4_modul.indd

Tradycyjny rachunek nazw

Wstęp

1. Zdania kategoryczne

1.1. Logika Arystotelesa

1.2. Zdania kategoryczne

1.3. Prawdziwość zdań kategorycznych

1.4. Reprezentacja graﬁczna

2. Wnioskowania bezpośrednie

2.1. Kwadrat logiczny

2.2. Znaczenie zwrotu „niektóre”

2.3. Prawa kwadratu logicznego

2.4. Wnioskowania bezpośrednie

2.5. Konwersja

2.6. Negacja przynazwowa

2.7. Obwersja

2.8. Kontrapozycja

3. Sylogizmy

3.1. Wnioskowania pośrednie

3.3. Tryby i ﬁgury

3.4. Tryby poprawne

3.5. Kryteria poprawności sylogizmu

3.6. Entymematy

4. Graﬁczne sprawdzanie sylogizmów

4.1. Diagram Venna dla trzech nazw

4.2. Tryb poprawny

4.3. Tryb niepoprawny

4.4. Przesłanki szczegółowe

4.5. Zaznaczanie istnienia w zdaniach ogólnych

Wstęp

W tym module zajmiemy się

rachunkiem nazw

, zwanym często po prostu logiką

tradycyjną albo arystotelesowską. Jest to system o możliwościach zbyt ograniczonych,
aby pozwolić na analizę wielu rozumowań w języku naturalnym. Mimo to, zakres
jego zastosowań pod pewnym względem przewyższa możliwości rachunku zdań
omawianego w poprzednim module. Zademonstrujemy to na prostym przykładzie.
Poniższe rozumowanie jest poprawne:

Wszystkie słonie są ssakami. Każdy ssak jest kręgowcem. Zatem każdy słoń jest
kręgowcem.

Jednak próba wykazania jego poprawności przy użyciu KRZ jest skazana na
niepowodzenie, gdyż nie występują tu w ogóle spójniki. Na gruncie KRZ schemat
powyższego rozumowania wygląda więc następująco:

p, q / r

Wystarczy użyć wartościowania V(p) = V(q) = 1 i V(r) = 0, aby taki schemat poddać
falsyﬁkacji. Aby wykazać, że interesujące nas rozumowanie jest poprawne, musimy
umieć poddać analizie strukturę wewnętrzną jego zdań składowych, a to umożliwia
rachunek nazw.

Poświęcimy prezentacji rachunku nazw cztery tematy. W ostatnim przedstawimy
język

klasycznego rachunku kwantyﬁkatorów

(w skrócie KRK), który jest współczesną

formą logiki klasycznej i zawiera w sobie zarówno rachunek zdań, jak i rachunek
nazw. Jednak KRK to dużo bardziej skomplikowany system i dlatego więcej uwagi
poświęcimy prostszemu systemowi, czyli rachunkowi nazw.

1. Zdania kategoryczne

1.1. Logika Arystotelesa

Historycznie pierwszy system logiczny, zbudowany przez Arystotelesa blisko
2,5 tysiąca lat temu, nie był logiką zdań, ale logiką nazw. Arystoteles wprawdzie
intuicyjnie stosował niektóre zasady klasycznego rachunku zdań, ale nie rozwinął go
w systematyczny sposób. Zbudował natomiast ograniczoną wersję rachunku nazw,
czyli takiej logiki, w której występują zmienne nazwowe.

Ograniczenia  logiki  Arystotelesa  są  dość  istotne.  Po  pierwsze,  w jego  systemie
występują tylko zmienne reprezentujące n a z w y   o g ó l n e , czyli posiadające więcej
niż  jeden  desygnat.  Po  drugie,  analizowane  są  tylko  wybrane  rodzaje  zdań,  tzw.
z d a n i a   k a t e g o r y c z n e . Po trzecie, w jego systemie mamy ujęcie tylko bardzo
specyﬁcznej klasy rozumowań,  tzw.  wnioskowań  bezpośrednich  oraz  pośrednich,
określanych tradycyjnie jako s y l o g i z m y. Ze względu na ważność tych ostatnich,
logikę Arystotelesa określa się często jako sylogistykę.

Współczesna logika matematyczna, czyli tzw. klasyczny rachunek kwantyﬁkatorów
(KRK) — z powodu jej zasięgu — jest znacznie przydatniejszym narzędziem analizy
rozumowań. Zarówno rachunek zdań, jak i sylogistyka, są po prostu jej częściami.
Jednak KRK jest systemem złożonym i jego dokładna prezentacja przekracza
ramy tego kursu. W ostatnim temacie ograniczymy się tylko do bardzo krótkiego
wprowadzenia do języka KRK, natomiast resztę modułu przeznaczymy na prezentację
systemu Arystotelesa.

