WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

MATERIAŁY DO ĆWICZEŃ

Z ELEKTROTECHNIKI

WARSZAWA 2004

ROZWIĄZYWANIE OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH

Elementy obwodu elektrycznego dzielimy na: elementy czynne – aktywne i elementy bierne –
pasywne. Do elementów czynnych należą źródła napięcia i źródła prądu. Wyróżniamy:

źródła idealne opisane jednym parametrem napięciem źródłowym - siłą elektromotoryczną E
lub prądem źródłowym I

źr

.

• źródła rzeczywiste opisane dwoma parametrami napięciem źródłowym E i

rezystancją wewnętrzną R

w

lub prądem źródłowym I

źr

i konduktancją wewnętrzną

G

w

.

Elementy bierne – pasywne to odbiorniki energii elektrycznej, przy czym wyróżniamy:

• elementy rezystancyjne w których występuje zjawisko dyssypacji – rozpraszania

energii,

• elementy reaktancyjne zdolne do gromadzenia energii.

Elementy rezystancyjne dzielimy na liniowe i nieliniowe.

Rezystancja R zależy od długości l, przekroju poprzecznego s rezystywności ρ lub
konduktywności γ materiału z którego został wykonany element rezystancyjny

s

l

s

l

R

⋅

=

⋅

=

ρ

γ

.

Rezystywność wielu materiałów jest opisana zależnością

(

)

[

]

293

1

293

−

+

=

T

T

α

ρ

ρ

gdzie: α – temperaturowy współczynnik zmiany rezystywności wyrażony w K

-1

, ρ

293

–

rezystywność materiału w temperaturze T = 293 K w warunkach normalnych .

Nieliniowy element rezystancyjny charakteryzuje się:

• rezystancją statyczną definiowaną, jako stosunek napięcia na zaciskach elementu do

płynącego prądu

I

U

R

s

=

• rezystancją dynamiczną definiowaną, jako stosunek przyrostu napięcia na jego

zaciskach do przyrostu prądu

I

U

R

d

Δ

Δ

=

.

Zależność wiążąca spadek napięcia

u

na elemencie rezystancyjnym z natężeniem prądu

i

płynącego przez ten element nosi nazwę prawa Ohma.

i

R

u

⋅

=

Do rozwiązywania obwodów elektrycznych rozgałęzionych zawierających , węzły i oczka
wykorzystywane są prawa Kirchhoffa:

• pierwsze – prądowe: suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie

prądów wypływających z węzła,

• drugie – napięciowe: w dowolnym oczku obwodu suma napięć źródłowych jest

równa sumie napięć odbiornikowych.

Na powyższych prawach opierają się metody rozwiązywania obwodów elektrycznych prądu
stałego i prądu zmiennego. Stosując metodę praw Kirchhoffa można obliczyć wartości
wszystkich prądów płynących w g gałęziach obwodu. W tym celu należy ułożyć w – 1
równań prądowych i g – w + 1 równań napięciowych. Wadą tej metody jest konieczność
rozwiązania g równań, co przy większej liczbie gałęzi jest zadaniem uciążliwym bez
stosowania numerycznych metod obliczeniowych.

Metoda prądów oczkowych ogranicza liczbę równań do równań napięciowych. Wartości
prądów oczkowych oblicza się w pierwszym etapie, rozwiązując równanie macierzowe

[R] [I] = [E]

w którym [R] jest macierzą rezystancyjną, [I] – macierzą prądów oczkowych, [E] –
macierzą sił elektromotorycznych.
Szukane prądy gałęziowe są obliczane w drugim etapie. Prądy gałęziowe są sumą, różnicą
lub są równe prądom oczkowym, zależnie od tego w skład których dana gałąź wchodzi.

