C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

11.2. Wzory transformacyjne metody przemieszczeń według teorii

II rzędu.

W rzeczywistych konstrukcjach budowlanych elementy prętowe są
najczęściej fragmentem większej konstrukcji np. słup ramy, rygiel ramy,
pręty kratownicy, elementy belek ciągłych, rusztów. Elementy te nie są
podparte w tak prosty sposób jak to było zakładane w wytrzymałości
materiałów.
Przedmiotem niniejszej analizy jest wyznaczenie sił krytycznych ram i
belek płaskich.
Założenia:

•

Zakładamy, że elementy są idealnie proste,

•

Materiał jest liniowo sprężysty,

•

Wstępnie elementy mogą być poddane wyłącznie działaniu sił
normalnych (siły tnące i momenty zginające są równe zeru),

•

Zakładamy, że elementy są nieściśliwe EA=

∞,

•

Rozpatrujemy tylko możliwość wyboczenia w płaszczyźnie ramy.

Równanie różniczkowe problemu:
Rozważmy element obustronnie utwierdzony obciążony siłą osiową S, na
końcach elementu wystąpiły przemieszczenia w

i

,

ϕ

i

, w

k,

,

ϕ

k

. Szukamy

równania linii ugięcia elementu w funkcji siły S w celu wyrażenia sił
przywęzłowych w funkcji siły S.
W pręcie obowiązuje równanie równowagi:

( )

( )

x

M

x

y

EJ

−

=

′′

( )

( )

x

Sy

x

M

=

( )

( )

0

=

+

′′

x

Sy

x

y

EJ

zakładamy, że S>0 dla siły ściskającej

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

( )

( )

0

=

+

′′

x

y

EJ

S

x

y

po dwukrotnym zróżniczkowaniu powyższej zależności względem x
otrzymamy:

( )

( )

0

=

′′

+

′′′

′

x

y

EJ

S

x

y

podstawiając zmienną bezwymiarową:

( )

( )

...

1

...

ξ

ξ

d

d

l

dx

d

oraz

l

x

=

=

otrzymamy:

0

4

4

2

4

4

=

+

ξ

ξ

d

dy

EJ

Sl

d

dy

,

oznaczając przez

EJ

Sl

2

2

=

λ

otrzymamy równanie różniczkowe liniowe

rzędu II:

0

2

2

2

4

4

=

+

ξ

λ

ξ

d

dy

d

dy

(*)

jeżeli założymy, że

otrzymamy równanie charakterystyczne:

( )

ξ

ξ

r

Ce

y

=

0

2

2

4

=

+ r

r

λ

równanie to ma następujące pierwiastki:

1

,

,

0

4

,

3

2

,

1

−

=

±

=

=

i

i

r

r

λ

rozwiązanie ogólne równania różniczkowego (*) ma więc postać:

( )

λξ

λξ

ξ

ξ

sin

cos

4

3

2

1

C

C

C

C

y

+

+

+

=

Wykorzystując powyższe równanie linii ugięcia belki możemy wyznaczyć
siły wewnętrzne M, T w funkcji zmiennej x

( )

)

(x

y

EJ

x

M

′′

−

=

( )

( )

x

y

S

x

y

EJ

S

x

y

EJ

x

T

′

−

′′′

−

=

−

′′′

−

=

)

(

sin

)

(

ϕ

lub w funkcji zmiennej

l

x

=

ξ

:

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

( )

2

2

2

ξ

ξ

d

y

d

l

EJ

M

−

=

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

( )

)

(

2

3

3

3

3

3

3

ξ

λ

ξ

ξ

ξ

ξ

d

dy

d

y

d

l

EJ

d

dy

l

S

d

y

d

l

EJ

T

+

−

=

−

−

=

siły wewnętrzne na końcach pręta obliczymy z następujących zależności:

0

2

2

2

=

−

=

ξ

ξ

d

y

d

l

EJ

M

ik

1

2

2

2

=

−

=

ξ

ξ

d

y

d

l

EJ

M

ki

1

2

3

3

3

)

(

=

+

−

=

=

−

ξ

ξ

λ

ξ

d

dy

d

y

d

l

EJ

T

T

ki

ik

wykorzystując warunki brzegowe:

l

y

w

y

i

i

ϕ

ξ

=

′

=

=

)

0

(

)

0

(

,

0

l

y

w

y

k

k

ϕ

ξ

=

′

=

=

)

1

(

)

1

(

,

1

możemy wyrazić stałe C

1

, C

2

, C

3

, C

4

poprzez przemieszczenia na końcach

pręta w

i

,

ϕ

i

, w

k,

,

ϕ

k

. W ten sposób możemy również wyrazić siły

przywęzłowe w funkcji przemieszczeń końców pręta:

( )

( )

( )

[

]

ik

k

i

ik

l

EJ

M

ψ

λ

ϑ

ϕ

λ

β

ϕ

λ

α

−

+

=

( )

( )

( )

[

]

ik

i

k

ki

l

EJ

M

ψ

λ

ϑ

ϕ

λ

β

ϕ

λ

α

−

+

=

( )

( )

[

]

ik

k

i

ki

ik

l

EJ

T

T

ψ

λ

δ

ϕ

ϕ

λ

ϑ

−

+

−

=

=

−

)