Mimo swoich ograniczeń, sylogistyka jest bardzo pożytecznym narzędziem. Przede
wszystkim jest to system znacznie prostszy od KRK i dlatego można go sobie
przyswoić nawet w ramach krótkiego kursu logiki. Poza tym w ramach sylogistyki
formalizuje się bardzo popularne rodzaje rozumowań, które często nam w życiu
towarzyszą. Dlatego, chociaż nie powinno się przeceniać znaczenia i zasięgu tego
systemu, to warto opanować jego zasady.

1.2. Zdania kategoryczne

Są  to  zdania  proste  podmiotowo-orzecznikowe,  w których  występują  dwie
nazwy  ogólne.  Arystoteles  dzielił  je  na  3  grupy,  w zależności  od  siły  orzekania.
Jeżeli  stwierdzamy,  że  pewna  relacja  między  podmiotem  i orzeczeniem  zachodzi
z konieczności, to jest to

zdanie apodyktyczne

. Jeżeli zachodzenie tej relacji stwierdzamy

jako coś możliwego, to jest to

zdanie problematyczne

. W przypadku braku takiej

kwaliﬁkacji modalnej mamy do czynienia ze

zdaniem asertorycznym

W dalszym ciągu ograniczymy się do wykładu logiki zdań asertorycznych. Wyróżniamy
cztery rodzaje takich zdań. Poniżej podamy ich przykłady oraz tradycyjny sposób
formalizacji, w którym litery S i P to zmienne nazwowe, reprezentujące odpowiednio
podmiot (subiectum) i orzecznik (praedicatum) zdania kategorycznego.

Zdanie:

Każdy pies jest zwierzęciem

to przykład

zdania ogólno-twierdzącego

, którego schemat zapiszemy następująco:

SaP, gdzie S — pies, P — zwierzę, a — Każdy... jest...

Schemat

zdania ogólno-przeczącego

, np.:

Żaden pies nie jest rybą

zapiszemy tak:

SeP, gdzie S — pies, P — ryba, e — Żaden... nie jest...

Zdanie:

Niektóre psy są inteligentne,

które reprezentuje tzw.

zdania szczegółowo-twierdzące

, zapiszemy:

SiP, gdzie S — pies, P — inteligentny, i — Niektóre... są...

Natomiast

zdanie szczegółowo-przeczące

, np:

Niektóre psy nie szczekają

zapiszemy tak:

SoP, gdzie S — pies, P — stworzenie szczekające, o — Niektóre... nie są...

Ostatni  przykład  pokazuje,  że  wiele  zdań  w języku  polskim  wymaga  drobnego
przeformułowania, aby uznać je za zdania kategoryczne w sensie ścisłym. Litery „a”,
„e”, „i”, „o” oznaczają specyﬁczne stałe logiczne rachunku nazw, których znaczenie
określa  zarówno  rodzaj  kwantyﬁkacji występującej  w zdaniu  kategorycznym,  jak
i rodzaj  orzekania.  Z tego  względu  zdania  kategoryczne  dzieli  się  według

ilości

jakości

. Według jakości wyróżniamy zdania twierdzące i przeczące, według ilości

— zdania ogólne i szczegółowe.

1.3. Prawdziwość zdań kategorycznych

Zastanówmy się nad warunkami prawdziwości zdań kategorycznych. Korzystając
z tego, że ekstensją dowolnej nazwy ogólnej jest niepusty zbiór, wprowadzimy
teoriomnogościową interpretację tych warunków. Symbole S i P oznaczać będą dalej
nie tylko nazwy występujące jako podmiot i orzecznik, ale również ich ekstensje.
a) SaP jest prawdziwe wtw, S ⊆ P, co jest równoważne stwierdzeniu, że S − P = ∅,
b) SeP jest prawdziwe wtw, S ∩ P = ∅,
c) SiP jest prawdziwe wtw, S ∩ P ≠ ∅,
d) SoP jest prawdziwe wtw, S − P ≠ ∅.

Jak widać, prawdziwość każdego zdania kategorycznego da się sprowadzić do tego,
czy pewien zbiór jest pusty, czy nie.

