J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

1

WYKŁAD 1

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

Mechanika ciała stałego

Mechanika ośrodków ciągłych

Porównanie TSiP z Mechanika budowli i wytrzymałością mat.
1. Mechanika budowli (kurs MO i MB) –

elementy prętowe

Zadanie: siły wewnętrzne M, T, N w elementach (przekrój

poprzeczny jako punkt osi pręta; w nim określone są siły

wewnętrzne

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

2

2.

Wytrzymałość materiałów – elementy prętowe
Zadanie:

rozkład naprężeń w przekrojach elementów prętowych.

Naprężenie – wielkość zdefiniowana w punkcie obiektu,

odniesiona do określonego w tym punkcie przekroju zadana

płaszczyzna (wektor normalny)

3.

Teoria sprężystości i plastyczności – obiekty 2D i 3D

określone: kształt (geometria) i parametry materiałowe, zadane

obciążenie

zadanie: w każdym punkcie określić

• w

ielkości statyczne – naprężenia [jedn. siły/ jedn. pow.]

•

wielkości geometryczne – przemieszczenia i odkształcenia

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

3

Dwa podejście do problemu:

•

rozwiązanie analityczne – właściwy kurs TSiP;
wynik: funkcje położenia punktu – współrzędnych

{

}

1

2

3

T

x

x x x

=



pola w 3D: naprężeń , przemieszczeń odkształceń);

ujęcie analityczne, ciągłe (kontynualne);

narzędzie: podstawowe równani TS – równanie różniczkowe

cząstkowe.

•

rozwiązanie numeryczne – dyskretyzacja (podział na elementy,

siatki węzłów)

wynik: w zadanych węzłach wartości (pomiędzy węzłami
interpolacja) –

zbiór wartości naprężeń, przemieszczeń,

odkształceń;
ujecie numeryczne, dyskretne (dyskretyzowane)

narzędzie: metody rachunku macierzowego, rozwiązywanie

układu równań:
grupa metod; najbardziej powszechna Metoda Elementów

Skończonych

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

4

Kurs TSiP –

jedynie ujęcie analityczne

Część wykładowa – analiza 2D i 3D, ogólne prawa mechaniki

•

opis stanu geometrycznego (przemieszczenia, odkształcenia)

•

opis stanu naprężenia

•

związki pomiędzy stanami naprężenia i odkształcenia.

Część ćwiczeniowa – analiza 2D – dźwigary powierzchniowe

(tarcze, płyty), stany PSO

W kursie WM naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia

obliczane są w sposób uproszczony, inżynierski (są wielkościami
tensorowymi).

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

5

TENSOR

– ogólna matematyczna kategoria, grupuj

ąca zarówno wielkości

skalarne, wektorowe jak i bardziej złożone, o większej liczbie

składowych.

Założenie: przestrzeń euklidesowa z kartezjańskim układem
współrzędnych (bazą)

{

} { }

1

2

3

,

1, 2, 3

T

i

x

x x x

x

i

=

=

=



Rząd tensora (walencja) – liczba wskaźników (indeksów)

swobodnych, definiująca dana wielkość – liczbę jej składowych

Tensor walencji 0 – skalar – jedna liczba (np. masa, temperatura,

gęstość)

Tensor walencji 1 – wektor –

w danym układzie współrzędnych

trzy składowe

{

} { }

1

2

3

,

1, 2, 3

T

i

u

u u u

u

i

=

=

=



(np. wektor

położenia punktu, wektor prędkości, wektor przyspieszenia, wektor
przemieszczenia)

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

6

Tensor walencji 2 –

w danym układzie współrzędnych macierz

11

12

13

21

22

23

31

32

33

ij

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A









≡

= 













,

1, 2, 3

i j

=

→

9 składowych

Tensor walencji n – zawiera

3

n

składowych (przestrzeń

trójwymiarowa)

Dwojaki zapis (notacja) wielkości tensorowych:

•

zapis wskaźnikowy (indeksowy) – liczba wskaźników
swobodnych (wolnych) równa jest walencji tensora np.
wektora

i

a

, tensora drugiej walencji

jk

B

• zapis absolutny –

wymaga określenia walencji tensora liczba

wskaźników:

a



,

B



dla odróżnienia: wektory oznaczamy małą literą, tensor wyższej
walencji –

wielką litera.