(

2

Powyższe wzory możemy zapisać w formie macierzowej:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

ki

ki

ik

ik

ki

ki

ik

ik

w

w

l

l

sym

l

l

l

l

l

EJ

M

T

M

T

ϕ

ϕ

λ

α

λ

ϑ

λ

δ

λ

β

λ

ϑ

λ

α

λ

ϑ

λ

δ

λ

ϑ

λ

δ

)

(

)

(

)

(

2

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

gdzie:

l

w

w

i

k

ik

−

=

ψ

( )

4

lim

,

sin

)

cos

1

(

2

cos

sin

0

=

−

−

−

=

→

α

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

α

λ

( )

2

lim

,

sin

)

cos

1

(

2

sin

0

=

−

−

−

=

→

β

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

β

λ

( )

6

lim

,

)

(

)

(

0

=

+

=

→

ϑ

λ

β

λ

α

λ

ϑ

λ

12

lim

,

sin

)

cos

1

(

2

sin

)

(

0

3

=

−

−

=

→

δ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

δ

λ

dla pręta z jednej strony utwierdzonego a z drugiej strony przegubowo
podpartego:

( )

)

(

ik

i

ik

l

EJ

M

ψ

ϕ

λ

α

−

′

=

( )

( )

[

]

ik

i

ki

ik

l

EJ

T

T

ψ

λ

δ

ϕ

λ

α

′

−

′

−

=

=

−

)

(

2

( )

3

lim

,

cos

sin

sin

0

2

=

′

−

=

′

→

α

λ

λ

λ

λ

λ

λ

α

λ

3

lim

,

cos

sin

cos

)

(

0

3

=

′

−

=

′

→

δ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

δ

λ

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

( )

4

lim

,

sin

)

cos

1

(

2

cos

sin

0

=

−

−

−

=

→

α

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

α

λ

( )

2

lim

,

sin

)

cos

1

(

2

sin

0

=

−

−

−

=

→

β

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

β

λ

( )

6

lim

,

)

(

)

(

0

=

+

=

→

ϑ

λ

β

λ

α

λ

ϑ

λ

12

lim

,

sin

)

cos

1

(

2

sin

)

(

0

3

=

−

−

=

→

δ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

δ

λ

( )

3

lim

,

cos

sin

sin

0

2

=

′

−

=

′

→

α

λ

λ

λ

λ

λ

λ

α

λ

3

lim

,

cos

sin

cos

)

(

0

3

=

′

−

=

′

→

δ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

δ

λ

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

W przypadku siły rozciągającej S<0

0

2

2

2

4

4

=

−

ξ

λ

ξ

d

dy

d

dy

,

EJ

Sl

2

2

−

=

λ

0

2

2

4

=

− r

r

λ

równanie to ma następujące pierwiastki:

,

,

0

4

,

3

2

,

1

λ

±

=

= r

r

( )

λξ

λξ

ξ

ξ

sinh

cosh

4

3

2

1

C

C

C

C

y

+

+

+

=

( )

,

sinh

)

1

(cosh

2

cosh

sinh

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

α

−

−

−

=

( )

,

sinh

)

1

(cosh

2

sinh

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

β

−

−

−

=

,

sinh

)

1

(cosh

2

sinh

)

(

3

λ

λ

λ

λ

λ

λ

δ

−

−

=

( )

,

sinh

cosh

sinh

2

λ

λ

λ

λ

λ

λ

α

−

=

′

,

sinh

cosh

cosh

)

(

3

λ

λ

λ

λ

λ

λ

δ

−

=

′

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

11.3. Obliczanie obciążeń krytycznych wyboczenia.

Przedmiotem analizy zagadnień stateczności jest wyznaczanie siły
krytycznej wyboczenia sprężystego konstrukcji, lub krytycznego mnożnika
obciążenia. Najpierw należy określić siły normalne występujące w
konstrukcji, następnie wykorzystując wzory transformacyjne utworzyć
macierz sztywności konstrukcji w zależności od sił osiowych S.

( )

0

0

=

=

=

q

K

dlaP

P

Kq

µ

następnie przy założeniu że wektor obciążeń P=0, z warunku:

( )

,...

,

0

det

2

1

µ

µ

µ

→

=

K

możemy wyznaczyć krytyczną wartość obciążenia.

11.4. Sprowadzone długości wyboczeniowe elementów.

W normowych procedurach wymiarowania prętów wymagana jest
znajomość długości wyboczeniowej pręta konstrukcji. Znając siłę
krytyczną pręta ze wzoru Eulera dla pręta jednoprzęsłowego możemy
wyznaczyć długość wyboczeniową pręta, który jest elementem ramy, belki
lub innej konstrukcji z następującej zależności:

cr

w

w

cr

P

EJ

l

l

EJ

P

/

2

2

π

π

=

→

=

Często w normach projektowania konstrukcji pojawiają się tabele,
nomogramy służące do przybliżonego wyznaczania długości
wyboczeniowych prętów będących fragmentem większej konstrukcji.
Poniżej przedstawiono takie nomogramy dla ram przesuwnych i
nieprzesuwnych wg PN90/B-03200, podane w książce: ( Nośność
graniczna stalowych konstrukcji prętowych, Antoni Biegus, PWN1997)

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

ttp://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

h

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

ttp://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

h

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

tp://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

ht

;

wykład 10

; 2003/2004 sem.4