1.4. Reprezentacja graﬁczna

Powszechnie stosowanym i wygodnym sposobem sprawdzania poprawności
rozumowań zbudowanych ze zdań kategorycznych są różnego rodzaju diagramy. Do
analizy rozumowań sylogistycznych moglibyśmy np. zastosować diagramy Eulera,
jednak efektywniejszą metodą okazują się

diagramy Venna

Diagram Venna dla dwóch zbiorów składa się z dwóch krzyżujących się okręgów:

Obszar I oznacza tu zbiór −S ∩ −P, II — S − P, III — S ∩ P, a IV — P − S. Problem
graﬁcznej reprezentacji prawdziwości zdań kategorycznych sprowadza się zatem do
zaznaczenia na diagramie Venna pustości lub niepustości pewnego zbioru. Przyjmĳmy,
że w przypadku niepustości, na danym obszarze postawimy symbol X, a w przypadku
pustości — ∅. Obszar, o którym nie mamy informacji, nie będzie zawierał żadnych
symboli. Zgodnie z tą konwencją prawdziwość zdań kategorycznych będą wyrażać
następujące diagramy:

SaP

SeP

Rysunek 1

Rysunek 2

Rysunek 3

2. Wnioskowania bezpośrednie

2.1. Kwadrat logiczny

Zastanówmy się, jakie relacje logiczne zachodzą między różnymi zdaniami
kategorycznymi o tym samym podmiocie i orzeczniku. W średniowieczu dla lepszego
przedstawienia tych związków używano diagramu zwanego kwadratem logicznym.

Najłatwiej  zauważyć,  jaka  relacja  zachodzi  w pionie  pomiędzy  zdaniami  ogóln-
ymi  i  szczegółowymi  tej  samej  jakości.  Jest  to  relacja  wynikania,  określana  też  w
logice  tradycyjnej  jako  r e l a c j a   p o d p o r z ą d k o w a n i a .  Strzałki  zaznaczają
kierunek  tej  relacji,  tzn.  ze  zdania  ogólnego  wynika  zdanie  szczegółowe  (jest  mu
podporządkowane), ale nie odwrotnie.

Między  zdaniami  ogólnymi  o różnej  jakości  (szczyt  kwadratu)  zachodzi  relacja
wykluczania (sprzeczności), zwana w logice tradycyjnej r e l a c j ą  p r z e c i w i e ń s t w a
i oznaczona linią przerywaną. Oznacza to, że choć zdania takie mogą być zarazem
fałszywe, to prawdziwe oba być nie mogą. Przykładowo, podstawienie S — ssak,
P  —  kręgowiec  daje  nam  prawdziwość  jednego  ze  zdań,  a fałszywość  drugiego.
Podstawienie S — Polak, P — pĳak daje nam fałszywość obu zdań.

Dół kwadratu (linia kropkowana) to relacja dopełniania, zwana tradycyjnie r e l a c j ą
p o d p r z e c i w i e ń s t w a . Zatem dwa zdania szczegółowe o różnej jakości nie mogą
być zarazem fałszywe, choć oba mogą być prawdziwe. Przykładowo podstawienie
S — krowa, P — łaciata daje prawdziwość obu zdań. Podstawienie S — ssak,
P — kręgowiec daje nam prawdziwość jednego ze zdań a fałszywość drugiego.

Gruba  linia  łącząca  zdania  po  przekątnej  oznacza  relację  mocnej  sprzeczności.
W dowolnej  parze  zdań  o różnej  jakości  i ilości  zawsze  jedno  będzie  prawdziwe
a drugie  fałszywe,  choć  możemy  nie  wiedzieć,  które  z nich  jaką  wartość  logiczną
posiada.

Rysunek 6

2.2. Znaczenie zwrotu „niektóre”

Warto podkreślić, że zwrot „niektóre” używany jest tutaj w znaczeniu „co najmniej
jeden”,  co  oznacza,  że  zdanie  szczegółowe  jest  prawdziwe  również  wtedy,  gdy
wszystkie desygnaty podmiotu mają własność wyrażaną przez orzecznik (w zdaniach
twierdzących) lub jej nie mają (w zdaniach przeczących). Jest to istotne wyjaśnienie,
gdyż  potocznie  często  zwrotu  tego  używamy  w znaczeniu  „pewne,  ale  nie
wszystkie”. W tym drugim znaczeniu nie moglibyśmy uznać np. zdania „Niektóre
ssaki  są  kręgowcami”  za  prawdziwe  (jak  to  zrobiliśmy  powyżej).  Co  więcej,  przy
takim  rozumieniu  zwrotu  „niektóre”  nie  zachodzi  większość  relacji  logicznych
zaznaczonych na kwadracie logicznym.

