29. Skończonej wysokości studnia potencjału, prostokątna 1D.
Porównanie studni skończonej z nieskończoną:
•
Każdy poziom energetyczny w studni skończonej jest niższy niż w nieskończonej.
•
Studnia skończona ma tylko skończoną liczbę stanów związanych i odpowiadających poziomów
energetycznych
•
Zawsze musi istnieć co najmniej jeden poziom (zawsze istnieje jeden stan związany).
•
W żadnej ze studni nie ma stanu o E = 0
•
W stanach o E > U
0
, cząstka nie jest związana (= jest swobodna) i wszystkie wartości jej energii E są
dozwolone (continuum stanów). Funkcje falowe cząstki swobodnej są sinusoidalne dla każdego x.
•
W skończonej studni funkcja falowa wnika w barierą, ale ‘zanika’ w niej ekspotencjalnie, w studni
nieskończonej nie wnika w barierę.
•
Istnieje niezerowe prawdopodobieństwo, że cząstka znajdzie się na zewnątrz studni
Wyprowadzenie:
U=0 dla x należącego (0,L)
U=U
0
dla x>L,x<0
0
)
(
2
0
)
(
2
0
)
(
2
0
)
(
2
2
2
''
2
2
2
"
2
2
2
2
=
+
−
=
=
−
+
=
−
+
∇
−
=
−
+
=
+
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
q
U
E
m
q
U
E
m
E
U
m
E
U
m
p
E
U
m
p
h
h
h
Jedno z rozwiązań:
0
0
<
=
>
=
−
x
Ae
x
Ae
x
L
x
R
γ
γ
ψ
ψ
Na zewnątrz (w części gdzie stały potencjał równy U
0
):
)
Im(
)
(
2
)
(
2
1
)
(
2
0
0
0
2
2
q
E
U
m
i
q
U
E
m
q
U
E
m
q
=
−
−
=
−
=
−
=
γ
h
h
h
Wewnątrz:
mE
k
mE
k
E
m
E
m
p
2
1
2
1
0
2
2
2
2
2
''
2
h
h
h
=
=
=
+
=
ψ
ψ
ψ
ψ
Rozwiązaniem równania jest funkcja
)
sin(
)
cos(
)
(
)
sin(
)
(
2
1
2
1
2
1
δ
δ
δ
ψ
+
=
+
−
+
+
+
=
+
=
−
kx
C
kx
i
A
A
kx
A
A
e
A
e
A
ikx
ikx
m
Rozwiązanie można znormalizować tylko kiedy w odpowiednich warunkach stałe się zerują tak, żeby
zanikała.
Funkcja obejmuje wartości własne operatora parzystości, poza tym dla stanów stacjonarnych
możemy zawsze wybrać funkcje rzeczywiste.
0
2
2
0
0
2
2
0
2
2
0
0
2
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
0
'
'
'
'
2
)
sin(
0
2
2
2
1
2
2
1
sin
cos
2
1
sin
1
cos
,
2
sin
0
2
)
(
0
2
2
2
2
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
)
(
0
)
sin(
)
cos(
0
mU
k
kL
L
x
k
k
mU
mU
k
mU
k
mU
k
mU
k
ctg
mU
k
mU
k
L
x
k
k
mU
kL
ctg
x
k
k
mU
k
mE
mU
ctg
m
k
E
E
U
m
bo
k
E
U
m
ctg
kL
kctg
kctg
L
x
dla
kL
kctg
x
dla
kctg
kx
C
kx
Ck
L
x
dla
Be
e
B
x
dla
Ae
e
A
m
m
m
m
x
x
R
R
x
x
L
L
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
−
=
+
>
>
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
>
>
−
−
=
+
≤
−
=
−
=
=
−
=
−
=
−
=
+
=
=
+
=
=
=
+
+
=
=
−
=
−
=
=
=
=
−
δ
γ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
γ
δ
δ
γ
δ
γ
δ
γ
δ
δ
ψ
ψ
δ
δ
δ
ψ
ψ
γ
γ
ψ
ψ
γ
γ
ψ
ψ
γ
γ
γ
γ
Postępując tak jak powyżej dojdziemy do tego samego.
)
2
arcsin(
)
2
arcsin(
0
0
mU
k
n
kL
mU
k
h
h
−
=
+
=
π
δ
δ
Dodajemy stronami.
2
2
kL
n
n
kL
−
=
⇒
=
+
π
δ
π
δ
Teraz odejmiemy dwa wcześniejsze równania.
)
2
arcsin(
2
)
2
arcsin(
2
0
0
mU
k
kL
n
mU
k
n
kL
h
h
=
−
−
=
π
π
Pierwiastki tego równania wyznaczają poziomy energetyczne
m
k
E
2
2
2
h
=
przy czym dla
skończonej wartości U
0
ilość ich jest skończona.
Wiemy, że
2
kL
n
−
=
π
δ
, oraz oznaczmy
0
2
2
mU
L
kL
h
=
=
ξ
β
.Wstawiamy wszystko do
wzoru powyżej.
β
π
βξ
−
=
2
arcsin
n
Po nałożeniu na wzór sinusa lub cosinusa otrzymujemy:
βξ
β
βξ
β
±
=
±
=
sin
cos
Pierwszy z nich jest dla parzystych n, przy czym interesują nas tylko te rozwiązania, dla
których
0
>
β
tg
. Dla nieparzystych n otrzymaliśmy drugie równanie.
W szczególności dla jamy niezbyt głębokiej, dla której
2
2
0
mL
U
h
<<
, mamy
1
>>
ξ
, i równanie
βξ
β
±
=
sin
nie ma w ogóle pierwiastków. Równanie
βξ
β
±
=
cos
m jeden pierwiastek (dla
znaku + w prawej części równania), równy
)
2
1
1
(
1
2
ξ
ξ
β
−
≈
, zatem w tym przypadku istnieje
tylko jeden poziom energetyczny,
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
2
U
mL
U
mL
E
h
h
−
≈
=
β
położony w pobliżu
wierzchołka jamy.
Najniższy poziom energetyczny w studni potencjału leży w pewnej odległości od dna studni.
Oznacza to ,że nie można położyć cząstki kwantowej na dnie studni. Jest to związane z
zasadą nieoznaczoności. Jeżeli cząstka znajduje się w studni prostokątnej to jest
zlokalizowana w obszarze Δx=L zatem rozmycie jej pędu musi być
L
p
h
~
∆
.
30. Pokazać, że gdy dwa niekomutujące ze sobą operatory komutują z
operatorem
Hˆ
to widmo tego operatora jest zdegenerowane.
Operatory
B
i
A
ˆ
ˆ
ze sobą nie komutują, nie możemy ich więc wyznaczyć jednocześnie.
Funkcją własną operatora Hˆ jest
ψ
A
ˆ
.
ψ
ψ
ψ
B
E
E
B
B
H
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
=
W tym wypadku funkcją własną operatora Hˆ jest
ψ
Bˆ
.
Otrzymujemy dwie różne funkcję własne dla tej samej wartości własnej jednego operatora,
co świadczy o tym , że jego widmo jest zdegenerowane. Operatory
B
i
A
ˆ
ˆ
ze sobą nie
komutują, nie możemy ich więc wyznaczyć jednocześnie.
Karola
(wraz ze skryptem profesora, i z notatkami z ćwiczeń z cudownym Januszem :D )
ψ
ψ
ψ
ψ
αψ
ψ
ψ
ψ
A
E
E
A
H
A
A
H
A
E
H
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
=
=
=
=