Układy współrzędnych

Zadanie 1.1

Dany jest punkt we współrzędnych kartezjańskich P(1, 1, √2).

a) Naszkicuj rzut perspektywiczny, zaznaczając położenie punktu P.
b) Znajdź współrzędne cylindryczne (ρ

0

, φ

0

, z

0

) oraz sferyczne (r

0

, θ

0

, φ

0

) punktu P.

Zadanie 1.2

Dany jest punkt we współrzędnuch cylindrycznych P(1, 0.5π, 1). Znajdź współrzędne kartezjańskie oraz
sferyczne tego punktu.

Zadanie 1.3

Oblicz iloczyn skalarny wersorów:

a)

x

ρ

i i

⋅

b)

z

θ

i i

⋅

c)

ρ

r

i i

⋅

w punkcie o współrzędnych kartezjańskich (1,1,1).

Analiza wektorowa

Zadanie 1.4

Dana jest funkcja skalarna

(

)

z

y

x

z

y

x

f

+

+

=

,

,

oraz pole wektorowe

(

)

x

y

z

F

x

y i

y i

z i

=

+

+

+

.

Obliczyć:

a)

f

∇

b)

F

∇

c)

F

×

∇

d)

f

2

∇

e)

F

2

∇

f)

(

)

F

f

∇

g)

( )

2

f

∇

h)

(

)

2

e

x

f

∇

Zadanie 1.5

Znajdź kierunek najszybszego wzrostu pola skalarnego

2

2

2

z

y

x

U

+

+

=

. Wykonaj obliczenia dla

punktu P

0

(4, 3, 0).

Zadanie 1.6

Obszar pewnego pokoju opisany jest we współrzędnych kartezjańskich. W punkcie P

0

(20 m, 15 m, 2 m)

zmierzono temperaturę T(P

0

) = 312 K oraz jej gradient

( )

(

)

0

K

P

m

x

z

T

i

i

∇

=

+

. Znajdź przybliżoną

wartość temperatury w punkcie P

1

(21 m, 14 m, 3 m).

Zadanie 1.7

Oblicz strumień wektora położenia

r

przez sferę o promieniu r

0

=5.

Zadanie 1.8

Oblicz strumień wektora położenia

r

przez powierzchnię sześcianu o boku a = 5. Trzy krawędzie

sześcianu leżą na dodatnich półosiach układu współrzędnych 0xyz.

Zadanie 1.9

Oblicz cyrkulację wektora

(

)

2

x

A

y i

=

+

po ścieżce wyznaczonej przez krawędzie kwadratu l x l,

którego dwie krawędzie leżą na osiach Ox oraz Oy. Wybierz prawoskrętną cyrkulację wokół osi Oz.

Zadanie 1.10

Oblicz strumień wektora

(

)

2

3

5

3

x

y

z

A

x i

x i

y

i

=

+

+

+

przez powierzchnię kuli o promieniu a i środku

w początku układu współrzędnych 0xyz.

Parametry ośrodków

Zadanie 1.11

Wyznacz kąt pomiędzy wektorami

E

i

D

w ośrodku o danym tensorze przenikalności elektrycznej:

0

1

0

0

0

1

0

0

0

4

ε

ε









=













Oblicz maksymalny kąt pomiędzy tymi wektorami, jeśli:

a)

x

x

z

z

E

E i

E i

=

+

b)

y

y

E

E i

=

Zinterpretuj otrzymane wyniki.

Zadanie 1.12

W pewnym punkcie w półprzewodniku znana jest amplituda zespolona wektora natężenia pola

elektrycznego:

V

2

m

z

E

i

=

. Półprzewodnik ten jest materiałem anizotropowym o przenikalności

elektrycznej danej następującym tensorem:

0

2

0

3j

0

1

0

3j 0

2

ε

ε









=









−





.

Znajdź wektor indukcji elektrycznej

D

E

ε

=

.

Wyznacz chwilową wartość natężenia pola elektrycznego oraz indukcji elektrycznej w chwilach:

a)

ω

t

1

=

π/6

b)

ω

t

2

= 3

π/2

Zadanie 1.13

W półprzewodniku o parametrach z poprzedniego zadania znana jest amplituda zespolona wektora

indukcji elektrycznej:

9

C

2 10

m

z

D

i

−

= ⋅

. Znajdź wektor natężenia pola elektrycznego.

