Zad.1
a) Napisać równanie liniowe płaszczyzny przechodzącej przez punkty

)

1

,

1

,

1

(

1

−

=

p

,

)

1

,

1

,

4

(

2

−

=

p

,

)

1

,

1

,

0

(

3

=

p

.

b) Zbadać położenie prostej







=

+

+

−

=

+

+

0

3

1

:

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

l

względem wyznaczonej płaszczyzny (tzn. czy

prosta jest równoległa do wyznaczonej płaszczyzny, jest zawarta w tej płaszczyźnie, czy ma jeden
punkt wspólny z tą płaszczyzną?).
Zad.2
Znaleźć odległość prostych l i k

]}

2

,

3

,

1

{[

)

2

,

2

,

3

(

:

lin

x

l

+

=

,

]}

4

,

6

,

2

{[

)

1

,

1

,

1

(

:

lin

x

k

+

=

.

Zad.3
W jest podprzestrzenią przestrzeni

4

R

{

}

R

t

s

r

R

t

s

r

t

s

r

t

r

t

s

r

W

∈

∈

+

+

+

+

+

+

+

=

,

,

:

)

2

,

2

,

3

,

2

(

4

.

a) Wyznaczyć bazę ortogonalną przestrzeni W
b) Znaleźć rzut ortogonalny wektora

)

3

,

3

,

5

,

1

(

=

u

na podprzestrzeń W.

Zad. 4
Wyznaczyć dopełnienie ortogonalne do wektora

)

5

,

4

,

0

,

2

(

−

=

w

. Podać wymiar przestrzeni

⊥

w .

Wyznaczyć bazę ortonormalną przestrzeni

⊥

w .

Zad. 5
Udowodnić, że każdy ortogonalny układ niezerowych wektorów

{

}

k

u

u

u

u

,

,

,

,

3

2

1



przestrzeni

n

R dla

n

k

≤

jest liniowo niezależny.

Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa?
Zad. 6

Dane są dwie proste:

1

l przechodząca przez punkty

(

)

1

,

2

,

2

1

−

−

=

p

oraz

(

)

2

,

1

,

4

2

−

=

p

oraz prosta







=

−

+

+

=

+

−

−

0

1

9

2

2

0

2

6

6

:

3

2

1

3

2

1

2

x

x

x

x

x

x

l

Znajdź kąt

α

między tymi prostymi

Znajdź kąt

β

między rzutem prostej

1

l na płaszczyznę

3

2

0 x

x

a prostą

2

l

Odp.

2

7

1

6

1

arccos

,

arccos

=

=

β

α

Zad. 7
Przez punkt przecięcia płaszczyzny

0

19

7

2

3

2

1

=

+

−

+

x

x

x

prostą

(

) (

)

t

t

t

x

x

x

6

1

,

3

5

,

4

7

,

,

3

2

1

+

+

+

=

poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do podanej prostej

Odp.

0

110

6

3

4

3

2

1

=

−

+

+

x

x

x

Zad.8
Znajdź objętość czworościanu o wierzchołkach

(

)

3

,

1

,

1

1

−

=

p

,

(

)

3

,

1

,

2

2

=

p

,

( )

1

,

1

,

3

3

=

p

,

(

)

3

,

2

,

1

4

−

=

p

.

Odp.

3

10

=

V

. Wsk. Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch boków przez

sinus kąta między nimi; wysokość czworościanu jest odległością jednego z wierzchołków od
płaszczyzny podstawy.

Zad. 9
Wyznacz rzut ortogonalny wektora x na przestrzeń liniową V, dopełnienie ortogonalne

⊥

V przestrzeni

V oraz przedstaw wektor x jako sumę

z

y

x

+

=

, gdzie

⊥

∈

∈

V

z

V

y

,

(

)

0

,

1

,

2

,

2

−

=

x

,

(

)

(

) }

{

1

,

1

,

2

,

2

;

0

,

2

,

0

,

1

10

1

5

1

−

=

lin

V

(

)

0

,

1

,

0

,

1

−

=

x

,

(

)

{

}

4

3

2

1

4

4

3

2

1

3

:

,

,

,

x

x

x

x

R

x

x

x

x

V

=

∧

−

=

∈

=

Zad. 10
Dane są wektory:

(

)

(

)

(

)

.

1

,

0

,

2

,

0

,

1

,

1

,

1

,

1

,

0

,

2

,

0

,

1

3

2

1

=

=

=

u

u

u

Metodą Grama-Schmidta dokonaj

ortogonalizacji układu wektorów

3

2

1

,

,

u

u

u

oraz układu wektorów

1

3

2

,

,

u

u

u

(w podanej kolejności)

Odp. (1,0,2,0), (2/5,1,-1/5,1), (-6/11,7/11, 3/11, -4/11)

(1,0,2,0), (0,2,0,1), (2/5, -1/5, -1/5, 2/5)

Zad. 11

Dla danej przestrzeni

( ) (

)}

{

1

,

0

,

2

,

1

,

3

,

1

lin

−

=

V

wyznaczyć:

a) Płaszczyznę H

z przestrzenią kierunkową V

przechodzącą przez punkt

(

)

1

,

2

,

1

=

p

— podać jej

przedstawienie parametryczne i równanie ogólne;

b) Prostą prostopadłą do płaszczyzny H i przechodzącą przez punkt

(

)

2

,

4

,

2

=

q

;

c) Rzut punktu q na płaszczyznę H;
d)

Płaszczyznę równoległą do

H, oddaloną od niej o 3 i położoną po tej samej jej stronie co

punkt q.

Zad. 12
W przestrzeni

4

R wyznaczyć hiperpłaszczyznę równoległą do przestrzeni

(

)}

{

2

,

1

,

2

,

0

),

1

,

1

,

0

,

2

(

lin

−

=

V

i zawierającą prostą o przedstawieniu parametrycznym

{

}

R

t

t

x

∈

+

−

=

)

1

,

1

,

1

,

1

(

)

5

,

4

,

1

,

2

(

:

Zad. 13
W przestrzeni

4

R wyznaczyć dopełnienie ortogonalne zbioru

{

}

2

1

2

1

,

,

f

f

f

f

F

+

=

, gdzie

)

2

,

1

,

2

,

0

(

),

1

,

1

,

0

,

2

(

2

1

=

−

=

f

f

. Podać taką bazę ortogonalną przestrzeni

4

R , że pierwsze dwa

wektory tej bazy należą do przestrzeni

{ }

F

lin

, a pozostałe do ortogonalnego dopełnienia F.

Zad. 14
W przestrzeni

4

R dana jest baza ortogonalna

)}

1

,

0

,

1

,

1

(

),

0

,

1

,

0

,

0

(

),

2

,

0

,

1

,

1

(

),

0

,

0

,

1

,

1

(

{

4

3

2

1

−

=

−

=

−

=

=

u

u

u

u

a) Unormować wektory tej bazy;

b) Obliczyć normę wektora

3

,

4

,

1

,

3

gdzie

,

4

3

2

1

4

1

=

=

−

=

=

=

∑

=

x

x

x

x

u

x

x

i

i

i

;

c) Wyznaczyć współrzędne wektora x względem bazy standardowej

{

}

4

3

2

1

,

,

,

e

e

e

e

.