2.3. Prawa kwadratu logicznego

Tradycyjny rachunek nazw jest systemem logicznym nadbudowanym nad rachunkiem
zdań. Oznacza to, że oprócz czterech nowych stałych logicznych, które budują zdania
proste (czyli kategoryczne) możemy używać również spójników KRZ do budowy
zdań złożonych. Skorzystamy z tego obecnie. Zachodzenie powyższych relacji
pozwala nam stwierdzić, że poniższe formuły są prawami logicznymi (tautologiami)
tradycyjnego rachunku nazw:

1. SaP → SiP
2. SeP → SoP
3. ¬SiP → ¬SaP
4. ¬SoP → ¬SeP
5. ¬(SaP ∧ SeP)
6. SaP → ¬SeP
7. SeP → ¬SaP
8. SiP ∨ SoP
9. ¬SiP → SoP

10. ¬SoP → SiP
11. SaP ↔ ¬SoP
12. SeP ↔ ¬SiP
13. SiP ↔ ¬SeP
14. SoP ↔ ¬SaP

Prawa 1–4 są pochodną wynikania; w szczególności 3 i 4 otrzymujemy z 1 i 2 przez
kontrapozycję. Prawa 5–7 są konsekwencją wykluczania zdań ogólnych, a 8–10
— dopełniania zdań szczegółowych. Ostatnie cztery wzory charakteryzują sprzeczność
mocną.

2.4. Wnioskowania bezpośrednie

Taką nazwą określa się w logice tradycyjnej proste schematy rozumowań z jednej
przesłanki, w których zarówno przesłanka, jak i wniosek są zdaniami kategorycznymi,
względnie ich negacjami.

Pamiętając o zależności między tautologicznymi implikacjami a schematami
poprawnych rozumowań, można z podanych wyżej tautologii uzyskać szereg takich
schematów. W szczególności prawa 11–14 dają podstawę do 8 schematów, np. z 11.
mamy dwa schematy o postaci: SaP / ¬SoP i ¬SoP / SaP. Tylko prawa 5. i 8. nie
uzasadniają żadnego schematu wnioskowań bezpośrednich.

Nie są to jedyne formy wnioskowania bezpośredniego uznawane w logice tradycyjnej.
Poniżej omówimy najważniejsze rodzaje pozostałych.

2.5. Konwersja

Jest to wnioskowanie, w którym dokonujemy przestawienia podmiotu i orzecznika.
Oddają to następujące schematy:

SaP / PiS

SiP / PiS

SeP / PeS

W przypadku SaP dodatkowo zmienia się ilość wniosku. Jest to tak zwana konwersja
z ograniczeniem. W pozostałych wypadkach mamy konwersję prostą.

Gdyby dla zdania SaP dopuścić konwersję prostą, to można by ze zdania „Każdy
pies jest drapieżnikiem” wywnioskować zdanie „Każdy drapieżnik jest psem”, co
uzasadnia konieczność dodatkowej zmiany we wniosku. Zdanie postaci SoP w ogóle
nie poddaje się konwersji, np. ze zdania „Niektórzy ludzie nie są politykami” wbrew
pozorom nie wynika zdanie „Niektórzy politycy nie są ludźmi”.

2.6. Negacja przynazwowa

W rozważanych rozumowaniach dopuszcza się również negację przynazwową, która
w języku naturalnym wyrażana jest często za pomocą preﬁksów „nie-”, „a-”, „non-”,
„bez-”, dołączonych do zaprzeczanej nazwy. Tworzymy w ten sposób antonim
dla danej nazwy. Przykładowo: „niepospolity”, „anormalny”, „nonsensowny”,
„bezkręgowiec”. Oczywiście, nie zawsze fakt, że dana nazwa tak się zaczyna oznacza,
że mamy do czynienia z nazwą zaprzeczoną. Na przykład „alkoholik” to nie forma
zaprzeczona nazwy „lkoholik” a „absurd” to nie zaprzeczenie „bsurdu”.

Jeżeli w języku naturalnym nie występuje dla danej nazwy odpowiedni antonim,
zawsze możemy go wprowadzić sztucznie przez dodanie zwrotu „nie-”, przykładowo:
„pies”–„nie-pies”. Symbolicznie będziemy negację przynazwową zaznaczać, stawiając
apostrof za nazwą zaprzeczaną.