Zadanie 1.14

W pewnym punkcie w namagnesowanym ferrycie o właściwościach opisanych tensorem Poldera:

0

0

0

0

1

j

0

j

1

b

a

a

µ

µ

µ

µ

µ









=

−













dana jest amplituda zespolona natężenia pola magnetycznego:

j

x

y

H

i

i

=

+

. Znajdź wektor indukcji

magnetycznej

B

w ferrycie. Wyznacz kąt pomiędzy wektorami

B

i

H

.

Warunki istnienia pól elektromagnetycznych

Zadanie 1.15

Sprawdź, czy wyrażenie

(

)

0

sin

cos

ρ

φ

E

E

ωt

βρ i

ρ

=

−

może opisywać natężenia pola elektrycznego w

próżni.

Zadanie 1.16

Sprawdź, czy następujące wyrażenie może stanowić opis pola indukcji pola magnetycznego w pewnym

ośrodku nieograniczonym i bez źródeł:

(

)

0

cos

z

B

B y

ωt

βz i

=

−

.

Zadanie 1.17

Sprawdź, czy w próżni może istnieć pole elektromagnetyczne, którego wektor natężenia pola

elektrycznego opisany jest wyrażeniem:

sin(

)

x

E

A

z

t i

β

ω

=

−

. Jeśli tak, to pod jakim warunkiem?

Zadanie 1.18

Dany jest wektor natężenia pola magnetycznego

sin

sin

y

H

A

ax

ωt i

=

. Jaka musi być wartość

parametru a, przy której pole to może istnieć w ośrodku o parametrach

, ,

0

µ ε σ

=

? Znajdź wyrażenie

opisujące wektor natężenia pola elektrycznego.

Zadanie 1.19

Oblicz względną przenikalność elektryczną ε

r

bezstratnego dielektryka, w którym natężenia pola

elektrycznego opisane jest wyrażeniem

(

)

6

V

1000 sin 10

0 01

m

.

x

E

t

z i





=

−









. Oblicz natężenie pola

magnetycznego.

Zadanie 1.20

Czy amplituda zespolona pola elektrycznego wypromieniowanego przez pewną antenę w próżni może

być opisana wyrażeniem

j

0

sin

e

βr

θ

θ

E

E

i

r

−

=

? Jeśli tak, to oblicz wartość parametru β dla częstotliwości

10 GHz. Uwaga: przeprowadź obliczenia dokładne oraz przybliżone z pominięciem wyrazów o wyższych

potęgach r w mianowniku.

Zadanie 1.21

Dane jest natężenie pola elektrycznego w próżni

(

)

2

V

e

m

x vt

y

E

i

−

−





=









. Oblicz wartość parametru v oraz

znajdź wyrażenie opisujące natężenie pola magnetycznego.

Własności pól elektromagnetycznych

Zadanie 1.22

W materiale o parametrach

1

1,

1,

0 05

m

.

r

r

µ

ε

σ





=

=

=





Ω





prąd przesunięcia opisany jest wyrażeniem

(

)

2

2

A

2 10 cos

m

d

x

J

ωt

βz i

−





= ⋅

−









, natomiast prąd przewodzenia

(

)

2

2

A

10 sin

m

σ

x

J

ωt

βz i

−





=

−









.

Znajdź natężenie pola elektrycznego i magnetycznego oraz częstotliwość. Przyjmij

β

ω µε

=

.

Zadanie 1.23

W dielektryku niejednorodnym o przenikalności elektrycznej

(

)

0

sin

cos

ε

ε

x

y

=

+

istnieje statyczne

pole elektryczne o natężeniu

(

)

0

cos

sin

x

y

E

E i

x

i

y

=

+

. Znajdź rozkład ładunków objętościowych

ρ

v

(x,y).

Zadanie 1.24

Względna przenikalność magnetyczna jednorodnego, bezstratnego ośrodka dana jest tensorem
diagonalnym µ

x

= 1, µ

y

= 4, µ

z

= 1. Czy w tym ośrodku można wzbudzić statyczne pole indukcji

magnetycznej dane wzorem:

(

)

x

i

y

i

B

r

t

B

y

x

sin

sin

)

,

(

0

+

=

[T]? Jeśli tak, to:

•

jakie źródła są potrzebne to wygenerowania takiego pola?

•

jaki jest kąt między polem indukcji magnetycznej a polem natężenia pola magnetycznego?

Odpowiedzi należy uzasadnić korzystając z właściwych równań Maxwella.