1
1
Materiały dydaktyczne zawieraj
ą
ce 14 slajdów na 7 stronach,
dotycz
ą
ce
ć
wiczenia T2 z przedmiotu „Wytrzymało
ść
materiałów”,
przeznaczone
dla studentów II roku studiów I – stopnia w kierunku „Energetyka”
na wydz. Energetyki i Paliw w AGH
Autor materiałów i osoba prowadz
ą
ca
ć
wiczenia:
Marek Płachno, dr hab. in
ż
., prof. AGH
Autor nie wyra
ż
a zgody na inne wykorzystywanie tych materiałów,
ni
ż
podane w ich przeznaczeniu.
2
Ć
wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 1. –
Temat
+
obja
ś
nienie
poj
ęć
=
J
o
k
Dla pr
ę
ta okr
ą
głego o schemacie jak na rys.1.1 – obliczy
ć
nie podan
ą
na rys. 1.1 warto
ść
osiowej
siły zewn
ę
trznej R
(krok
1
analizy wytrzymało
ś
ciowej).
1. Co to jest schemat
obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trznych
pr
ę
ta
?
-
przypomnienie z mechaniki:
Mo
ż
liwie najprostsze odwzorowanie rysunkowe układu wszystkich sił i wszystkich momen-
tów czynnych oraz wszystkich sił i wszystkich momentów reakcji przyło
ż
onych do pr
ę
ta.
2. Jakie s
ą
zasady obliczania
obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trznych
pr
ę
ta
?
-
przypomnienie z mechaniki:
•
Obci
ąż
enia zewn
ę
trzne
pr
ę
ta oblicza si
ę
z równa
ń
równowagi statycznej tego pr
ę
ta.
• Gdy równania równowagi statycznej pr
ę
ta nie wystarcz
ą
do obliczenia jego wszystkich
obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trznych
, wyst
ę
puje przypadek statycznie niewyznaczalny.
• Najcz
ęś
ciej wyst
ę
puj
ą
w praktyce in
ż
ynierskiej płaskie układy
obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trznych
, dla
których równania równowagi statycznej s
ą
algebraicznym zapisem trzech prawidłowo
ś
ci:
1) Suma rzutów wszystkich
sił zewn
ę
trznych
na o
ś
x
układu osi
x
,
y
jest równa zero,
2) Suma rzutów wszystkich
sił zewn
ę
trznych
na o
ś
y
układu osi
x
,
y
jest równa zero,
3) Suma wszystkich
momentów zewn
ę
trznych
obliczonych wzgl
ę
dem,
jednego
i
tego
samego
punktu pr
ę
ta, jest równa zero.
Krok
1
aw. - obliczenia
obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trznych
- cz
ęść
1-
obja
ś
nienia
2
3
Ć
wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 1. – krok
1
aw. - obliczenia
obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trz-
nych
- cz
ęść
2 -
obliczenie
siły R
:
=
J
o
k
0
M
,
0
F
0
20
30
60
0
P
P
P
F
3
2
1
∑
∑
∑
≡
≡
=
⇒
=
−
+
−
⇒
=
−
+
−
=
iA
iy
ix
kN
50
R
R
R
Przykład nr 2. - Temat +
obja
ś
nienie
poj
ęć
1) Co to s
ą
obci
ąż
enia wewn
ę
trzne
? W ogólnym przypadku
obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trznych
s
ą
to
dwa układy
ś
rodkowe sił i momentów maj
ą
cych wektory zaczepione w
ś
rodku ci
ęż
ko
ś
ci
strony lewej i strony prawej wskazanego przekroju pr
ę
ta.
2) Co to s
ą
obci
ąż
enia wewn
ę
trzne
odpowiadaj
ą
ce osiowym
obci
ąż
eniom zewn
ę
trznym
?
S
ą
to dwie siły
N
L
i
N
P
styczne do osi pr
ę
ta - nazywane
siłami wzdłu
ż
nymi
, z których siła
N
L
jest zaczepiona
w
ś
rodku ci
ęż
ko
ś
ci strony lewej wskazanego przekro-
ju pr
ę
ta, siła
N
P
- w
ś
rodku ci
ęż
ko
ś
ci strony prawej te-
go przekroju, przy czym o
ś
kierunkowa
z
L
siły
N
L
ma
zwrot dodatni w prawo, natomiast o
ś
kierunkowa
z
P
siły
N
P
- w lewo.
Dla pr
ę
ta okr
ą
głego o
schemacie
obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trznych
osiowych
jak na rys.1.2
obliczy
ć
i
narysowa
ć
rozkład
obci
ąż
e
ń
wewn
ę
trznych
po długo
ś
ci pr
ę
ta
(krok
2
aw.)