Do obliczania wartości prądu w dowolnie wybranej gałęzi obwodu stosowana jest metoda
zastępczego źródła napięcia zwana metodą Thevenina. Według tej metody obwód
elektryczny liniowy można zastąpić źródłem o napięciu źródłowym E równym napięciu
stanu jałowego U

o

na zaciskach a-b i o rezystancji wewnętrznej R

w

, równej rezystancji

zastępczej mierzonej na zaciskach a-b obwodu. Prąd w wybranej gałęzi

R

R

U

I

w

o

+

=

gdzie R – rezystancja gałęzi.
Metodę zastępczego źródła napięcia można stosować do rozwiązywania obwodów
nieliniowych, jednak pod warunkiem, że wszystkie elementy nieliniowe będą umieszczone
w wyodrębnionej gałęzi.
Do rozwiązywania obwodów nieliniowych są stosowane metody obliczeniowe i metody
graficzne. Obwody elektryczne złożone z szeregowo połączonych elementów nieliniowych
z liniowymi lub nieliniowymi stosuje się metody graficzne: charakterystyki wypadkowej
lub przecięcia charakterystyk. Przy równoległym połączeniu kilku elementów stosuje się
metodę charakterystyki wypadkowej lub wspomnianą wcześniej metodę Thevenina, w
której oblicza się parametry zastępczego źródła napięcia, zaś rozwiązanie z elementem
nieliniowym – graficznie
Obwód magnetyczny składa się z elementów, które służą do wytworzenia i skierowania
wzdłuż określonej drogi strumienia magnetycznego. Obwody można podzielić na
jednorodne, składające się z jednego ośrodka i niejednorodne, składające się z dwóch lub
większej liczny ośrodków np. rdzeń ze szczeliną powietrzną.
Obliczanie obwodów magnetycznych sprowadza się do:

• wyznaczeniu przepływu Θ i parametrów obwodu (rodzaj materiału, wymiary

geometryczne rdzenia), gdy dany jest strumień Φ

• wyznaczeniu strumienia Φ przy danym przepływie Θ i parametrach obwodu.

Podstawą obliczania obwodów magnetycznych są równania

∫

∑

Θ

=

=

;

I

Hdl

∫

=

⋅

;

0

dS

B

H

B

⋅

=

μ

które przy zastosowaniu przybliżeń sprowadza się do postaci dogodniejszej do obliczeń.

Przepływ Θ jest wymuszeniem w obwodach magnetycznych i nosi nazwę siły
magnetomotorycznej. Jednostką przepływu jest amper.

z

I

⋅

=

Θ

W obwodzie magnetycznym lub jego oczku suma spadków napięć magnetycznych jest
równa sumie sił magnetomotorycznych – prawo przepływu

∑

∑

=

=

=

Θ

m

i

n

k

k

k

i

l

H

1

1

gdzie l

k

jest długością k -tego odcinka obwodu magnetycznego w którym jest pole

magnetyczne o natężeniu H

k

. Jednostką napięcia magnetycznego jest amper [A], a jednostką

natężenia pola magnetycznego jest amper na metr [A/m].
Strumień magnetyczny

μ

R

Θ

=

Φ

Jednostką strumienia magnetycznego jest weber [Wb].

Reluktancję obwodu oblicza się z zależności

k

k

k

s

l

R

⋅

=

μ

μ

w której s

k

oznacza przekrój poprzeczny, , l

k

długość, μ

k

przenikalność magnetyczną k -tego

odcinka obwodu. Jednostką reluktancji jest odwrotność henra [H

-1

].

Zjawisko indukowania się napięcia w cewce pod wpływem zmian prądu płynącego przez tę
cewkę nazywa się indukcją własną

i

L

Ψ

=

gdzie Ψ jest strumieniem magnetycznym skojarzonym z cewką. Jeżeli cewka ma z zwojów
z których każdy obejmuje ten sam strumień otrzymujemy

l

S

z

R

z

L

⋅

=

=

μ

μ

2

2

dla cewki z rdzeniem ferromagnetycznym, wartość przenikalności magnetycznej zależy od
punktu pracy na charakterystyce magnesowania B(H); indukcyjność własna będzie zależeć
od wartości prądu płynącego w uzwojeniu.

Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego z wykorzystaniem przebiegów czasowych
jest kłopotliwe, stosuje się metodę wykresów wektorowych lub metodę liczb zespolonych.
W metodzie wykresów, przebiegowi sinusoidalnemu przyporządkowuje się wskaz – wektor
o długości odpowiadającej wartości skutecznej przebiegu, narysowany względem osi
odniesienia pod kątem odpowiadającym jego fazie początkowej. Zmiany wartości przebiegu
w czasie odwzorowuje się, przyjmując, że wiruje on na płaszczyźnie z prędkością kątową ω
w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Rozwiązywanie obwodów metodą liczb zespolonych polega na wykorzystaniu związku
miedzy zapisem wielkości sinusoidalnie zmiennej a zapisem wykładniczym liczby
zespolonej, który ma postać

α

j

e

I

I

⋅

=

, w której moduł I oznacza wartość skuteczną a

argument może być zapisany w postaci α = ω t +ψ

i

. Liczbę zespoloną w postaci

algebraicznej można przedstawić na płaszczyźnie zmiennej zespolonej w postaci wektora
takiego samego jak w metodzie wykresów.

LICZBY ZESPOLONE

Wielkość sinusoidalną można przedstawić za pomocą wektora wodzącego o module równym
amplitudzie tej wielkości, obracającego się na płaszczyźnie liczbowej ze stałą prędkością
kątową ω.

Wektor r na płaszczyźnie liczbowej

Im

Re – oś rzeczywista,

A

Im – oś urojona

jb

j.- jednostka urojona

r

Postacie liczby zespolonej

Re

α

0

• postać algebraiczna

a

jb

a

z

+

=

• postać trygonometryczna

(

)

α

α

sin

cos

j

r

z

+

=

• postać wykładnicza

α

α

α

∠

=

=

=

r

j

r

re

z

j

exp

gdzie

2

2

b

a

z

r

+

=

=

moduł liczby zespolonej z

(

a

b

arctg

/

=

)

α

argument liczby zespolonej z

exp jest stosowanym w matematyce zapisem funkcji wykładniczej,

α

∠

r

oznacza wektor o module r, który tworzy z dodatnią półosią Re kąt α.

Jeżeli

to

jest liczba zespoloną sprzężoną z liczbą z

jb

a

z

+

=

jb

a

z

−

=

∗

.

2

2

r

b

a

z

z

=

+

=

=

∗

Jeżeli

1

=

r

to liczba

jest liczbą zespoloną o module jednostkowym, zatem

α

j

e

α

α

α

sin

cos

j

e

j

+

=

.

1

sin

cos

2

2

=

+

=

α

α

α

j

e

Działania na liczbach zespolonych

dodawanie i odejmowanie

(

) (

) (

) (

)

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

b

b

j

a

a

jb

a

jb

a

z

z

+

+

+

=

+

+

+

=

+

(

) (

) (

) (

)

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

b

b

j

a

a

jb

a

jb

a

z

z

−

+

−

=

+

−

+

=

−

mnożenie

(

)(

) (

) (

)

bc

ad

j

bd

ac

jd

c

jb

a

z

z

+

+

−

=

+

+

=

2

1

(

)

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

α

α

α

α

+

⋅

=

=

⋅

j

j

j

e

r

r

e

r

e

r

z

z

(

)

β

α

β

+

=

⋅

j

j

re

e

z

2

r

re

re

z

z

j

j

=

=

⋅

−

∗

α

α

∗

⋅

=

z

z

r

,

2

⋅

∗

+

=

z

z

a

,

j

z

z

b

2

∗

−

=

dzielenie

(

)(

) (

) (

)

2

2

2

2

2

1

d

c

ad

bc

j

bd

ac

d

c

jd

c

jb

a

jd

c

jb

a

z

z

+

−

+

+

=

+

−

+

=

+

+

=

(

)

(

)

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

exp

exp

exp

α

α

α

α

α

α

−

=

−

=

=

j

e

r

r

j

r

r

j

r

j

r

z

z

(

)

β

α

β

α

β

−

∠

=

=

−

r

re

e

z

j

j

α

j

e

r

z

−

=

1

1

( )

α

α

jn

n

n

j

n

e

r

re

z

=

=

potęgi liczby urojonej

1

−

=

j

przy

⋅⋅

⋅

±

±

=

2

,

1

,

o

k

j

j

j

j

j

j

j

j

k

k

k

1

1

3

3

4

2

2

4

1

4

=

−

=

=

−

=

=

=

+

+

+

2

α

α

j

j

e

r

re

z

=

=

,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

π

α

2

j

e

r

z