1
Materiały dydaktyczne zawieraj
ą
ce 20 slajdów na 10 stronach,
dotycz
ą
ce
ć
wiczenia T5 z przedmiotu „Wytrzymało
ść
materiałów”,
przeznaczone
dla studentów II roku studiów I stopnia w kierunku „Energetyka”
na wydz. Energetyki i Paliw w AGH
Autor materiałów i osoba prowadz
ą
ca
ć
wiczenia:
Marek Płachno, dr hab. in
ż
., prof. AGH
Autor nie wyra
ż
a zgody na inne wykorzystywanie tych materiałów,
ni
ż
podane w ich przeznaczeniu.
Ć
wiczenie T5
Temat:
Obliczanie wytrzymało
ś
ciowe pr
ę
tów kołowych skr
ę
canych
Na
ć
wiczeniu T5 - na przykładzie pr
ę
tów skr
ę
canych - studenci poznaj
ą
praktycznie trzy
z sze
ś
ciu kroków obliczeniowych analizy wytrzymało
ś
ciowej (aw.) podanych na
ć
wiczeniu T2:
• krok 2 aw. – na
ć
wiczeniu T5 - dla oblicze
ń
rozkładu momentów
wewn
ę
trznych
po
dłu-
gosci
pr
ę
ta, powoduj
ą
cych
skr
ę
canie
swobodne
pr
ę
ta,
• krok 5 aw. – na
ć
wiczeniu T5
-
sprawdzanie
warunku
bezpiecze
ń
stwa
na
skr
ę
canie
dla
pr
ę
ta o przekroju
kołowym
,
• krok 6 aw. – na
ć
wiczeniu T5 - sprawdzanie
warunku
sztywno
ś
ci
na
skr
ę
canie
dla pr ta
o przekroju
kołowym
.
Przykład nr 1 –
Temat
2
Dla pr
ę
ta (
wału
) o schemacie zewn
ę
trznych momentów
obrotowych
M
1
,
M
2
i
M
3
jak na rysunku, na którym
M
1
i
M
2
to momenty
oporowe
, a
M
3
– to moment
nap
ę
-
dowy
, obliczy
ć
oraz narysowa
ć
wykres
rozkładu
po dłu-
go
ś
ci
wału
jego momentów
wewn
ę
trznych
skr
ę
caj
ą
-
cych
,
je
ż
eli
M
1
= M;
M
2
= 2M;
M
3
= 3M.
2
Wtedy - gdy mo
ż
na przyj
ąć
zało
ż
enie
-
ż
e decyduj
ą
cym czynnikiem
napr
ęż
e
ń
oraz
odkształce
ń
w materiale pr
ę
ta jest moment
wewn
ę
trzny
skr
ę
caj
ą
cy,
Takie
zało
ż
enie
spełniaj
ą
zwykle pr
ę
ty o przekroju
kołowym
, którymi s
ą
np.
wały
maszynowe
,
Kiedy
skr
ę
canie
pr
ę
ta mo
ż
na uwa
ż
a
ć
za
swobodne
?
obliczony dla poszczególnych przekrojów poprzecznych pr
ę
ta ze wzgl
ę
du na
momenty
zewn
ę
trzne
obrotowe
tego pr
ę
ta.
tj. pr
ę
ty przenosz
ą
ce -
oprócz
innych obci
ąż
e
ń
zewn
ę
trznych
-
tak
ż
e momenty
zewn
ę
trzne
obrotowe
powoduj
ą
ce
skr
ę
canie
swobodne
.
Ć
wiczenie T5 - praktyczna wskazówka
Zasada
analizy wytrzymało
ś
ciowej pr
ę
ta
skr
ę
canego
:
Skr
ę
canie
pr
ę
ta o przekroju
kołowym
uwa
ż
a si
ę
w analizie wytrzymało
ś
ciowej
za
skr
ę
canie
swobodne
.
2.
