1

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.

Na potrzeby kolejnych twierdze /dowodów/itd.

wprowadzam nast puj ce oznaczenie:

I , J

- dowolne przedziały.

R

I

f

→

:

R

I

F

→

:

Funkcj

F

nazywamy funkcj pierwotn funkcji

f

, je li

( ) ( )

x

f

x

F

I

x

=

′

∀

∈

Obserwacja

F

– funkcja pierwotna funkcji

f

I

( )

I

D

F

∈

Obserwacja

Zało enie

0

F

- funkcja pierwotna funkcji

f

.

Teza

F

- funkcja pierwotna funkcji

f

C

F

F

+

=

⇔

0

,

C

- stała,

R

C

∈

Dowód

( )

⇐

( )

f

F

F

C

F

F

f

F

=

′

=

′

+

=

=

′

0

0

0

czyli

funkcja

F

jest funkcj pierwotn funkcji

f

.

( )

f

F

f

F

=

′

=

′

0

(

)

C

F

F

const

F

F

F

F

F

F

+

=

=

−

=

′

−

′

=

′

0

0

0

0

0

Nie zawsze istnieje funkcja pierwotna.

Przykładem tego jest funkcja:

( )

=

,

1

,

0

x

f

0

0

=

≠

x

x

2

Stawiamy hipotez , e istnieje funkcja pierwotna

F

, czyli:

( )

f

F

const

F

a

F

x

a

const

F

x

F

f

F

R

x

C

F

≡

≡

′

≡

∀

=

≠

=

=

≠

=

′

=

′

∈

∈

0

0

0

,

0

,

0

co nie jest prawd bo nie zawsze funkcja

f

przyjmuje warto 0.

Wynika ze tego, e nasza hipoteza nie jest prawdziwa.

Całk nieoznaczon (całka w sensie Newtona) funkcji

f

nazywamy zbiór wszystkich funkcji

pierwotnych funkcji

f

i oznaczamy

( )

dx

x

f

.

( )

( )

+

=

C

x

F

dx

x

f

Twierdzenie (o liniowo ci całki nieoznaczonej)

( )

( )

∃

∃

dx

x

g

dx

x

f

(

)( )

+

∃

dx

x

g

f

β

α

oraz

(

)( )

( )

( )

+

=

+

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

f

β

α

β

α