4
Ć
wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe
=
J
o
k
Przykład nr 2. – krok
2
aw. - Obliczenia i rysunek rozkładu
sił wewn
ę
trznych wzdłu
ż
nych
wzgl
ę
dem długo
ś
ci pr
ę
ta – cz
ęść
1 –
metody
i
praktyczne zasady
1) Zwykle stosuje si
ę
metod
ę
my
ś
lowych przekrojów lub metod
ę
superpozycji.
2) W metodzie my
ś
lowych przekrojów oblicza si
ę
siły wewn
ę
trzne N
L
i
N
P
dla my
ś
lowych przek-
rojów pr
ę
ta poprowadzonych przez wszystkie te
punkty jego osi, do których s
ą
przyło
ż
one osio-
we
siły zewn
ę
trzne
tego pr
ę
ta, jak równie
ż
te
punkty, którym odpowiada zmiana przekroju.
3) Przed obliczeniami
sił N
L
i
N
P
wykonuje si
ę
zwykle nast
ę
puj
ą
ce czynno
ś
ci:
• Na schemacie obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trznych pr
ę
ta
oznacza si
ę
liter
ą
A
skrajny lewy punkt jego
osi nale
żą
cy do materiału pr
ę
ta, a taki sam
skrajny punkt prawy oznacza si
ę
liter
ą
B
, po
czym nadaje si
ę
kolejne litery alfabetu innym
punktom osi pr
ę
ta, do których s
ą
przyło
ż
one
jego obci
ąż
enia zewn
ę
trzne.
3
5
Ć
wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe
=
J
o
k
Przykład nr 2. – krok
2
aw. - obliczenia i rysunek rozkładu
sił wewn
ę
trznych wzdłu
ż
nych
wzgl
ę
dem długo
ś
ci pr
ę
ta – cz
ęść
1 –
metody
i
praktyczne zasady – cd.
• Sporz
ą
dza si
ę
szablon tablicy
sił wewn
ę
trznych
, do której - dla ka
ż
dego przekroju my
ś
-
lowego wpisuje si
ę
dwuliterowy symbol strony lewej i prawej tego przekroju, maj
ą
cy na
pierwszym miejscu liter
ę
nadan
ą
punktowi osi nale
żą
cemu do tego przekroju, a na
drugim miejscu maj
ą
cy liter
ę
A
, gdy symbol dotyczy lewej strony przekroju my
ś
lowego,
albo liter
ę
B
– gdy symbol odnosi si
ę
do prawej strony tego przekroju.
Siła N
kN
BA
DB
DA
CB
CA
AB
Strona
przek-
roju
6
Ć
wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe
=
J
o
k
Przykład nr 2. – krok
2
aw. - Obliczenia i rysunek rozkładu
sił wewn
ę
trznych wzdłu
ż
nych
wzgl
ę
dem długo
ś
ci pr
ę
ta – cz
ęść
2 –
równania
sumy sił -
obja
ś
nienia
• Suma sił
lewej
strony przekroju my
ś
lowego - tj.
siła wewn
ę
trzna N
L
plus rzuty na o
ś
z
L
sił zew-
n
ę
trznych przyło
ż
onych
na lewo
od analizowa-
nego przekroju,
ale bez
siły zewn
ę
trznej
zaczepionej w punkcie osi pr
ę
ta przyna-
le
ż
nym do tego przekroju - jest równa
zero.
• Suma sił
prawej
strony przekroju my
ś
lowego - tj.
siła wewn
ę
trzna N
P
plus przuty na o
ś
z
P
-
sił zewn
ę
trznych przyło
ż
onych
na prawo
od analizowanego przekroju my
ś
lowego,
ale
bez
siły zewn
ę
trznej zaczepionej w punkcie osi pr
ę
ta przynale
ż
nym do
tego przekroju - jest równa zero.
• Składniki sumy sił
lewej
strony przekroju my
ś
lowego s
ą
dodatnie, gdy maj
ą
zwroty zgodne
ze zwrotem osi
z
L
.
• Składniki sumy sił
prawej
strony przekroju my
ś
lowego s
ą
dodatnie, gdy maj
ą
zwroty zgod-
ne ze zwrotem osi
z
P
.
4
7
Ć
wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe
=
J
o
k
Przykład nr 2. – krok
2
aw. - Obliczenia i rysunek rozkładu
sił wewn
ę
trznych wzdłu
ż
nych
wzgl
ę
dem długo
ś
ci pr
ę
ta – cz
ęść
3 – równania sumy sił -
obliczenia
1) Równania sumy sił dla
lewych
stron przek-
rojów my
ś
lowych w punktach
C
,
D
i
B
:
?