Ś
rodek długo
ś
ci
lewego
czopa wału oznacza si
ę
na
osi
wału
liter
ą
A,
ś
rodek dłu-
go
ś
ci
prawego
czopa
-
liter
ą
B,
natomiast
kolejnym punktom
osi
wału, w których
s
ą
przyło
ż
one momenty
zewn
ę
trzne
obrotowe,
przypisuje si
ę
nast
ę
pne litery al-
fabetu, np. C, D, E.
1. Jako parametry wyznaczanego
rozkładu
oblicza si
ę
momenty
wewn
ę
trzne
dla
lewej
i
prawej
strony
tylu
my
ś
lowych
przekrojów poprzecznych wału, do
ilu
punktów
osi
wału s
ą
przyło
ż
one momenty
zewn
ę
trzne
obrotowe.
3.
Lew
ą
i
praw
ą
stron
ę
ka
ż
dego
przekroju
my
ś
lowego
oznacza si
ę
dwuliterowym
symbolem, w którym na
pierwszym
miejscu jest
litera
przypisana do punktu
nale
żą
cego do
tego
przekroju, a na miejscu
drugim
jest
litera
A – gdy symbol
dotyczy
lewej
strony przekroju,
albo
litera
B - gdy symbol odnosi si
ę
do
prawej
strony tego przekroju.
Ć
wiczenie T5 – praktyczne zasady obliczania
rozkładu
momentów
wewn
ę
trznych
powoduj
ą
cych
skr
ę
canie
swobodne
pr
ę
ta - cz
ęść
1
3
1.
Suma
momentów - tj. moment
wewn
ę
trzny
działaj
ą
cy na
lewej
stronie przekroju
my
ś
lowego
plus
wszystkie
momenty
obrotowe
działaj
ą
ce na
lewo
od tego przekro-
ju, ale bez momentu
obrotowego
przynale
ż
nego do tego przekroju - jest
równa
zero
.
2.
Suma
momentów - tj. moment
wewn
ę
trzny
działaj
ą
cy na
prawej
stronie przekroju
my
ś
lowego
plus
wszystkie
momenty
obrotowe
działaj
ą
ce na
prawo
od tego przekro-
ju, ale bez momentu
obrotowego
przynale
ż
nego do tego przekroju - jest
równa
zero
.
3. Składniki
sumy
momentów obliczanej dla
lewej
i dla
prawej
strony
my
ś
lowego
przek-
roju s
ą
dodatnie
, gdy maj
ą
zwroty
zgodne
z momentami
M
s
na rysunkach poni
ż
ej:
Ć
wiczenie T5 – praktyczne zasady obliczania
rozkładu
momentów
wewn
ę
trznych
powoduj
ą
cych
skr
ę
canie
swobodne
pr
ę
ta - cz
ęść
2
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 1
Dla pr
ę
ta (wału) o schemacie momentów obrotowych
M
1
, M
2
i M
3
jak na rysunku, obliczy
ć
oraz narysowa
ć
wykres
rozkładu
po długo
ś
ci wału jego momentów
wewn
ę
trznych
skr
ę
caj
ą
cych
,
je
ż
eli M
1
= M; M
2
= 2M;
M
3
= 3M.
Trzy kroki obliczeniowe
:
1. Sporz
ą
dzenie tablicy
danych
z szablonem tablicy
wyników
oblicze
ń
oraz szablonu
wykresu
rozkładu
po długo
ś
ci wału jego momentów
wewn
ę
trznych
skr
ę
caj
ą
cych
.
2. Sformułowanie równa
ń
sumy
momentów,
rozwi
ą
zanie
tych równa
ń
oraz wpisanie
uzyskanych rozwi
ą
za
ń
do tablicy
wyników
.
3. Opracowanie
wykresu
rozkładu
po długo
ś
ci wału jego momentów
wewn
ę
trznych
skr
ę
caj
ą
cych
.
