Wyznaczniki macierzy
mgr Zofia Matusiewicz
13 maja 2005
1
Wprowadzenie
Niech będzie dana macierz kwadratowa A, stopnia n.
Definicja 1 Wyznacznikiem nazywamy, takie odwzorawanie, które danej
macierzy A = [a
ij
]
n×n
przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę rzeczywistą
det A.
Wartość wyznacznika det A, (oznaczaną również jako |A|), oblicza się ze
wzoru:
det A =
X
sgn (i
1
, i
2
, . . . , i
n
) a
i
1
1
a
i
2
2
. . . a
i
n
n
gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie permutacje (i
1
, i
2
, . . . , i
n
) zbioru
{1, 2, . . . n}.
2
Minory i różne sposoby obliczania wyznaczni-
ków
Definicja 2 Minorem (podwyznacznikiem) elementu a
ij
macierzy A nazywa
się wyznacznik macierzy powstałej z A przez skreślenie i − tego wiersza i
j − tej kolumny. Minor jest oznaczany przez M
ij
.
Definicja 3 Dopełnieniem algebraicznym elementu a
ij
macierzy A nazywa
się wartość:
A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
Zatem, nietrudno zatem zauważyć, że wyznacznik macierzy A = [a
ij
]
n×n
można obliczyć w sposób rekurencyjny:
det A =
(
a
11
n = 1
P
n
i=1
a
1i
(−1)
1+i
M
1i
n > 1
Co można uogólnić dokonując rozwinięcia względem wiersza k:
det A =
n
X
i=1
a
ki
(−1)
k+i
M
ki
1
lub dokonując rozwinięcia względem kolumny k:
det A =
n
X
i=1
a
ik
(−1)
k+i
M
ik
co można również zapiasć jako (dokonując rozwinięcia względem wiersza k):
det A =
n
X
i=1
a
ki
A
ki
oraz (dokonując rozwinięcia względem kolumny k):
det A =
n
X
i=1
a
ik
A
ik
Ten sposób nazywa się rozwinięciem Laplace’a.
Podsumowując nietrudno zauważyć, że wyznacznik macierzy stopnia pierw-
szego wynosi:
det[a
11
] = a
11
,
Wyznacznik macierzy stopnia drugiego:
det
"
a
11
a
12
a
21
a
22
#
= a
11
· a
22
− a
12
· a
21
.
Jeżeli natomiast jest dana macierz A stopnia 3, wówczas jej wyznacznik
można obliczyć ze wzoru (reguły) Sarrusa:
det
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
det
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
−
a
11
a
12
a
13
+
−
a
21
a
22
a
23
+
=
= a
11
·a
22
·a
33
+a
21
·a
32
·a
13
+a
31
·a
12
·a
23
−a
13
·a
22
·a
31
−a
23
·a
32
·a
11
−a
33
·a
12
·a
21
.
3
Własności wyznaczników
Definicja 4 Macierz kwadratową A = [a
ij
]
n×n
, której wyznacznik jest rów-
ny zero nazywamy macierzą osobliwą, natomiast macierz kwadratową, której
wyznacznik jest różny od zera nazywamy macierzą nieosobliwą.
2
Dla danej macierzy A = [a
ij
]
n×n
zachodzi:
1. det A = det A
T
;
2. jeśli macierz jest macierzą nieosobliwą, to det A
−1
=
1
det
A;
3. jeżeli dana macierz posiada wiersz zerowy (lub kolumnę zerową), wów-
czas det A = 0;
4. jeżeli dana macierz posiada dwa identyczne wiersze (lub kolumny),
wówczas det A = 0;
5. jeżeli w danej macierzy zamienimy ze sobą dwa wiersze (lub kolumny),
wówczas znak wyznacznika zmieni się na przeciwny:
det
a
11
. . .
a
1n
..
.
..
.
..
.
a
k1
. . .
a
kn
..
.
..
.
..
.
a
l1
. . .
a
ln
..
.
..
.
..
.
a
n1
. . .
a
nn
= − det
a
11
. . .
a
1n
..
.
..
.
..
.
a
l1
. . .
a
ln
..
.
..
.
..
.
a
k1
. . .
a
kn
..
.
..
.
..
.
a
n1
. . .
a
nn
6. jeżeli w danej macierzy elementy danego wiersza (lub kolumny) zosta-
ną przemnożone przez dowolną α 6= 0, wówczas wartość wyznacznika
również zostanie przemżona przez α:
det
a
11
. . .
a
1n
..
.
..
.
..
.
α · a
k1
. . .
α · a
kn
..
.
..
.
..
.
a
n1
. . .
a
nn
= α · det
a
11
. . .
a
1n
..
.
..
.
..
.
a
k1
. . .
a
kn
..
.
..
.
..
.
a
n1
. . .
a
nn
7. jeżeli macierz A różni się od macierzy B elementami jednego wiersza
(lub kolumny), wówczas det(A+B) jest równy wyznacznikowi macierzy
powstałej z macierzy A i B przez przepisanie wszystkich nieróżniących
się wierszy (kolumn) i dodanie odpowiednich elementów różniących się
wiersza macierzy A i B:
det
a
11
. . .
a
1n
..
.
..
.
..
.
a
l1
. . .
a
ln
..
