
π
Z
π
2
µ
cos α sin
2
α
·
r
5
5
¸
2
1
¶
dα =
π
Z
π
2
µ
cos α sin
2
α
µ
2
5
5
−
1
5
5
| {z }
31
5
¶¶
dα =
=
31
5
π
Z
π
2
cos α sin
2
α dα =
°
°
°
°
°
°
°
°
sin α = t
cos α dα = dt
α
π
2
π
t 1 0
°
°
°
°
°
°
°
°
=
=
31
5
0
Z
1
t
2
dt =
31
5
·
t
3
3
¸
0
1
=
31
5
µ
0
3
3
−
1
3
3
¶
=
31
5
·
µ
−
1
3
¶
= −
31
15
.
5