1
1
Materiały dydaktyczne zawieraj
ą
ce 15 slajdów na 8 stronach,
dotycz
ą
ce
ć
wiczenia T1 z przedmiotu „Wytrzymało
ść
materiałów”,
przeznaczone
dla studentów II roku studiów I – stopnia w kierunku „Energetyka”
na wydz. Energetyki i Paliw w AGH
Autor materiałów i osoba prowadz
ą
ca
ć
wiczenia:
Marek Płachno, dr hab. in
ż
., prof. AGH
Autor nie wyra
ż
a zgody na inne wykorzystywanie tych materiałów,
ni
ż
podane w ich przeznaczeniu.
2
Ć
wiczenie T1
Temat
ć
wiczenia : Obliczanie parametrów geometrycznych dla figur
płaskich odwzorowuj
ą
cych przekroje poprzeczne pr
ę
tów
1. Podstawowe poj
ę
cia:
• pr
ę
t
: model geometryczny elementów konstrukcyjnych, które najcz
ęś
ciej wyma-
gaj
ą
analizy wytrzymało
ś
ciowej,
• definicja geometryczna pr
ę
ta
: bryła, która ma długo
ść
znacznie wi
ę
ksz
ą
od in-
nych wymiarów tej bryły, utworzona przez figur
ę
płask
ą
wskutek ruchu jej
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci wzdłu
ż
pewnej linii w taki sposób,
ż
e figura płaska jest
prostopadła do tej linii na całej długo
ś
ci bryły,
• przekrój poprzeczny pr
ę
ta
: figura płaska z definicji geometrycznej pr
ę
ta,
• o
ś
pr
ę
ta
: linia z definicji geometrycznej pr
ę
ta.
2
3
Ć
wiczenie T1
2. Parametry geometryczne (parametry) przekrojów poprzecznych pr
ę
ta
najcz
ęś
ciej obliczane
• pole przekroju
: powierzchnia przekroju wypełniona materiałem pr
ę
ta,
•
ś
rodek ci
ęż
ko
ś
ci przekroju
:
ś
rodek ci
ęż
ko
ś
ci powierzchni przekroju wypełnionej
materiałem pr
ę
ta,
• osiowy moment bezwładno
ś
ci przekroju
: moment bezwładno
ś
ci przekroju obli-
czony wzgl
ę
dem jednej z dwu głównych centralnych osi bezw-
ładno
ś
ci tego przekroju,
• biegunowy moment bezwładno
ś
ci przekroju
: suma dwu osiowych momentów
bezwładno
ś
ci przekroju obliczonych dla dwu głównych central-
nych osi bezwładno
ś
ci tego przekroju.
Ć
wiczenie T1
3.
Parametry
dwusymetrycznych
przekrojów pr
ę
tów
Przekroje
dwusymetryczne
, to przekroje,
które maj
ą
dwie osie symetrii
, na przykład:
Osiowe momenty bezwładno
ś
ci
takich przekrojów oblicza si
ę
z nast
ę
puj
ą
cych wzorów:
Ka
ż
dy z tych przekrojów ma
ś
rodek ci
ęż
-
ko
ś
ci
w punkcie przeci
ę
cia si
ę
osi symetrii
,
z których ka
ż
da jest
główn
ą
centraln
ą
osi
ą
bezwładno
ś
ci
tego przekroju.
• dla przekroju
kołowego:
=
J
o
k
(1)
4
)
A
(
J
2
π
⋅
=
φ
φ
A
φφφφ
- powierzchnia przekroju kołowego,
• dla przekroju
kwadratowego:
(2)
12
)
A
(
J
2
k
k
=
A
k
- powierzchnia przekroju kwadratowego,
• dla przekroju
prostok
ą
tnego:
(3)
12
A
a
J
p
2
pa
⋅
=
A
p
- powierzchnia przekroju prostok
ą
tnego o bokach a, b,
(4)
12
A
b
J
p
2
pb
⋅
=
J
pa
-
osiowy moment bezwładno
ś
ci
wzgl
ę
dem
osi symetrii
prostok
ą
ta prostopadłej do boku a,
J
pb
-
osiowy moment bezwładno
ś
ci
wzgl
ę
dem
osi symetrii
prostok
ą
ta prostopadłej do boku b.