.
..
.
..
.
a
n1
. . .
a
nn
+ det
a
11
. . .
a
1n
..
.
..
.
..
.
a
k1
. . .
a
kn
..
.
..
.
..
.
a
n1
. . .
a
nn
=
3
= det
a
11
. . .
a
1n
..
.
..
.
..
.
a
k1
+ a
l1
. . .
a
kn
+ a
kn
..
.
..
.
..
.
a
n1
. . .
a
nn
8. jeżeli jedna z kolumn (lub wierszy) danej macierzy A jest kombinacją
liniową innych kolumn (wierszy), to det A = 0;
9. jeżeli det A = 0 to jedna z kolumn (lub wierszy) danej macierzy A jest
kombinacją liniową innych kolumn (wierszy);
4
Przykłady
Oblicz wyznaczniki:
1.
1
2
3
4
= 1 · 4 − 2 · 3 = 4 − 6 = −2
2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−
1
2
3
+
−
4
5
6
+
=
= 1 · 5 · 9 + 4 · 8 · 3 + 7 · 2 · 6 − 7 · 5 · 3 + 1 · 8 · 6 + 4 · 2 · 9 =
= 45 + 96 + 84 − 105 − 48 − 72 = 225 − 225 = 0.
Łatwo zauważyć, że trzeci wiersz (w
3
) jest kombinacją liniową piersze-
go (w
1
) i drugiego wiersza (w
2
): w
3
= 2 · w
2
− w
1
.
3.
1
2
3
10
4
5
6
0
7
8
9
−10
0
1
−1
0
=
4
rozwijamy względem czwartej kolumny (lub czwartego wiersza), gdyż
zawiera najwięcej zer:
10 · (−1)
1+4
·
4
5
6
7
8
9
0
1
−1
+ 0 · (−1)
2+4
·
1
2
3
7
8
9
0
1
−1
+
−10 · (−1)
3+4
·
1
2
3
4
5
6
0
1
−1
+ 0 · (−1)
4+4
·
1
2
3
4
5
6
7
8
9
= −10 ·
4
5
6
7
8
9
0
1
−1
+ 10 ·
1
2
3
4
5
6
0
1
−1
−10 · 9 + 10 · 9 = 0.
Łatwo zauważyć, że drugi wiersz (w
2
) jest kombinacją liniową pierszego
(w
1
) i trzeciego wiersza (w
3
): w
2
=
1
2
(·w
3
+ w
1
), więc wyznacznik jest
równy 0.
5
Zadania
Policz wyznaczniki danych macierzy:
1.
"
1
9
−1 3
#
2.
"
1
2
2
3
#
3.
"
i
i + 1
i − 1
i
#
4.
"
cos x
sin x
sin x
cos x
#
5.
"
cos 2x
sin x
cos x
1
#
5
6.
"
1
−4
0
5
#
7.
0
1
3
1
5
3
−2 4 2
8.
−2 −1 1
1
1
1
2
4
2
9.
2
1
1
2
2
1
0
1
0
10.
5
15
10
4
8
12
3
3
6
11.
1
−1 −1
0
0
1
1
5
1
12.
1
1
3
1
1
3
1
4
2
13.
2
−1 3
1
1
3
5
−1 9
6
14.
i
i + 1
0
i − 1
−2i
i
0
i + 1
i
15.
1
cos x
sin x
0
cos x
sin x
sin x
sin 2x
2
sin
2
x
16.
1
0
3
0
1
2
3
−1
0
4
0
1
1
2
1
1
17.
1
1
0
1
−1 2
1
0
1
3
3
1
2
2
−1 0
18.
12
0
0
6
5
2
1
2
2
20
10
5
2
2
−1 0
Rozwiąż równania:
1.
det
"
1
x
2
3
#
= 1
2.
det
"
5
x
2x
6
#
= 2
3.
det
"
3x
x
2x
x
#
"
1
x
1
1
#
"
2
7
−2 −4
#
"
2
5
3
8
#
= 1
7
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
zestaw9, Matematyka stosowana, Analiza, Analiza matematyczna dla leniwych
bryły obrotowe powtorzenie - lekcja otwarta w III g, Matematyka dla Szkoły Podstawowej, Gimnazjum
Scenariusz zajęć matematycznych dla klasy I szkoły podstawowej
Sprawdzian wiadomości z?ukacji matematycznej dla kl III
zestaw10, Matematyka stosowana, Analiza, Analiza matematyczna dla leniwych
Pole powierzchni i objetość brył - scenariusz III g, Matematyka dla Szkoły Podstawowej, Gimnazjum
Scenariusz zajecia matemat dla 4 - 5 lat, scenariusze zajęć z internetu
Bukiety matematyczne dla gimnazjum zadania przygotowujące do konkursów
Sprawdzian z?ukacji matematycznej dla III klasy ćw in
Matematyka dla 3 latka laczenie kol linie
Konspekt zajęć matematycznych dla klasy I szkoły podstawowej
p l o c h Zadania z analizy matematycznej dla semestru I WEL
Geometria analityczna, Matematyka dla Szkoły Podstawowej
projekt - ZBIERANIE I OPRACOWYWANIE DANYCH, Matematyka dla Szkoły Podstawowej, Gimnazjum
więcej podobnych podstron