Temat
:
4
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 1
Dla pr
ę
ta (wału) o schemacie momentów obrotowych
M
1
, M
2
i M
3
jak na rysunku, obliczy
ć
oraz narysowa
ć
wykres
rozkładu
po długo
ś
ci wału jego momentów
wewn
ę
trznych
skr
ę
caj
ą
cych
,
je
ż
eli M
1
= M; M
2
= 2M;
M
3
= 3M.
?
M
EA
?
M
EB
?
M
BA
Dane
?
?
?
?
?
3M
2M
M
M
DB
M
DA
M
CB
M
CA
M
AB
M
3
M
2
M
1
Wyniki oblicze
ń
Krok 1: Sporz
ą
dzenie tablicy
danych
z szablonem tab-
licy
wyników
oblicze
ń
oraz szablonu wykresu
rozkładu
po długo
ś
ci wału jego momentów
wewn
ę
trznych
skr
ę
caj
ą
cych
.
Temat
:
Tablica
danych
z szablonem tablicy
wyników
oblicze
ń
Szablon wykresu
rozkładu
po
długo
ś
ci wału jego momentów
skr
ę
caj
ą
cych
7
8
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 1
Dla pr
ę
ta (wału) o schemacie momentów obrotowych M
1
, M
2
i M
3
jak na rysunku, obliczy
ć
oraz narysowa
ć
wykres
rozkła-
du
po długo
ś
ci wału jego momentów
wewn
ę
trznych
skr
ę
-
caj
ą
cych
,
je
ż
eli M
1
= M; M
2
= 2M; M
3
= 3M.
Krok 2. Sformułowanie równa
ń
sumy
momentów,
rozwi
ą
zanie
1) Równania
sumy
momentów dla
lewych
stron przekrojów w punktach C, D, E i B:
0.
M
3M
M
M
M
0
M
BA
EA
DA
CA
=
+
−
−
=
⇒
=
−
+
+
−
=
−
−
=
⇒
=
+
+
−
=
−
=
⇒
=
+
=
⇒
=
+
3
2
1
3
2
1
BA
2
1
2
1
EA
1
1
DA
CA
M
M
M
0
M
M
M
M
,
M
M
0
M
M
M
,
M
0
M
M
,
0
0
M
2) Równania
sumy
momentów dla
lewych
stron przekrojów w punktach A, C, D i E:
.
0
M
3M
M
M
M
0
M
EB
DB
CB
AB
=
⇒
=
+
=
−
=
⇒
=
+
−
=
−
=
⇒
=
+
−
=
−
+
=
⇒
=
+
−
−
0
0
M
,
-
M
0
M
M
,
M
M
0
M
M
M
,
M
M
M
0
M
M
M
M
EB
3
3
DB
3
2
3
2
CB
3
2
1
3
2
1
AB
0
0
-3M
-3M
- M
- M
0
0
3M
2M
M
M
BA
M
EB
M
EA
M
DB
M
DA
M
CB
M
CA
M
AB
M
3
M
2
M
1
Wyniki oblicze
ń
Dane
tych równa
ń
oraz wpisanie uzyskanych rozwi
ą
za
ń
do tablicy
wyników
.
Temat
:
5
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 1
-3M
M
EA
0
M
EB
0
M
BA
Dane
-3M
- M
- M
0
0
3M
2M
M
M
DB
M
DA
M
CB
M
CA
M
AB
M
3
M
2
M
1
Wyniki oblicze
ń
Krok 3: Opracowanie
wykresu
rozkładu
po długo
ś
ci wału
jego momentów
wewn
ę
trznych
skr
ę
caj
ą
cych
.
Temat
:
Dla pr
ę
ta (wału) o schemacie momentów obrotowych M
1
, M
2
i M
3
jak na rysunku, obliczy
ć
oraz narysowa
ć
wykres
rozkła-
du
po długo
ś
ci wału jego momentów
wewn
ę
trznych
skr
ę
ca-
j
ą
cych
,
je
ż
eli M
1
= M; M
2
= 2M; M
3
= 3M.