4
3
5
Ć
wiczenie T1
4.
Parametry
kształtowych
przekrojów pr
ę
tów
Przekroje
kształtowe
, to przekroje pr
ę
tów
hutniczych o nazwach:
ceowniki
,
k
ą
towni-
ki
,
dwuteowniki, teowniki, zetowniki
itp.:
Parametry przekrojów kształtowych, ta-
kie jak
powierzchnia
F
,
odległo
ś
ci
e
ś
rod-
ka ci
ęż
ko
ś
ci przekroju kształtowego od
=
J
o
k
głównych centralnych osi bezwładno
ś
ci takiego przekroju
nie b
ę
d
ą
cych
jego
osiami sy-
metrii
, a tak
ż
e
osiowe momenty bezwładno
ś
ci
J
x
,
J
y
- s
ą
podawane w przedmiotowych
normach wyrobów hutniczych.
75
mm
s
148
1910
32,2
2,01
200
cm
4
cm
4
cm
2
cm
mm
J
y
J
x
F
e
h
Wypis z normy PN-H-93400:2003 dla ceownika C200
6
Ć
wiczenie T1
5. Obliczanie
parametrów
przekrojów
zło
ż
onych
Przekroje
zło
ż
one
, to przekroje utworzone z figur płaskich maj
ą
cych swoje parametry okre
ś
-
lone przez dost
ę
pne wzory b
ą
d
ź
normy, np. normy wyrobów hutniczych:
=
J
o
k
Poniewa
ż
przekroje
zło
ż
one
maj
ą
zwykle jedn
ą
o
ś
symetrii
, to do
wyznaczenia
parametrów
takich
przekrojów wystarcz
ą
najcz
ęś
ciej
nast
ę
puj
ą
ce
kroki obliczeniowe
:
1
. Sporz
ą
dzi
ć
szablon tablicy dla zadanego przekroju
zło
ż
onego
.
2
. Na planie zadanego przekroju narysowa
ć
taki prostok
ą
tny układ osi
x
,
y
o
lub
x
o
,
y
, aby
jedna o
ś
- oznaczona jako
x
lub
y
- pokrywała si
ę
z
osi
ą
symetrii
przekroju (b
ę
dzie wtedy
jego
główn
ą
centraln
ą
osi
ą
bezwładno
ś
ci
), oraz aby druga o
ś
- oznaczona przez
x
o
lub
y
o
, przebiegała wzdłu
ż
lewej albo dolnej kraw
ę
dzi zadanego przekroju .
3
. Wpisa
ć
do tablicy zadanego przekroju te
parametry
, które mo
ż
na odczyta
ć
z planu tego
przekroju, obliczy
ć
z dost
ę
pnych wzorów, b
ą
d
ź
wypisa
ć
z wła
ś
ciwych norm.
4
. Dla zadanego przekroju sformułowa
ć
równanie momentów statycznych oraz rozwi
ą
za
ć
je
ze wzgl
ę
du na niewiadom
ą
, któr
ą
jest
nieznany parametr
zadanego przekroju.
5
. Narysowa
ć
na planie zadanego przekroju jego drug
ą
główn
ą
centraln
ą
o
ś
bezwładno
ś
ci
oraz obliczy
ć
pozostałe
parametry
wyszczególnione w tablicy tego przekroju.
4
Ć
wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 1. –
Temat
+ krok obliczeniowy
1
.
=
J
o
k
Dla zadanego przekroju zło
ż
onego, który ma plan jak na rys.1.1,
wyznaczy
ć
poło
ż
enie
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci i głównych centralnych
osi bezwładno
ś
ci oraz momenty bezwładno
ś
ci tego przekroju
.