2.7. Obwersja

Jest to forma rozumowania, w której dokonuje się zmiana jakości przesłanki
z jednoczesnym zanegowaniem orzecznika. W przeciwieństwie do konwersji jest

to operacja uniwersalna, tzn. rezultat obwersji zawsze wynika z przesłanki, co daje
cztery schematy:

SaP / SeP’

SiP / SoP’

SeP / SaP’

SoP / SiP’

Przykładowo ze zdania „Niektórzy politycy nie są uczciwi” wynika przez obwersję
„Niektórzy politycy są nieuczciwi”.

2.8. Kontrapozycja

W rozumowaniu takim jednocześnie przestawiamy podmiot z orzecznikiem
i dokonujemy ich zanegowania, podobnie jak w KRZ, gdzie dokonuje się przestawienia
członów implikacji wraz z ich zanegowaniem. Poprawne są następujące formy:

SaP / P’aS’

SeP / P’oS’

SoP / P’oS’

W tym wypadku zdanie typu SeP wymaga kontrapozycji ograniczonej, tzn.
z jednoczesną zmianą ilości przesłanki, gdyż w przeciwnym wypadku można np.
ze zdania „Żaden owad nie jest kręgowcem” wywnioskować „Żaden bezkręgowiec
nie jest nie-owadem”, co jest oczywiście fałszem, gdyż do bezkręgowców należą nie
tylko owady. Zdania typu SiP nie poddają się kontrapozycji.

3. Sylogizmy

3.1. Wnioskowania pośrednie

Oprócz wnioskowań bezpośrednich, które są po prostu formą przekształcenia zdania
kategorycznego, w logice tradycyjnej rozważa się również wnioskowania z większej
ilości przesłanek, zwane wnioskowaniami pośrednimi. Szczególną rolę odgrywają
pewne formy rozumowań o dwóch przesłankach zwane sylogizmami.

Teoria  sylogizmu  obrosła  w ciągu  wieków  skomplikowaną  terminologią,  którą
omówimy  przy  okazji  podania  jego  deﬁnicji. Istnieje też  wiele  pomysłowych
metod  sprawdzania  poprawności  sylogizmów,  w szczególności  metody  graﬁczne.
W tym temacie omówimy dwie metody o charakterze pamięciowym, w następnym
pokażemy jak wykorzystać diagramy Venna, wprowadzone w pierwszym temacie.

3.2. Sylogizm

Jest  to  forma  wnioskowania  pośredniego,  która  składa  się  z trzech  zdań
kategorycznych  (dwie  przesłanki),  w których  występują  tylko  trzy  różne  nazwy,
zwane  t e r m i n a m i   sylogizmu.  Każdy  termin  występuje  w sylogizmie  tylko  dwa
razy,  a oba  wystąpienia  są  w różnych  zdaniach  sylogizmu.  Podmiot  wniosku  to
t e r m i n  m n i e j s z y, jego orzecznik to t e r m i n  w i ę k s z y, natomiast nazwa, która
występuje  w obu  przesłankach,  to  t e r m i n   ś r e d n i   (pośredniczący).  Litery  S i P
nadal będą oznaczać podmiot i orzecznik wniosku, natomiast M (od łac. medius)
oznaczać będzie termin średni.

Przesłanka  zawierająca  termin  mniejszy  to  p r z e s ł a n k a   m n i e j s z a ,  natomiast
przesłanka  zawierająca  termin  większy  to  p r z e s ł a n k a   w i ę k s z a .  Przesłankę
większą  zwykło  się  podawać  jako  pierwszą  przesłankę  sylogizmu.  Pozwala  to
dokonać  pewnego  uporządkowania  możliwych  form,  gdyż  z logicznego  punktu
widzenia kolejność przesłanek nie ma żadnego znaczenia. Oto przykład rozumowania
sylogistycznego:

Każdy pies jest drapieżnikiem. Każdy ratlerek jest psem. Zatem każdy ratlerek jest

drapieżnikiem.

Schemat tego rozumowania wygląda następująco:

MaP, SaM / SaP

(M — pies, S — ratlerek, P — drapieżnik).