Wykres
rozkładu
po długo
ś
ci
wału jego momentów
skr
ę
caj
ą
cych
Wnioski
wynikaj
ą
ce z
wykresu:
1. W przekrojach wału usytuowanych na zewn
ą
trz płaszczyzn
działania momentów obrotowych M
1
i M
3
, moment
wew-
n
ę
trzny
skr
ę
caj
ą
cy
wał jest równy
zero
.
2.
Ekstremalny
moment
wewn
ę
trzny
skr
ę
caj
ą
cy
obci
ąż
a wał
nie
tylko na odcinku o
najwi
ę
kszej
ś
rednicy
d
3
,
ale
tak
ż
e
na odcinku o
ś
rednicy
d
2
mniejszej
od
ś
rednicy
d
3
.
9
10
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 2
Sprawdzi
ć
warunek
bezpiecze
ń
stwa
oraz
warunek
sztywno
ś
ci
na
skr
ę
canie
wału z przykładu nr 1, je
ż
eli:
M = 2 kNm, a = 0,2 m, b = 0,6 m, c = 0,5 m, d = 0,4 m,
e = 0,3 m, d
1
= 50 mm, d
2
= 65 mm, d
3
= 100 mm, napr
ę
-
ż
enie dopuszczalne na
skr
ę
canie
k
s
= 120 MPa, dopusz-
czalny k
ą
t
skr
ę
tu
ןφ
dop
ן
= 0,1°, E = 2,1·10
5
MPa,
ν
ν
ν
ν
=0,3.
Nowe
poj
ę
cia dotycz
ą
ce przykładu nr 2:
1.
Wska
ź
nik
wytrzymało
ś
ci
przekroju kołowego na
skr
ę
-
canie
.
2.
Rozkład
napr
ęż
e
ń
stycznych
w przekroju okr
ą
głym
pr
ę
ta spowodowanych momentem
wewn
ę
trznym
skr
ę
-
caj
ą
cym obliczonym dla takiego przekroju.
3.
Definicja
fizyczna i
algebraiczna
warunku
bezpiecze
ń
stwa
na
skr
ę
canie
pr
ę
ta o
stałym
albo o
zmiennym
odcinkowo momencie
wewn
ę
trznym
skr
ę
caj
ą
cym i przekroju kołowym.
4.
Definicja
fizyczna i
algebraiczna
warunku
sztywno
ś
ci
na skr
ę
canie
pr
ę
ta, który ma
stałe
albo
zmienne
odcinkowo: moment
wewn
ę
trzny
skr
ę
caj
ą
cy, przekrój kołowy oraz własno
ś
ci
spr
ęż
yste materiału.
Temat
:
6
11
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 2
Sprawdzi
ć
warunek
bezpiecze
ń
stwa
oraz
warunek
sztywno
ś
ci
na
skr
ę
canie
wału z przykładu nr 1, je
ż
eli:
M = 2 kNm, a = 0,2 m, b = 0,6 m, c = 0,5 m, d = 0,4 m,
e = 0,3 m, d
1
= 50 mm, d
2
= 65 mm, d
3
= 100 mm, napr
ę
-
ż
enie dopuszczalne na
skr
ę
canie
k
s
= 120 MPa, dopusz-
czalny k
ą
t
skr
ę
tu
l
φ
dop
l = 0,1°, E = 2,1·10
5
MPa,
ν
ν
ν
ν
=0,3.
Sze
ść
kroków
post
ę
powania
obliczeniowego
:
1.
Zestawienie
wzorów do oblicze
ń
.
2.
Tablica
danych do oblicze
ń
.
3.
Szablon
tablicy
wyników
oblicze
ń
.
4.
Obliczenie
parametrów
warunku
bezpiecze
ń
stwa
na
5.
Obliczenie
parametrów
warunku
sztywno
ś
ci
na
skr
ę
canie
analizowanego wału oraz wpi-
sanie tych parametrów do tablicy
wyników
.
6.