1
. Szablon tablicy zadanego przekroju: .
cm
e
φφφφ
y
cm
2
A
φφφφ
cm
b
cm
a
cm
e
px
Prostok
ą
t obrysu
cm
e
py
cm
4
J
pb
cm
4
J
pa
cm
2
A
p
cm
4
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
4
cm
cm
J
y
J
x
A
c
L
c
D
J
φφφφ
e
φφφφ
x
d
Zadany przekrój
Koło otworu
a, b, A
p
, J
pa
, J
pb
– kolejno: długo
ś
ci boków, powierzchnia oraz momenty bezwładno
ś
ci obliczo-
ne za pomoc
ą
wzorów (3) i (4) dla prostok
ą
ta obrysu przynale
ż
nego do zadanego przekroju,
d, A
φφφφ
, J
φφφφ
– kolejno
ś
rednica, powierzchnia oraz moment bezwładno
ś
ci obliczony ze wzoru (1)
dla koła otworu przynale
ż
nego do zadanego przekroju,
c
D
, c
L
– odległo
ść ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci zadanego przekroju od jego kraw
ę
dzi dolnej i lewej,
A, J
x
, J
y
–
pole
zadanego przekroju i jego osiowe główne centralne
momenty bezwładno
ś
ci
.
e
p
x
, e
py
, e
φφφφ
x
, e
φφφφ
y
– odległo
ś
ci
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci prostok
ą
ta obrysu (indeks p) oraz koła otworu
(indeks
φφφφ
) – od
głównych centralnych osi bezwładno
ś
ci
zadanego przekroju, tj. od jego
osi
x
(indeks x) oraz osi
y
(indeks y),
7
8
Ć
wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 1. – kroki obliczeniowe
2 i 3
.
=
J
o
k
2
. Narysowa
ć
na planie zadanego przekroju prostok
ą
tny układ osi
x
,
y
o
lub
x
o
,
y
A
-
A
A
,
4
)
A
(
J
,
12
A
b
J
,
12
A
a
J
p
2
p
2
pb
p
2
pa
φ
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
π
φ
φ
3
. Wpisa
ć
do tablicy zadanego przekroju te parametry, które mo
ż
na odczyta
ć
z planu
tego przekroju, obliczy
ć
z dost
ę
pnych wzorów b
ą
d
ź
wypisa
ć
z wła
ś
ciwych norm
.
?
?
38,4
?
3,0
12,6
12,6
?
0
4,0
307,0
153,0
51,0
?
0
8,5
6,0
cm
4
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
cm
4
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
cm
J
y
J
x
A
c
L
c
D
J
φφφφ
A
φφφφ
e
φφφφ
y
e
φφφφ
x
d
J
pb
J
pa
A
p
e
py
e
px
b
a
Zadany przekrój
Koło otworu
Prostok
ą
t obrysu
5
Ć
wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 1. – krok obliczeniowy
4
– cz
ęść
4.1
=
J
o
k
4
. Dla zadanego przekroju sformułowa
ć
równanie momentów statycznych oraz rozwi
ą
za
ć
je
ze wzgl
ę
du na niewiadom
ą
, któr
ą
jest
nieznany parametr
zadanego przekroju.
4.1.
Praktyczne definicje:
• Moment statyczny figury płaskiej wzgl
ę
dem wskazanej osi prostok
ą
tnego układu współrz
ę
d-
nych jest
iloczynem powierzchni figury
oraz
tej współrz
ę
dnej
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci figury,
której warto
ść
bezwzgl
ę
dna okre
ś
la odległo
ść
tego
ś
rodka od wskazanej osi.
•
Moment statyczny zadanego przekroju wzgl
ę
dem osi nie b
ę
d
ą
cej jego osi
ą
symetrii jest
ilo-
czynem pola
zadanego przekroju oraz
tej współrz
ę
dnej
jego
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci, która jest
nieznanym parametrem
zadanego przekroju.