?
?
Siła N
kN
BA
DB
DA
CB
CA
AB
Strona
przekroju
kN
20
N
N
N
kN
10
N
N
N
kN
50
N
N
N
BA
BA
BA
DA
DA
DA
CA
CA
CA
−
=
⇒
−
+
−
=
⇒
=
+
−
+
=
⇒
+
−
=
⇒
=
−
+
−
=
⇒
−
=
⇒
=
+
P
P
R
0
P
P
R
P
R
0
P
R
R
0
R
2
1
2
1
1
1
2) Równania sumy sił dla
prawych
stron przek-
rojów my
ś
lowych w punktach
D, C
,
i
A
:
-20
BA
?
10
?
-50
?
Siła N
,
kN
DB
DA
CB
CA
AB
Strona
przekroj
u
kN
50
N
N
N
kN
10
N
N
N
kN
20
N
N
N
AB
AB
AB
CB
CB
CB
DB
DB
DB
−
=
⇒
−
+
−
=
⇒
=
+
−
+
=
⇒
+
−
=
⇒
=
−
+
−
=
⇒
−
=
⇒
=
+
P
P
P
0
P
P
P
P
P
0
P
P
P
0
P
1
2
3
1
2
3
2
3
2
3
3
3
8
Ć
wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe
=
J
o
k
Przykład nr 2. – krok
2
aw. - obliczenia i rysunek rozkładu
sił wewn
ę
trznych wzdłu
ż
nych
wzgl
ę
dem długo
ś
ci pr
ę
ta – cz
ęść
4 -
rysunek
rozkładu
sił wewn
ę
trznych
-20
BA
-20
10
10
-50
-50
Siła N
, kN
DB
DA
CB
CA
AB
Strona
przekroju
1) Zestawienie wyników oblicze
ń
w tablicy
sił wewn
ę
trznych
2) Zestawienie schematu sił zewn
ę
trznych
z wykresem rozkładu
sił wewn
ę
trznych
Z rysunku rozkładu
sił wewn
ę
trznych
wynika,
ż
e:
Koniec przykładu nr 2
• na odcinku a oraz na odcinku c
siła wewn
ę
trz-
na wzdłu
ż
na N
jest
ujemna
, co oznacza,
ż
e na
tych odcinkach pr
ę
t jest
ś
ciskany
,
• na odcinku b
siła wewn
ę
trzna wzdłu
ż
na N
jest
dodatnia
, co wskazuje,
ż
e na tym odcinku pr
ę
t
jest
rozci
ą
gany
.
5
Ć
wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 3. – Temat +
obja
ś
nienia
=
J
o
k
Dla pr
ę
ta okr
ą
głego, który ma pola przekrojów oraz
rozkład
siły wzdłu
ż
nej N
jak na rysunku obok,
-20
-20
10
10
-50
-50
Siła N
, kN
BA
DB
DA
CB
CA
AB
Strona
przekroju
Do oblicze
ń
przyj
ąć
zało
ż
enie,
ż
e
siła wewn
ę
trz-
na N
ma we wszystkich przekrojach pr
ę
ta jedno-
rodny rozkład po powierzchni tych przekrojów.
Krok
3
aw. – cz
ęść
1: Co to jest
napr
ęż
enie
?
Jest to wielko
ść
fizyczna definiowana w ogólnym
przypadku jako matematyczna pochodna funkcji
rozkładu wektora obci
ąż
enia wewn
ę
trznego po
powierzchni przekroju, dla którego to obci
ąż
enie
obliczono.
Gdy obci
ąż
eniem wewn
ę
trznym jest
siła wzdłu
ż
na N
normalna (prostopadła) do przekroju,
w którym działa, to powoduje
ona
w tym przekroju
napr
ęż
enie
nazywane
normalnym
, ozna-
czane zwykle greck
ą
liter
ą
σσσσ
(sigma).
Gdy ponadto
siła wzdłu
ż
na N
ma jednorodny rozkład po powierzchni A
przekroju, to powoduje ona
napr
ęż
enie normalne
opisane przez wzór:
(1)
A
N
=
σ
obliczy
ć
i narysowa
ć
rozkład
napr
ęż
e
ń
wzgl
ę
dem
długo
ś
ci tego pr
ę
ta (krok
3
aw.)