Sprawdzenie
warunku
bezpiecze
ń
stwa
oraz
warunku
sztywno
ś
ci
na
skr
ę
canie
analizo-
wanego wału.
skr
ę
canie
analizowanego wału oraz wpisanie tych parametrów do tablicy
wyników
.
Temat
:
12
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 2
Sprawdzi
ć
warunek
bezpiecze
ń
stwa
oraz
warunek
sztywno
ś
ci
na
skr
ę
canie
wału z przykładu nr 1, je
ż
eli:
M = 2 kNm, a = 0,2 m, b = 0,6 m, c = 0,5 m, d = 0,4 m,
e = 0,3 m, d
1
= 50 mm, d
2
= 65 mm, d
3
= 100 mm, napr
ę
-
ż
enie dopuszczalne na
skr
ę
canie
k
s
= 120 MPa, dopusz-
czalny k
ą
t
skr
ę
tu
l
φ
dop
l = 0,1°, E = 2,1·10
5
MPa,
ν
ν
ν
ν
=0,3.
Krok 1.
Zestawienie
wzorów do oblicze
ń
.
Cz
ęść
1 -
Warunek
bezpiecze
ń
stwa
na
skr
ę
canie
anali-
zowanego wału, maj
ą
cego
zmienny
odcinkowo zarówno
moment
wewn
ę
trzny
skr
ę
caj
ą
cy, jak i przekrój kołowy.
[ ]
4
3,
2,
1,
n
,
)
d
(
2
,
0
16
)
d
(
W
,
k
W
M
max
max
3
n
j
3
n
j
on
s
on
sn
sn
max
s
=
⋅
≈
π
=
≤
=
=
τ
τ
M
sn
- moment
wewn
ę
trzny
skr
ę
caj
ą
cy odczytany
z wykresu jw. dla n-tego odcinka wału,
W
on
- wska
ź
nik przekroju kołowego obliczony dla
n-tego odcinka analizowanego wału,
d
j
n
–
ś
rednica d
1
, d
2
lub d
3
wału o schemacie jw., brana do oblicze
ń
wska
ź
nika W
on
.
Temat
:
12
7
13
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 2
Sprawdzi
ć
warunek
bezpiecze
ń
stwa
oraz
warunek
sztywno
ś
ci
na
skr
ę
canie
wału z przykładu nr 1, je
ż
eli:
M = 2 kNm, a = 0,2 m, b = 0,6 m, c = 0,5 m, d = 0,4 m,
e = 0,3 m, d
1
= 50 mm, d
2
= 65 mm, d
3
= 100 mm, napr
ę
-
ż
enie dopuszczalne na
skr
ę
canie
k
s
= 120 MPa, dopusz-
czalny k
ą
t
skr
ę
tu
l
φ
dop
l = 0,1°, E = 2,1·10
5
MPa,
ν
ν
ν
ν
=0,3.
Krok 1.
Zestawienie
wzorów do oblicze
ń
.
Cz
ęść
2 -
Warunek
sztywno
ś
ci
na
skr
ę
canie
analizowa-
nego wału, maj
ą
cego
zmienny
odcinkowo zarówno mo-
ment
wewn
ę
trzny
skr
ę
caj
ą
cy, jak i przekrój kołowy.
[ ]
4
3,
2,
1,
n
,
)
2(1
E
G
4,
3,
2,
1,
n
,
)
d
(
1
,
0
32
)
d
(
J
J
G
L
M
3
,
57
n
n
n
4
n
j
4
n
j
on
dop
4
n
1
n
on
n
n
sn
4
n
1
n
c
c
=
ν
+
=
=
⋅
≈
π
=
≤
⋅
⋅
⋅
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
∑
∑
=
=
=
=
o
L
n
– długo
ść
n-tego odcinka analizowanego wału,
J
on
– biegunowy moment bezwładno
ś
ci przekroju
kołowego obliczony dla n-tego odcinka wału,
G
n
- moduł spr
ęż
ysto
ś
ci postaciowej obliczony
dla n-tego odcinka wału.