• Równanie momentów statycznych zadanego przekroju, to algebraicznie zapisana równo
ść
:
• Moment statyczny figury płaskiej, która nale
ż
y do zadanego przekroju, ale nie jest wypeł-
niona materiałem pr
ę
ta (
tak
ą
figur
ą
jest np. odwzorowanie: otworu, wydr
ąż
enia, tzw. wybrania,
wady materiałowej
), uczestniczy w sumie momentów statycznych z przeciwnym znakiem.
Suma momentów statycznych obliczonych dla
ka
ż
dej z figur płaskich przynale
ż
nych do zada-
nego przekroju wzgl
ę
dem tej osi narysowanej
na planie przekroju, która nie jest osi
ą
symetrii
Iloczyn pola
zadanego przekroju oraz
tej współrz
ę
dnej
jego
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
-
ci, która jest
nieznanym parametrem
zadanego przekroju.
=
9
10
Ć
wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 1. - krok obliczeniowy
4
- cz
ęść
4.2
=
J
o
k
4.2
. Obliczenie
nieznanego parametru
zadanego przekroju:
4,7cm
c
c
c
c
L
L
L
L
=
⋅
=
−
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
−
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
+
φ
φ
38,4
5,5)]
(8,5
[-12,6
8,5
0,5
51
A
5,5)]
(b
[-A
b
0,5
A
A
S
S
p
yo
yop
4
. Dla zadanego przekroju sformułowa
ć
równanie momentów statycznych oraz rozwi
ą
za
ć
je ze
wzgl
ę
du na niewiadom
ą
, któr
ą
jest
nieznany parametr
zadanego przekroju.
Równanie momentów statycznych i jego rozwi
ą
zanie ze wzgl
ę
du na
nieznany parametr
c
L
:
?
?
38,4
?
3,0
12,6
12,6
?
0
4,0
307,0
153,0
51,0
?
0
8,5
6,0
cm
4
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
cm
4
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
cm
J
y
J
x
A
c
L
c
D
J
φφφφ
A
φφφφ
e
φφφφ
y
e
φφφφ
x
d
J
pb
J
pa
A
p
e
py
e
px
b
a
Zadany przekrój
Koło otworu
Prostok
ą
t obrysu
6
11
Ć
wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 1. – krok obliczeniowy
5
- cz
ęść
5.1
i
5.2
=
J
o
k
5
. Narysowa
ć
na planie zadanego przekroju jego drug
ą
główn
ą
centraln
ą
o
ś
bezwładno
ś
ci
oraz obliczy
ć
pozostałe
parametry
wyszczególnione w tablicy tego przekroju
.
5.1
. Plan zadanego przek-
roju po wrysowaniu jego
drugiej
głównej central-
nej osi bezwładno
ś
ci
•
Główny centralny moment bezwładno
ś
ci zadanego przek-
roju zło
ż
onego, obliczony wzgl
ę
dem jego wskazanej osi, jest
sum
ą
momentów bezwładno
ś
ci obliczonych wzgl
ę
dem tej
osi dla wszystkich figur płaskich do niego przynale
ż
nych.
• Je
ż
eli jest znany osiowy moment bezwładno
ś
ci J
v
figury płaskiej o powierzchni A
F
, odpo-
wiadaj
ą
cy osi v figury, to osiowy moment bezwładno
ś
ci J
u
tej figury, odpowiadaj
ą
cy osi u
poprowadzonej równolegle i w odległo
ś
ci e
Fu
wzgl
ę
dem osi v spełnia tzw. uproszczone
twierdzenie Steinera opisane wzorem:
(5)
)
e
(
A
J
J
2
u
F
F
v
u
⋅
+
=
• Moment bezwładno
ś
ci figury płaskiej przynale
ż
nej do zada-
nego przekroju zło
ż
onego, ale nie wypełnionej materiałem
pr
ę
ta (
tak
ą
figur
ą
jest np. odwzorowanie: otworu, wydr
ąż
enia,
tzw. wybrania, wady materiałowej),
uczestniczy w sumowa-
niu momentów bezwładno
ś
ci jako składnik ujemny.