10
Ć
wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 3. – krok
3
aw. – cz
ęść
2 - tablica
napr
ęż
e
ń
=
J
o
k
Tablic
ę
napr
ęż
e
ń
sporz
ą
dza si
ę
przez doł
ą
czenie dwu wierszy do tablicy
sił wewn
ę
trznych
,
po czym wypełnia si
ę
j
ą
danymi i wynikami oblicze
ń
jak ni
ż
ej:
?
?
?
?
?
?
Napr
ęż
enie
σσσσ
, , , ,
MPa
4
4
3
3
5
5
Pole
przekroju
cm
2
-20
-20
10
10
-50
-50
Siła N
, kN
BA
DB
DA
CB
CA
AB
Strona
przekroju
Krok
3
aw. - cz
ęść
3 - obliczenie
napr
ęż
e
ń
MPa
33,3
MPa
33,3
MPa
100
MPa
100
DA
CB
CA
AB
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
−
=
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
=
−
=
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
=
Pa
10
33
,
3
10
3
10
10
A
N
Pa
10
33
,
3
10
3
10
10
A
N
Pa
10
10
10
5
10
50
A
N
Pa
10
10
10
5
10
50
A
N
7
4
-
3
DA
DA
7
4
-
3
CB
CB
7
4
-
3
CA
CA
7
4
-
3
AB
AB
σσσσ
σσσσ
σσσσ
σσσσ
MPa
50
MPa
50
BA
DB
−
=
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
=
−
=
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
=
Pa
10
5
10
4
10
20
A
N
Pa
10
5
10
4
10
20
A
N
7
4
-
3
BA
BA
7
4
-
3
DB
DB
σσσσ
σσσσ
6
11
Ć
wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 3. –krok
3
aw. – cz
ęść
4 - rysunek rozkładu
napr
ęż
e
ń
wzgl
ę
dem długo
ś
ci pr
ę
ta
=
J
o
k
.
-50
-50
33,3
33,3
-100
-100
Napr
ęż
enie
σσσσ
, , , ,
MPa
-20
-20
10
10
-50
-50
Siła N
, kN
BA
DB
DA
CB
CA
AB
Strona
przekroju
Z rysunku rozkładu
napr
ęż
e
ń
wynika,
ż
e:
• odcinki pr
ę
ta, którym odpowiada
napr
ęż
enie
ujemne
, s
ą
ś
ciskane
,
• odcinki pr
ę
ta, którym odpowiada
napr
ęż
enie
dodatnie
, s
ą
rozci
ą
gane
.
Koniec przykładu 3
Ć
wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 4. – Temat +
obja
ś
nienia
=
J
o
k
Pr
ę
t okr
ą
gły ma pola przekrojów,
obci
ąż
enia zewnetrz-
ne
oraz rozkład
napr
ęż
e
ń
jak na rysunku, przy czym na
odcinkach a i c ma materiał o module E
s
= 2,1·10
5
MPa,
a na odcinku b – materiał o module E
a
= 0,7 ·10
5
MPa.
Do oblicze
ń
przyj
ąć
,
ż
e
napr
ęż
enia
pr
ę
ta s
ą
mniejsze
od
granicy proporcjonalno
ś
ci
materiału pr
ę
ta.
1). Co to jest
granica proporcjonalno
ś
ci
materiału?
Jest to
ekstremalne
napr
ęż
enie
w materiale pr
ę
ta, które spowoduje
zmiany geometryczne
pr
ę
ta b
ę
d
ą
ce jeszcze
wprost proporcjonalne
do warto
ś
ci
napr
ęż
enia
.
(2)
E
L
L
i
i
i
i
σ
⋅
=
∆
Obliczy
ć
zmian
ę
długo
ś
ci
pr
ę
ta spowodowan
ą
przez
jego
obci
ąż
enia zewn
ę
trzne
(krok
4
analizy wytrzyma-
ło
ś
ciowej).