Temat
:
14
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 2
Sprawdzi
ć
warunek
bezpiecze
ń
stwa
oraz
warunek
sztywno
ś
ci
na
skr
ę
canie
wału z przykładu nr 1, je
ż
eli:
M = 2 kNm, a = 0,2 m, b = 0,6 m, c = 0,5 m, d = 0,4 m,
e = 0,3 m, d
1
= 50 mm, d
2
= 65 mm, d
3
= 100 mm, napr
ę
-
ż
enie dopuszczalne na
skr
ę
canie
k
s
= 120 MPa, dopusz-
czalny k
ą
t
skr
ę
tu
l
φ
dop
l = 0,1°, E = 2,1·10
5
MPa,
ν
ν
ν
ν
=0,3.
Krok 2.
Tablica
danych do oblicze
ń
.
νννν
4
νννν
3
νννν
2
νννν
1
νννν
n
0,3
0,3
0,3
0,3
M
s4
M
s3
M
s2
M
s1
M
sn
,
kNm
-6
-6
-2
-2
0,20
0,25
0,25
0,30
L
4
L
3
L
2
L
1
L
n
,
m
2,1·10
5
2,1·10
5
2,1·10
5
2,1·10
5
E
4
E
3
E
2
E
1
E
n
,
MPa
100
65
65
50
d
34
d
23
d
22
d
11
d
jn
,
mm
4
3
2
1
n
Temat
:
8
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 2
Krok 3.
Szablon
tablicy
wyników
oblicze
ń
?
?
?
?
φ
4
φ
3
φ
2
φ
1
φ
n
,
°
?
?
?
?
G
4
G
3
G
2
G
1
G
n
,
MPa
?
?
?
?
J
o4
J
o3
J
o2
J
o1
J
on
,
cm
4
?
?
?
?
ττττ
s3
ττττ
s3
ττττ
s2
ττττ
s1
ττττ
sn,
MPa
?
?
?
?
W
o4
W
o3
W
o2
W
o1
W
on
,
cm
3
4
3
2
1
n
[ ]
4,
3,
2,
1,
n
)
1
(
2
E
G
,
)
d
(
1
,
0
32
)
d
(
J
J
G
L
M
3
,
57
n
n
n
4
n
j
4
n
j
on
dop
4
n
1
n
on
n
n
sn
4
n
1
n
c
c
=
ν
+
=
⋅
≈
π
=
≤
⋅
⋅
⋅
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
∑
∑
=
=
=
=
o
[ ]
4
3,
2,
1,
n
,
)
d
(
2
,
0
16
)
d
(
W
,
k
W
M
max
max
3
n
j
3
n
j
on
s
on
sn
sn
max
s
=
⋅
≈
π
=
≤
=
=
τ
τ
16
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 2
Krok 4 -
Obliczenie
parametrów
warunku
bezpiecze
ń
stwa
na
skr
ę
canie
analizowanego wału
oraz wpisanie tych parametrów do tablicy
wyników
.
4
3,
2,
1,
n
,
)
d
(
2
,
0
16
)
d
(
W
3
jn
3
jn
on
=
⋅
≈
π
=
Cz
ęść
1 -
Wska
ź
niki
przekrojów analizowanego wału na
skr
ę
canie
dla jego odcinków 1, 2, 3 i 4
100
65
65
50
d
34
d
23
d
22
d
11
d
jn
,
mm
4
3
2
1
n
Wzór do
oblicze
ń
:
Parametry
podstawiane
do wzoru:
Obliczenia
i ich
wyniki
:
3
o4
3
o3
3
o2
3
o1
cm
200,0
W
cm
54,9
W
cm
54,9
W
cm
25,0
W
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
−
−
−
−
3
6
3
3
-
3
34
3
6
3
3
-
3
23
3
6
3
3
-
3
22
3
6
3
-3
3
11
m
10
0
,
200
)
10
(100
0,2
)
d
(
2
,
0
m
10
9
,
54
)
10
(65
0,2
)
d
(
2
,
0
m
10
9
,
54
)
10
(65
0,2
)
d
(
2
,
0
m
10
0
,
25
)
10
(50
0,2
)
d
(
2
,
0
200,0
54,9
54,9
25,0
W
o4
W
o3
W
o2
W
o1
W
on
,
cm
3
4
3
2
1
n
9
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 2
Krok 4 -
Obliczenie
parametrów warunku
bezpiecze
ń
stwa
na
skr
ę
canie
analizowanego wału
oraz wpisanie tych parametrów do tablicy
wyników.