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

7

Zachodzi równoważność:

{

}

1

2

3

,

1, 2, 3;

1,2,3

T

i

j

a

a a a

a

a

i

j

≡

=

=

=

=



11

12

13

21

22

23

31

32

33

jk

mn

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B









≡

=

=















, , ,

1, 2, 3

i j m n

=

Reguła sumacyjna Einsteina

gdy w wyrażeniu jednowymiarowym wskaźnik występuje

dwukrotnie, względem niego, w zakresie od 1 do 3 następuje

sumowanie (jest to tzw. wskaźnik nemy – nie występujący w

wyrażeniu wynikowym

Przykłady:
•

3

1 1

2 2

3 3

1

i i

i i

i

a b

a b

a b

a b

a b

c

=

≡

=

+

+

=

∑

– iloczyn skalarny wektorów; wynik – skalar (liczba)

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

8

Przypadek szczególny –

kwadrat długości wektora

3

2

2

2

2

1

2

3

1

i

i

i

i

i

a a

a a

a

a

a

a

=

≡

=

+

+

=

∑

•

3

1 1

2 2

3 3

1

ij

j

ij i

i

i

i

i

j

A b

A b

A b

A b

A b

d

=

≡

=

+

+

=

∑

–

wektor (trzy składowe względem i)

•

3

3

11 1 1

12 1 2

1

1

...

ij

i

j

ij

i

j

i

j

A u u

A u u

A u u

A u u

k

=

=

≡

=

+

+ =

∑∑

– liczba (tensor walencji 0, skalar)
– jest to forma kwadratowa tensora (macierzy)

ij

A

A

≡



względem

wektora

k

u

u

≡



J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

9

•

wyrażenie

i

il

l

p

K q

=

Można zastąpić np.

m

ml

l

p

K q

=

rozwinięcie – układ równań liniowych:

1

1

11 1

12

2

13 3

2

2

21 1

22

2

23 3

3

3

31 1

32

2

33 3

1:

2 :

3 :

l

l

l

l

l

l

i

p

K q

K q

K q

K q

i

p

K q

K q

K q

K q

i

p

K q

K q

K q

K q

=

=

=

+

+

=

=

=

+

+

=

=

=

+

+

W zapisie absolutnym p

Kq

=







Uwaga: działanie „mnożenia” ma zastosowanie także do tensorów

wyższych rzędów (tzw. kontrakcja, nasunięcie proste);
w odniesieniu do tensorów walencji 1 i 2 – interpretacja
macierzowa.

•

3

11

22

33

1

ii

ii

i

T

T

T

T

T

trT

=

=

= +

+

=

∑



ślad tensora walencji 2 (macierzy) – liczba

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

10

Można użyć tzw. symbolu Kroneckera

1 gdy

0 gdy

ik

i

k

i

k

δ

=



= 

≠



w zapisie absolutnym

ik

I

δ

=



(9 składowych, tylko 3 niezerowe)

•

i

j

k

ijk

u v w

b

ε

=

wynik jest liczbą, wszystkie wskaźniki nieme
symbol permutacji Ricci:

1

permutacja parzysta (123, 231, 312)

1

permutacja nieparzysta (132, 213, 321)

0

którekolwiek wska

źniki wspólne

ijk

ε

−





= − −





−



W rozwinięciu 27 wyrazów, tylko 6 niezerowych

1 2

3

2 3

1

3 1

2

1 3

2

2 1

3

3 2

1

b

u v w

u v w

u v w

u v w

u v w

u v w

=

+

+

−

−

−

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

11

•

ij

ij

ij

A B

C

=

wynik – tensor walencji 2 (i, j –

wskaźniki swobodne,

j – niemy)
zapis absolutny AB

C

=

 



działania tensorowe – kontrakcja, nasunięcie proste w
odniesieniu do tensorów walencji 2,
interpretacja –

mnożenie macierzy

jeden z wyrazów

11

11

11

12

21

13

31

C

A B

A B

A B

=

+

+

rozpisanie

11

12

13

11

12

13

11

12

13

21

22

23

21

22

23

21

22

23

31

32

33

31

32

33

31

32

33

A

A

A

B

B

B

C

C

C

A

A

A

B

B

B

C

C

C

A

A

A

B

B

B

C

C

C



 

