Matematyka A, kolokwium, 3 listopada 2009, 18:30 – 20:15

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne

osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-

sza

,

cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusz-

nik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia,

kt´ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (5 pt.) Znale´z´c













2

4

8

−1

3

−4

2 1683 −2













.

2. (2 pt.) Poda´c definicje

,

kosinusa dowolnego ka

,

ta t > 0 .

(1 pt.) Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c y

2

− 4y + 3 > 0 .

(4 pt.) Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c cos

4

t − 4 cos

2

t sin

2

t + 3 sin

4

t > 0 .

(N)

(3 pt.) Na okre

,

gu o r´ownaniu x

2

+ y

2

= 1 zaznaczy´c luki z lo˙zone z punkt´ow, przez kt´ore

przechodzi drugie ramie

,

ka

,

ta t spe lniaja

,

cego nier´owno´s´c (N) przy za lo˙zeniu, ˙ze

pierwszym ramieniem takiego ka

,

ta jest p´o lprosta {(x, 0):

x ≥ 0} .

3. (3 pt.) Poda´c definicje

,

logarytmu liczby x przy podstawie y . Jakie liczby wolno loga-

rytmowa´c i przy jakich podstawach?

(3 pt.) Wykaza´c (nie u˙zywaja

,

c tablic, kalkulator´ow, komputer´ow — kartka i pisad lo

wystarcza

,

), ˙ze zachodzi nier´owno´s´c log 2 + log 9 + 2 log 11 < 7 log 3 < 3 log 13 .

4. (4 pt.) Rozwia

,

za´c r´ownanie:

log

7

(20 − x

3

) = 1 + log

7

(2 − x) .

5. Niech O = (1, 0, 1) , A = (2, 2, 3) , B = (4, 2, 7) , C = (2, 4, 9) .

(3 pt.) Znale´z´c wektory

−−→

OA ,

−−→

OC i

−−→

OB oraz ich d lugo´sci.

(3 pt.) Znale´z´c kosinus najwie

,

kszego z ka

,

t´ow tr´ojka

,

ta ABO .

(3 pt.) Znale´z´c

−→

OA ×

−−→

OB .

(2 pt.) Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta ABO .

(2 pt.) Znale´z´c obje

,

to´s´c czworo´scianu ABCO .

(2 pt.) Znale´z´c odleg lo´s´c punktu C od p laszczyzny OAB .