5.2
. Praktyczne definicje:
Ć
wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 1. – krok obliczeniowy
5
- cz
ęść
5.3
=
J
o
k
5
. Narysowa
ć
na planie zadanego przekroju jego drug
ą
główn
ą
cent-
raln
ą
o
ś
bezwładno
ś
ci
oraz obliczy
ć
pozostałe
parametry
wysz-
czególnione w tablicy tego przekroju.
5.3
. Obliczenia pozostałych
parametrów
:
•
odległo
ść
e
py
:
?
?
38,4
4,7
3,0
12,6
12,6
?
0
4,0
307,0
153,0
51,0
?
0
8,5
6,0
cm
4
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
cm
4
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
cm
J
y
J
x
A
c
L
c
D
J
φφφφ
A
φφφφ
e
φφφφ
y
e
φφφφ
x
d
J
pb
J
pa
A
p
e
py
e
px
b
a
Zadany przekrój
Koło otworu
Prostok
ą
t obrysu
cm
0,45
e
py
=
⋅
=
L
c
-
8,5
0,5
•
moment bezwładno
ś
ci
J
x
:
•
moment bezwładno
ś
ci
J
y
:
•
odległo
ść
e
φφφφ
y
:
cm
1,7
e
y
=
−
−
=
L
c
5,5
8,5
φφφφ
jest sum
ą
momentów bezwładno
ś
ci obliczonych wzgl
ę
dem osi
x
dla prostok
ą
ta obrysu oraz dla koła otworu. Poniewa
ż
parametry e
px
i e
φφφφ
x
s
ą
zerowe
, to ze
wzoru (5) uzyskuje si
ę
:
4
x
cm
140,4
J
=
−
=
−
+
=
φ
12,6
153
)
J
(
J
pa
te
ż
jest sum
ą
momentów bezwładno
ś
ci obliczonych dla prostok
ą
-
ta obrysu oraz dla koła otworu,
4
y
cm
268,3
J
=
⋅
−
+
⋅
+
=
⋅
−
−
+
⋅
+
=
φ
φ
φ
]
)
1,7
(
12,6
-
12,6
[
(0,45)
51
07
3
]
)
e
(
A
J
[
)
e
(
A
J
2
2
2
y
2
py
p
pb
d
ą
ce
ró
ż
ne od zera
. Z tego powodu, ze wzoru (5) wynika,
ż
e:
ale
wzgl
ę
dem osi
y
, której odpowiadaj
ą
parametry e
py
i e
φφφφ
y
b
ę
-
12
7
Ć
wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 2. –
Temat
+ krok obliczeniowy
1
=
J
o
k
Dla przekroju zło
ż
onego, który ma plan jak na rys. 2.1, wyzna-
czy
ć
poło
ż
enie
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci i głównych centralnych osi
bezwładno
ś
ci oraz momenty bezwładno
ś
ci tego przekroju.
1
. Szablon tablicy zadanego przekroju: .
Prostok
ą
t
cm
2
A
p
cm
4
J
pa
cm
e
py
cm
e
px
cm
b
cm
s
cm
h
cm
e
Ceownik
cm
e
Cx
cm
4
J
Ch
cm
2
A
C
cm
e
Cy
cm
4
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
4
cm
cm
4
J
y
J
x
A
c
L
c
D
J
pb
a
J
Cs
Zadany przekrój
29,3
cm
4
J
y
206
cm
4
J
x
13,5
cm
2
F
1,55
cm
e
50
mm
s
100
mm
h
Wypis z normy PN-H-93400:2003
dla ceownika C100
x, y, F, J
x
, J
y
-
kolejno: główne centralne osie bezwładno
ś
ci,
pole oraz główne centralne momenty bezwładno
ś
ci przekro-
ju ceownika.