 





 

 



=



 

 





 

 





 

 



J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

12

Tensory ortogonalne

Obrót układu współrzędnych (bazy)

1 2

3

Ox x x -

układ pierwotny

1 2

3

Ox x x

′ ′ ′ - po transformacji

Definiując kąty obrotu

(

)

,

ij

i

j

x x

α

′

= 

Określa się macierz transformacji

(

)

cos

cos

,

ij

ij

i

j

A

x x

α





′





=

=



 



np.

(

)

12

1

2

cos

,

A

x x

′

=

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

13

W

układzie pierwotnym dowolny punkt P ma współrzędne

{

}

1

2

3

T

j

x

x

x x x

=

=



w nowym układzie ten sam punkt ma

współrzędne

{

}

1

2

3

T

j

x

x

x x x

′

′

′ ′ ′

=

=



.

Transformacja współrzędnych punktu P (zarazem WSP. Wektora

wodzącego tego punktu)

T

x

Ax

=







lub

i

ij

j

x

A x

′ =

1

11 1

12

2

13 3

2

21 1

22

2

23 3

3

31 1

32

2

33 3

x

A x

A x

A x

x

A x

A x

A x

x

A x

A x

A x

′ =

+

+

′ =

+

+

′ =

+

+

gdzie

(

)

cos

,

ij

i

j

A

x x

′

=

, np.

(

)

12

1

2

cos

,

A

x x

′

=

Własności macierzy transformacji
–

długości wektorów wodzących x



i x′



punktu P

w obu układach są

jednakowe, stad:

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

14

2

T

k

k

jk

j

k

x

x x

x x

x x

δ

=

=

=



 

(

)

(

)

2

T

i

i

ij

j

ik

k

ij

ik

j

k

x

x x

x x

A x

A x

A A x x

′

′ ′

′ ′

=

=

=

=



 

Długość wektora jest stała:

(

)

0

ij

ik

ik

j

k

A A

x x

δ

−

=

dla każdego x



Stąd

ij

ik

ik

A A

δ

=

lub

T

A A

I

=

  

więc

1

T

A

A

−

=





ik

A

A

≡



– tensor ortogonalny (reprezentacja: macierz ortogonalna)

Wyznacznik

( ) (

)

(

) (

)

2

det

det

det

det

1

T

T

A A

A

A

A

=

=

=

 







więc

det

1

A

= ±



Macierz (tensory) o powyższych własnościach
– grupa ortogonalna –

obroty i przekształcenia (odbicia) układów

współrzędnych ~
Gdy

det

1

A

= →



grupa obrotów

(3)

SO

specjalna, ortogonalna, w

przestrzeni trójwymiarowej
Gdy

det

1

A

= − →



odbicia (nie tworzą grupy),

Łączne działania – grupa ortogonalna

(3)

O

.

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

15

Transformacja wielkości tensorowych
Podstawa – transformacja wektorów bazowych:

(

)

i

ij

j

e

Ae

e

A e

′

′

=

=







Współrzędne dowolnego wektora:

(

)

i

ij

j

u

Au

u

A u

′

′

=

=







Współrzędne tensora 2 walencji:

(

)

T

ij

ij

jl

kl

T

ATA

T

A A T

′

′

=

=



 

Współrzędne tensora dowolnej walencji:

.....

....

....

ijk

ip

jq

km

pqm

T

A A A

T

=

Formalna reprezentacja wielkości tensorowych
Tensor walencji 1 – wektor –

składowe w danej bazie

{ } {

}

1

2

3

i

e

e

e e e

=

=





  

,

i i

k k

i i

u

u e

u e

u

u e

′

′

≡

=

≡











Tensor walencji 2 –

składowe w 9-wymiarowej poliazie

i

j

e

e

⊗





(działanie mnożenia tensorowego) utworzonej z par wekorów
bazowych

kl k

l

kl k

l

T

T e

e

T e

e

′ ′

′

≡

⊗ =

⊗









