1

Zadania z termodynamiki (I i II zasada).

Odcinek 3.

3. Dany jest odwracalny cykl termodynamiczny przedstawiony na rysunku, który wykonują

2/R mole He (traktować jako gaz doskonały). Znane parametry stanu zamieszczone są
w tabeli 1. Obliczyć pozostałe parametry stanu (uzupełnić tabelę 1) oraz obliczyć wartości
w, q, ∆u, ∆h i ∆s dla kolejnych przemian (A, B, C, D), czyli wypełnić tabelę 2. Cykl
przedstawić (narysować) w układzie P=f(V).

Rozwiązanie:

Najlepiej rozpocząć od ustalenia, jakiego rodza-
ju przemianami są A, B, C i D, co powinno po-
móc w naszkicowaniu cyklu w układzie współ-
rzędnych P=f(V). Przemiany A (1

→

2) i C (3

→

4)

to niewątpliwie izotermy, zatem uzupełniamy
tabelę 1 o T

2

i T

4

. Dla przemian B (2

→

3) i D

(4

→

1) widzimy, że: V

2

/V

3

= T

2

/T

3

i V

4

/V

1

= T

4

/T

1

(obie leżą na prostej T = k·V, przechodzącej

przez 0), a zatem są to izobary (przecież jeśli pamiętamy, że P

2

V

2

=nRT

2

i P

3

V

3

=nRT

3

, to po

podzieleniu stronami i przegrupowaniu wyjdzie nam, że P

2

/P

3

= 1, a to samo jest oczywiście

prawdziwe dla P

4

i P

1

).

Możemy uzupełniać kolejne pozycje tabelki 1. Rozpoczniemy od obliczenia P

1

= P

4

=

nRT

1

/V

1

= 2/R·R·380/0,01 = 75000 Pa oraz P

2

= P

3

= nRT

2

/V

2

= 2/R·R·375/0,02 = 37500 Pa.

Brakujące objętości: V

3

= V

2

·T

3

/T

2

= 0,02·250/375 = 1,33·10

–2

m

3

; V

4

= V

1

·T

4

/T

1

=

0,01·250/375) = 6,67·10

–3

m

3

. Znamy więc wszystkie parametry gazu we wszystkich czterech

stanach.

Możemy przystąpić do obliczania zmian funkcji termodynamicznych.

Przemiana A:
∆u

A

= 0 i ∆h

A

= 0, ponieważ ∆T

A

= 0

Przemiana jest odwracalna, zatem: w

A

= nRT

A

ln(V

1

/V

2

) = 2·375·ln0,5 = –519,86 J

Z I zasady termodynamiki wynika, że: q

A

= –w

A

= 519,86 J.

Stan

P [Pa]

T [K]

V [m

3

]

1 375 0,01
2 0,02
3 250
4

Przemiana

q w ∆u

∆h

∆s

A

B

C

D

Cykl

2

Pozostaje obliczenie ∆s.
Z definicji entropii: ds = dq/T = (du – dw)/T = (du – PdV)/T
Ponieważ dwa dowolne stany na płaszczyźnie P-V (w poniższym wyprowadzeniu indeksy 2, A
i B mają inne znaczenia niż w całym zadaniu) zawsze można połączyć jedną izochorą i jedną
izotermą (od T

p

V

p

P

p

do T

k

V

p

P

2

drogą A i od T

k

V

p

P

2

do T

k

V

k

P

k

drogą B) dla 1 mola gazu do-

skonałego:

Zaś dla dowolnej liczby moli:


Zatem, wracając do zadania, dla przemiany A (izotermy):
∆s

A

= nRln(V

2

/V

1

) = 2·ln2 = 2·0,69315 = 1,3863 J/K

Przemiana B:
∆u

B

= nC

v

∆T

B

= 2/R·3/2·R(T

3

– T

2

) = 3(250 – 375) = –375 J

∆h

B

= nC

p

∆T

B

= 2/R·5/2·R(T

3

– T

2

) = 5(250 – 375) = –625 J

w

B

= –P

B

(V

3

– V

2

) = –37500·(4/3·10

–2

– 6/3·10

–2

) = –37500(–2/3·10

–2

) = 250 J

q

B

= ∆u

B

– w

B

= –375 – 250 = –625 J (to z I zasady) lub q

B

= ∆h

B

= –625 J (bo izobara)

∆s

B

= n[C

V

ln(T

3

/T

2

)+Rln(V

3

/V

2

)] = 2/R[3/2·Rln(250/375)+Rln(2/3)] = 2/R[5/2·Rln(2/3)] =

5·ln(2/3) = 5·–0,405465 = –2,0273 J/K
Przemiana C:
∆u

C

= 0 i ∆h

C

= 0, ponieważ ∆T

C

= 0

w

C

= nRT

C

ln(V

3

/V

4

) = 2·250·ln2 = 346,57 J

q

C

= –w

C

= –346,57 J

∆s

C

= nRln(V

4

/V

3

) = 2·ln0,5 = 2·–0,69315 = –1,3863 J/K

Przemiana D:
∆u

D

= nC

v

∆T

D

= 2/R·3/2·R(T

1

– T

4

) = 3(375 – 250) = 375 J

∆h

D

= nC

p

∆T

D

= 2/R·5/2·R(T

1

– T

4

) = 5(375 – 250) = 625 J

w

D

= –P

D

(V

1

– V

4

) = –75000·(3/3·10

–2

– 2/3·10

–2

) = –75000(1/3·10

–2

) = –250 J

q

D

= ∆u

D

– w

D

= 375 – (–250) = 625 J (to z I zasady) lub q

D

= ∆h

D

= 625 J (bo izobara)

∆s

D

= n[C

V

ln(T

1

/T

4

)+Rln(V

1

/V

4

)] = 2/R[3/2·Rln(375/250)+Rln(3/2)] = 2/R[5/2·Rln(3/2)] =

5·ln(3/2) = 5·0,405465 = 2,0273 J/K
Po wpisaniu wszystkich wyników w tabelę 2 i zsumowaniu dla cyklu widać, że I zasada jest
spełniona także dla całego cyklu, a funkcje stanu, zgodnie z ich definicją, dla cyklu nie zmie-
niają się (ich zmiany są równe zeru).

Stan

P [Pa]

T [K]

V [m

3

]

1

75000

375 0,01

2

37500

375

0,02

3

37500

250

0,0133

4

75000

250 0,00667

Przemiana

q [J]

W [J]

∆u [J]

∆h [J]

∆s [J/K]

A 519,86

–519,86

0 0 1,3863

B –625

250

–375

–625

–2,0273

C –346,57

346,57 0 0 –1,3863

D 625

–250

375

625

2,0273

Cykl 173,29

–173,29 0

0

0

p

k

V

V

p

k

V

T

T

V

B

V

A

V

AB

V

p

k

V

V

R

T

T

C

dV

V

R

dT

T

C

dV

V

R

dT

T

C

dV

V

R

dT

T

C

dV

V

R

dT

T

C

S

S

S

k

p

k

p

ln

ln

+

=

+

=













+

+













+

=













+

=

−

=

∆

∫

∫

∫

∫

∫

∩

∩

∩















+

=

∆

=

−

=

∆

p

k

p

k

V

p

k

V

V

R

T

T

C

n

S

n

s

s

s

ln

ln

3

Ostatecznie przeniesienie wykresu cyklu do układu współrzędnych P=f(V) wygląda następu-
jąco:

© W.Chrzanowski 2005