Krok
4
aw. – cz
ęść
1 -
obja
ś
nienia
2). Je
ż
eli
napr
ęż
enia
s
ą
mniejsze
od
granicy proporcjonalno
ś
ci
materiału pr
ę
ta, to pomi
ę
dzy
3). Całkowit
ą
zmian
ę
∆∆∆∆
L długo
ś
ci pr
ę
ta spowodowan
ą
przez odcinkowo
zmienne
napr
ęż
enia
σσσσ
i
tego pr
ę
ta oblicza si
ę
ze wzoru jak obok:
(3)
L
L
n
i
1
i
i
∑
∆
∆
=
=
=
zmian
ą
∆∆∆∆
L
i
długo
ś
ci
L
i
i-tego odcinka o module E
i
, a
napr
ęż
eniem
σσσσ
i
obliczonym dla i-tego odcinka, zachodzi nast
ę
puj
ą
ca zale
ż
no
ść
algeb-
raiczna (proste prawo Hooke’a):
7
13
Ć
wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 4.- krok
4
aw.- cz
ęść
2 -
tablica odcinkowych
zmian długo
ś
ci
pr
ę
ta +
obliczenia
=
J
o
k
T
ę
tablic
ę
sporz
ą
dza si
ę
w oparciu o rysunek rozkładu
napr
ęż
e
ń
wzgl
ę
dem długo
ś
ci pr
ę
ta,
mm
0,12
L
mm
0,24
L
mm
0,24
L
3
2
1
∆
∆
∆
−
=
⋅
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
−
=
⋅
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
m
10
0,12
10
10
2,1
)
10
(-50
0,5
E
σ
L
m
10
0,24
10
10
7
,
0
10
33,3
0,5
E
σ
L
m
10
0,24
10
10
2,1
)
10
(-100
0,5
E
σ
L
3
-
6
5
6
3
3
3
3
-
5
6
6
2
2
2
3
-
6
5
6
1
1
1
mm
0,12
L
−
=
−
+
−
=
=
∑
∆
=
=
3
i
1
i
i
12
,
0
24
,
0
24
,
0
L
∆∆∆∆
?
?
?
∆∆∆∆
L
i
, mm
2,1·10
5
0,7 ·10
5
2,1·10
5
E
i
, MPa
-50
33,3
-100
σσσσ
i
, MPa
0,4
0,5
0,5
L
i
, m
3
2
1
i
po czym wykonuje si
ę
obliczenia odcinkowych
zmian długo
ś
ci
∆∆∆∆
L
i
:
Obliczona warto
ść
∆∆∆∆
L informuje,
ż
e
obci
ąż
enia zewn
ę
trzne
działaj
ą
ce na pr
ę
t jak na rysunku,
spowoduj
ą
skrócenie
tego pr
ę
ta o ok. 0,12 mm.
Koniec przykładu 4
na przykład tak, jak poni
ż
ej:
Wtedy oblicza si
ę
całkowit
ą
zmian
ę
∆∆∆∆
L długo
ś
ci pr
ę
ta:
14
Ć
wiczenie T2 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 5. – Temat +
obja
ś
nienia
+
obliczenia
=
J
o
k
Pionowy pr
ę
t okr
ą
gły o stałym przekroju i obustronnym utwierdzeniu jak na ry-
sunku, doznał przyrostu temperatury
∆∆∆∆
T = 100°C.
Pr
ę
t stanowi przypadek statycznie niewyznaczalny, bo jego równania równo-
wagi statycznej nie wystarcz
ą
do obliczenia
siły zewn
ę
trznej
R spowodowa-
nej przyrostem temperatury
∆∆∆∆
T.
Sił
ę
R oblicza si
ę
z tzw. równania zgodno
ś
ci
przemieszcze
ń
:
czy
ć
spowodowane przyrostem
∆∆∆∆
T
napr
ęż
enia
σσσσ
T
,
siły wewn
ę
trzne
N
T
oraz
siły zewn
ę
trzne
R, je
ż
eli materiał pr
ę
ta ma moduł E = 2,1·10
5
MPa i współ-
czynnik rozszerzalno
ś
ci liniowej
α
αα
α
wynosz
ą
cy 1,2 ·10
-5
K
-1
.
0
L
L
R
T
=
∆
+
∆
Pomijaj
ą
c ci
ęż
ar pr
ę
ta, obli-
gdzie
∆∆∆∆
L
T
jest przyrostem długo
ś
ci pr
ę
ta, jaki spowodowałby przyrost
∆∆∆∆
T temperatury tego pr
ę
ta, gdyby miał on jeden koniec swobodny:
L
T
L
T
⋅
∆
⋅
α
=
∆
∆∆∆∆
L
R
jest skróceniem pr
ę
ta, jakie spowoduj
ą
jego
siły zewn
ę
trzne
R:
E
L
L
T
R
σ
⋅
=
∆
Krok
1
,
2
,
3
i
4
aw. - cz
ęść
2
- Obliczenia
kN
126
R
kN
126
-
N
MPa
252
T
T
=
=
=
⋅
−
=
⋅
⋅
⋅
−
σ
=
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
⇒
=
σ
⋅
+
⋅
⋅
α
−
−
−
=
⋅
α
−
=
N
N
10
126
10
5
10
252
10
2,1
100
10
1,2
E
∆
T
0
E
L
L
∆
T
T
3
4
6
T
5
5
T
A
σσσσ
Koniec przykładu nr 5
Krok
1
,
2
,
3
i
4
aw.- cz
ęść
1 -
obja
ś
nienia