Cz
ęść
2 –
Napr
ęż
enia
ττττ
sn
Wzór do
oblicze
ń
:
Parametry
podstawiane
do wzoru:
Obliczenia
i ich
wyniki
:
200,0
54,9
54,9
25,0
W
o4
W
o3
W
o2
W
o1
W
on
,
cm
3
4
3
2
1
n
4,
3,
2,
1,
n
,
W
M
on
sn
s
=
=
τ
-6
-6
-2
-2
M
s4
M
s3
M
s2
M
s1
M
sn
,
kNm
4
3
2
1
n
,
Pa
10
4
,
36
10
9
,
54
10
2
W
M
,
Pa
10
80
10
25
10
2
W
M
6
6
3
o1
s2
6
6
3
o1
s1
MPa
36,4
MPa
80
s2
s1
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
−
−
ττττ
ττττ
MPa.
30
MPa
109,3
s4
s3
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
−
−
Pa
10
30
10
200
10
6
W
M
,
Pa
10
3
,
109
10
9
,
54
10
6
W
M
6
6
3
o4
s4
6
6
3
o3
s3
ττττ
ττττ
30
109,3
36,4
80
ττττ
s3
ττττ
s3
ττττ
s2
ττττ
s1
ττττ
sn
,
MPa
4
3
2
1
n
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 2
Krok 5 -
Obliczenie
parametrów
warunku
sztywno
ś
ci
na
skr
ę
canie
analizowanego wału oraz
wpisanie tych parametrów do tablicy
wyników
Cz
ęść
1 –
Biegunowe
momenty
bezwładno
ś
ci przekrojów wału
u
u
u dla jego odcinków 1, 2, 3 i 4
100
65
65
50
d
34
d
23
d
22
d
11
d
jn
,
mm
4
3
2
1
n
Wzór do
oblicze
ń
:
Parametry
podstawiane
do wzoru:
Obliczenia
i ich
wyniki
:
4
4
o4
4
o3
4
o2
4
o1
cm
10
J
cm
1785
J
cm
1785
J
cm
625
J
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
−
−
−
−
3
8
4
3
-
4
34
3
8
4
3
-
4
23
4
8
4
3
-
4
22
4
8
4
-3
4
11
m
10
10000
)
10
(100
0,1
)
d
(
1
,
0
m
10
1785
)
10
(65
0,1
)
d
(
1
,
0
m
10
1785
)
10
(65
0,1
)
d
(
1
,
0
m
10
625
)
10
(50
0,1
)
d
(
1
,
0
10000
1785
1785
625
W
o4
W
o3
W
o2
W
o1
J
on
,
cm
4
4
3
2
1
n
4
3,
2,
1,
n
,
)
d
(
1
,
0
32
)
d
(
J
4
n
j
4
n
j
on
=
⋅
≈
π
=
10
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 2
Krok 5 -
Obliczenie
parametrów
warunku
sztywno
ś
ci
na
skr
ę
canie
analizowanego wału oraz
wpisanie tych parametrów do tablicy
wyników
Cz
ęść
2 –
moduł
spr
ęż
ysto
ś
ci
postaciowej
G:
Wzór do
oblicze
ń
:
Dane do
oblicze
ń
:
Wynik
oblicze
ń
:
,
)
2(1
E
G
n
n
n
ν
+
=
E
n
= 2,1·10
5
MPa,
νννν
n
= 0,3
MPa
10
0,96
G
5
n
)
3
,
0
2(1
10
2,1
5
⋅
=
+
⋅
=
Cz
ęść
3 – k
ą
ty
skr
ę
cenia
φ
n
:
Wzór do
oblicze
ń
:
[ ]
on
n
n
sn
n
J
G
L
M
3
,
57
⋅
⋅
⋅
=
ϕ
o
Parametry podstawiane do wzoru:
J
o4
J
o3
J
o2
J
o1
J
on
,
cm
4
10000
1785
1785
625,0
G
4
G
3
G
2
G
1
G
n
,
MPa
96·10
7
96·10
7
96·10
7
96·10
7
-6
-6
-2
-2
M
s4
M
s3
M
s2
M
s1
M
sn
,
kNm
0,20
0,25
0,25
0,30
L
4
L
3
L
2
L
1
L
n
,
m
4
3
2
1
n
.