Oznaczenia dla przekroju ceownika wg normy:
Oznaczenia dla przekroju ceownika w tablicy parametrów:
A
C
, J
Ch
, J
Cs
– kolejno: F, J
x
, J
y
,
e
Cx
,
e
Cy
– odległo
ś
ci
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci przekroju ceownika na-
le
żą
cego do przekroju zło
ż
onego, od głównych centralnych
osi bezwładno
ś
ci
x
,
y
przekroju zło
ż
onego.
13
14
Ć
wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 2. – kroki obliczeniowe
2
,
3
i
4
=
J
o
k
3
.Tablica parametrów zadanego przekroju zło
ż
onego, po
wpisaniu parametrów odczytanych z planu tego przekro-
ju, obliczonych ze wzorów:
Prostok
ą
t
14,0
cm
2
A
p
1,2
cm
4
J
pa
0
cm
e
py
?
cm
e
px
14,0
cm
b
50
mm
s
100
mm
h
1,55
cm
e
Ceownik
?
cm
e
Cx
206
cm
4
J
Ch
13,5
cm
2
A
C
0
cm
e
Cy
?
?
27,5
7,0
?
229
1,0
29,3
cm
4
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
4
cm
cm
4
J
y
J
x
A
c
L
c
D
J
pb
a
J
Cs
Zadany przekrój
2
. Plan zadanego przekroju zło
ż
onego po narysowaniu
prostok
ą
tnego układu osi
x
o
,
y
- rys. 2.2:
A
A
A
,
12
A
b
J
,
12
A
a
J
p
C
p
2
pb
p
2
pa
+
=
⋅
=
⋅
=
oraz wypisanych z normy PN-H-93400:2003.
4
. Równanie momentów statycznych dla zadanego przekroju oraz rozwi
ą
zanie tego równa-
nia ze wzgl
ę
du na nieznany parametr c
D
:
(
)
D
D
c
c
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
+
A
a
0,5
s
0,1
A
e
A
A
S
S
p
C
xop
xoC
cm
3,56
c
c
D
D
=
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
27,5
1)
0,5
(5
14
1,55
13,5
8
15
Ć
wiczenie T1 – przykłady obliczeniowe
Przykład nr 2. – krok obliczeniowy
5
=
J
o
k
5.1
. Plan zadanego przekroju zło
ż
onego po narysowaniu
drugiej
głównej centralnej osi bezwładno
ś
ci
tego
przekroju – rys. 2.3:
•
odległo
ść
e
Cx
:
4
x
x
px
Cx
x
cm
135
J
1,9
2,0
J
e
e
J
=
⋅
+
+
⋅
+
=
⋅
+
+
⋅
+
=
2
2
2
p
pa
2
C
Cs
)
(
14
1,2
)
(
13,5
29,3
)
(
A
J
)
(
A
J
cm
2,0
e
e
Cx
Cx
≈
−
=
−
=
1,55
3,56
e
c
D
•
moment bezwładno
ś
ci J
x
:
• moment bezwładno
ś
ci J
y
:
4
y
y
y
cm
435
J
J
J
=
⋅
+
+
⋅
+
=
⋅
+
+
⋅
+
=
2
2
2
py
p
pb
2
Cy
C
Ch
(0)
14
229
(0)
13,5
206
)
e
(
A
J
)
e
(
A
J
•
odległo
ść
e
px
:
cm
1,9
e
e
px
px
≈
−
+
=
−
+
⋅
=
3,56
0,5
5
c
0,5
s
0,1
D
?
?
27,5
7,0
3,56
229
1,2
14,0
0
?
14,0
1,0
29,3
206
13,5
0
?
1,55
50
100
cm
4
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
4
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
cm
cm
4
cm
4
cm
2
cm
cm
cm
mm
mm
J
y
J
x
A
c
L
c
D
J
pb
J
pa
A
p
e
py
e
px
b
a
J
Cs
J
Ch
A
C
e
Cy
e
Cx
e
s
h
Zadany przekrój
Prostok
ą
t
Ceownik
5.2
. Obliczenie pozostałych parametrów zadanego przek-
roju zło
ż
onego, wyszczególnionych w jego tablicy: