Zad.1
a) Napisać równanie liniowe płaszczyzny przechodzącej przez punkty
)
1
,
1
,
1
(
1
−
=
p
,
)
1
,
1
,
4
(
2
−
=
p
,
)
1
,
1
,
0
(
3
=
p
.
b) Zbadać położenie prostej
=
+
+
−
=
+
+
0
3
1
:
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
l
względem wyznaczonej płaszczyzny (tzn. czy
prosta jest równoległa do wyznaczonej płaszczyzny, jest zawarta w tej płaszczyźnie, czy ma jeden
punkt wspólny z tą płaszczyzną?).
Zad.2
Znaleźć odległość prostych l i k
]}
2
,
3
,
1
{[
)
2
,
2
,
3
(
:
lin
x
l
+
=
,
]}
4
,
6
,
2
{[
)
1
,
1
,
1
(
:
lin
x
k
+
=
.
Zad.3
W jest podprzestrzenią przestrzeni
4
R
{
}
R
t
s
r
R
t
s
r
t
s
r
t
r
t
s
r
W
∈
∈
+
+
+
+
+
+
+
=
,
,
:
)
2
,
2
,
3
,
2
(
4
.
a) Wyznaczyć bazę ortogonalną przestrzeni W
b) Znaleźć rzut ortogonalny wektora
)
3
,
3
,
5
,
1
(
=
u
na podprzestrzeń W.
Zad. 4
Wyznaczyć dopełnienie ortogonalne do wektora
)
5
,
4
,
0
,
2
(
−
=
w
. Podać wymiar przestrzeni
⊥
w .
Wyznaczyć bazę ortonormalną przestrzeni
⊥
w .
Zad. 5
Udowodnić, że każdy ortogonalny układ niezerowych wektorów
{
}
k
u
u
u
u
,
,
,
,
3
2
1
przestrzeni
n
R dla
n
k
≤
jest liniowo niezależny.
Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa?
Zad. 6
Dane są dwie proste:
1
l przechodząca przez punkty
(
)
1
,
2
,
2
1
−
−
=
p
oraz
(
)
2
,
1
,
4
2
−
=
p
oraz prosta
=
−
+
+
=
+
−
−
0
1
9
2
2
0
2
6
6
:
3
2
1
3
2
1
2
x
x
x
x
x
x
l
Znajdź kąt
α
między tymi prostymi
Znajdź kąt
β
między rzutem prostej
1
l na płaszczyznę
3
2
0 x
x
a prostą
2
l
Odp.
2
7
1
6
1
arccos
,
arccos
=
=
β
α
Zad. 7
Przez punkt przecięcia płaszczyzny
0
19
7
2
3
2
1
=
+
−
+
x
x
x
prostą
(
) (
)
t
t
t
x
x
x
6
1
,
3
5
,
4
7
,
,
3
2
1
+
+
+
=
poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do podanej prostej
Odp.
0
110
6
3
4
3
2
1
=
−
+
+
x
x
x
Zad.8
Znajdź objętość czworościanu o wierzchołkach
(
)
3
,
1
,
1
1
−
=
p
,
(
)
3
,
1
,
2
2
=
p
,
( )
1
,
1
,
3
3
=
p
,
(
)
3
,
2
,
1
4
−
=
p
.
Odp.
3
10
=
V
. Wsk. Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch boków przez
sinus kąta między nimi; wysokość czworościanu jest odległością jednego z wierzchołków od
płaszczyzny podstawy.
Zad. 9
Wyznacz rzut ortogonalny wektora x na przestrzeń liniową V, dopełnienie ortogonalne
⊥
V przestrzeni
V oraz przedstaw wektor x jako sumę
z
y
x
+
=
, gdzie
⊥
∈
∈
V
z
V
y
,
(
)
0
,
1
,
2
,
2
−
=
x
,
(
)
(
) }
{
1
,
1
,
2
,
2
;
0
,
2
,
0
,
1
10
1
5
1
−
=
lin
V
(
)
0
,
1
,
0
,
1
−
=
x
,
(
)
{
}
4
3
2
1
4
4
3
2
1
3
:
,
,
,
x
x
x
x
R
x
x
x
x
V
=
∧
−
=
∈
=
Zad. 10
Dane są wektory:
(
)
(
)
(
)
.
1
,
0
,
2
,
0
,
1
,
1
,
1
,
1
,
0
,
2
,
0
,
1
3
2
1
=
=
=
u
u
u
Metodą Grama-Schmidta dokonaj
ortogonalizacji układu wektorów
3
2
1
,
,
u
u
u
oraz układu wektorów
1
3
2
,
,
u
u
u
(w podanej kolejności)
Odp. (1,0,2,0), (2/5,1,-1/5,1), (-6/11,7/11, 3/11, -4/11)
(1,0,2,0), (0,2,0,1), (2/5, -1/5, -1/5, 2/5)
Zad. 11
Dla danej przestrzeni
( ) (
)}
{
1
,
0
,
2
,
1
,
3
,
1
lin
−
=
V
wyznaczyć:
a) Płaszczyznę H
z przestrzenią kierunkową V
przechodzącą przez punkt
(
)
1
,
2
,
1
=
p
— podać jej
przedstawienie parametryczne i równanie ogólne;
b) Prostą prostopadłą do płaszczyzny H i przechodzącą przez punkt
(
)
2
,
4
,
2
=
q
;
c) Rzut punktu q na płaszczyznę H;
d)
Płaszczyznę równoległą do
H, oddaloną od niej o 3 i położoną po tej samej jej stronie co
punkt q.
Zad. 12
W przestrzeni
4
R wyznaczyć hiperpłaszczyznę równoległą do przestrzeni
(
)}
{
2
,
1
,
2
,
0
),
1
,
1
,
0
,
2
(
lin
−
=
V
i zawierającą prostą o przedstawieniu parametrycznym
{
}
R
t
t
x
∈
+
−
=
)
1
,
1
,
1
,
1
(
)
5
,
4
,
1
,
2
(
:
Zad. 13
W przestrzeni
4
R wyznaczyć dopełnienie ortogonalne zbioru
{
}
2
1
2
1
,
,
f
f
f
f
F
+
=
, gdzie
)
2
,
1
,
2
,
0
(
),
1
,
1
,
0
,
2
(
2
1
=
−
=
f
f
. Podać taką bazę ortogonalną przestrzeni
4
R , że pierwsze dwa
wektory tej bazy należą do przestrzeni
{ }
F
lin
, a pozostałe do ortogonalnego dopełnienia F.
Zad. 14
W przestrzeni
4
R dana jest baza ortogonalna
)}
1
,
0
,
1
,
1
(
),
0
,
1
,
0
,
0
(
),
2
,
0
,
1
,
1
(
),
0
,
0
,
1
,
1
(
{
4
3
2
1
−
=
−
=
−
=
=
u
u
u
u
a) Unormować wektory tej bazy;
b) Obliczyć normę wektora
3
,
4
,
1
,
3
gdzie
,
4
3
2
1
4
1
=
=
−
=
=
=
∑
=
x
x
x
x
u
x
x
i
i
i
;
c) Wyznaczyć współrzędne wektora x względem bazy standardowej
{
}
4
3
2
1
,
,
,
e
e
e
e
.