0,007
0,050
0,017
0,057
4
3
2
1
o
o
o
o
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
−
−
−
−
8
6
5
3
4
o
4
4
s4
8
6
5
3
3
o
3
3
s3
8
6
5
3
2
o
2
2
s2
8
6
5
3
1
o
1
1
s1
10
1785
10
10
96
,
0
20
,
0
10
6
3
,
57
J
G
L
M
3
,
57
,
10
1785
10
10
96
,
0
25
,
0
10
6
3
,
57
J
G
L
M
3
,
57
,
10
1785
10
10
96
,
0
25
,
0
10
2
3
,
57
J
G
L
M
3
,
57
,
10
625
10
10
96
,
0
3
,
0
10
2
3
,
57
J
G
L
M
3
,
57
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
Obliczenia
i
wyniki
oblicze
ń
:
Ć
wiczenie T 5 - Przykład nr 2
Krok 6 -
Sprawdzenie
warunku
bezpiecze
ń
stwa
oraz
warunku
sztywno
ś
ci
na
skr
ę
canie
wału:
Tablica danych do oblicze
ń
Tablica wyników oblicze
ń
0,3
0,3
0,3
0,3
νννν
4
νννν
3
νννν
2
νννν
1
νννν
n
-6
-6
-2
-2
M
s4
M
s3
M
s2
M
s1
M
sn
,
kNm
0,20
0,25
0,25
0,30
L
4
L
3
L
2
L
1
L
n
,
m
2,1·10
5
2,1·10
5
2,1·10
5
2,1·10
5
E
4
E
3
E
2
E
1
E
n
,
MPa
100
65
65
50
d
34
d
23
d
22
d
11
d
jn
,
mm
4
3
2
1
n
-0,007
-0,050
-0,017
-0,057
φ
4
φ
3
φ
2
φ
1
φ
n
,
°
96·10
7
96·10
7
96·10
7
96·10
7
G
4
G
3
G
2
G
1
G
n
,
MPa
10000
1785
1785
625,0
J
o4
J
o3
J
o2
J
o1
J
on
,
cm
4
30
109,3
36,4
80
ττττ
s3
ττττ
s3
ττττ
s2
ττττ
s1
ττττ
sn
,
MPa
200,0
54,9
54,9
25,0
W
o4
W
o3
W
o2
W
o1
W
on
,
cm
3
4
3
2
1
n
[ ]
[
]
MPa
125
k
MPa
109,3
max
s
sn
smax
=
<
=
=
=
=
30
109,3;
;
4
,
36
;
80
max
ττττ
τ
Warunek bezpiecze
ń
stwa wału
na skr
ę
canie
jest spełniony
►
007
,
0
050
,
0
017
,
0
057
,
0
4
n
1
n
c
c
o
o
o
o
o
o
0,1
0,131
dop
=
>
=
=
−
−
−
−
=
=
∑
=
=
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
►
Warunek sztywno
ś
ci wału
na skr
ę
canie
nie jest spełniony
20