3.3. Tryby i ﬁgury

Schematy rozumowań sylogistycznych nazywa się

trybami sylogizmu

. Ze względu na

usytuowanie terminu średniego, wszystkie tryby można podzielić na cztery

ﬁgury

o schematach:

Fig. I

Fig. II

Fig. III

Fig. IV

M…P

P…M

M…P

P…M

S…M

M…S

S…P

Podstawiając w miejsce „...” symbol dowolnej stałej (tzn. a, e, i lub o), uzyskujemy
konkretny tryb danej ﬁgury. Można bez trudu wyliczyć, że wszystkich trybów jest
256 (4 x 4 x 4 x 4), jednak poprawnych jest znacznie mniej, bo tylko 24, po 6
w każdej ﬁgurze.

Ze względu na niewielką ilość, można po prostu wypisać wszystkie poprawne
tryby i nauczyć się ich na pamięć. Aby to ułatwić, w średniowieczu wprowadzono
dźwięczne nazwy dla poprawnych trybów, w których użyte samogłoski podawały,
jakie stałe występują w trzech kolejnych zdaniach trybu.

3.4. Tryby poprawne

W pierwszej ﬁgurze mamy tryby:
MaP, SaM / SaP MaP, SaM / SiP MeP, SaM / SeP
MeP, SaM / SoP MaP, SiM / SiP MeP, SiM / SoP
O nazwach: Barbara, Barbari, Celarent, Celaront, Darii, Ferio.

W drugiej:
PeM, SaM / SeP PeM, SaM / SoP PaM, SeM / SeP
PaM, SeM / SoP PeM, SiM / SoP PaM, SoM / SoP
O nazwach: Cesare, Cesaro, Camestres, Camestros, Festino, Baroco.

W trzeciej:
MaP, MaS / SiP MiP, MaS / SiP MaP, MiS / SiP
MeP, MaS / SoP MoP, MaS / SoP MeP, MiS / SoP
O nazwach: Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison.

W czwartej:
PaM, MaS / SiP PaM, MeS / SeP PaM, MeS / SoP
PiM, MaS / SiP PeM, MaS / SoP PeM, MiS / SoP
O nazwach: Bramantip, Camenes, Camenos, Dimaris, Fesapo, Fresison.

3.5. Kryteria poprawności sylogizmu

Pamięciowe opanowanie schematów lub ich nazw nie jest jednak najlepszym sposobem
opanowania sylogistyki, zwłaszcza jeżeli na względzie mamy szybkie rozpoznawanie
rozumowań niepoprawnych. Analiza trybów poprawnych ujawnia bowiem szereg
prawidłowości, które proces sprawdzania sylogizmów czynią zadaniem wręcz
mechanicznym.

Oto one:
1.  Obie przesłanki nie mogą być przeczące.
2.  Obie przesłanki nie mogą być szczegółowe.
3.  Jeżeli jedna z przesłanek jest przecząca, to wniosek też musi taki być.
4.  Jeżeli jedna z przesłanek jest szczegółowa, to wniosek też musi taki być.
5.  Termin środkowy musi być rozłożony przynajmniej w jednej przesłance.
6.  Jeżeli termin jest rozłożony we wniosku, to musi być rozłożony w przesłance.

Aby zrozumieć dwa ostatnie warunki, musimy wyjaśnić, co to znaczy, że termin jest
rozłożony. Termin jest rozłożony wtedy, gdy używając go, mamy na myśli wszystkie
jego desygnaty. Warunek ten spełniają podmioty zdań ogólnych i orzeczniki zdań
przeczących. Stąd w SeP oba terminy są rozłożone, a w SiP żaden, natomiast w SaP
— S, a w SoP — P.

Każdy tryb poprawny spełnia wszystkie podane wyżej warunki, natomiast każdy
niepoprawny łamie co najmniej jeden z nich. Rozważmy następujący sylogizm:

Żadna ryba nie jest gadem. Żaden ssak nie jest rybą. Zatem żaden ssak nie jest

gadem.

Rozumowanie jest niepoprawne, gdyż łamie 1. kryterium. Istotnie, w oparciu o jego
tryb (MeP, SeM / SeP) można zbudować rozumowanie falsyﬁkujące (kontrprzykład),
np.:

Żadna ryba nie jest gadem. Żaden wąż nie jest rybą. Zatem żaden wąż nie jest

gadem.

Inny przykład:

Każdy ssak jest kręgowcem. Każdy kot jest kręgowcem. Zatem każdy kot jest

ssakiem.

Tutaj złamane jest 5. kryterium, gdyż termin średni (kręgowiec) nie jest rozłożony
w żadnej przesłance. Aby otrzymać kontrprzykład, wystarczy np. za termin większy
(ssak) wstawić nazwę „ptak”.

3.6. Entymematy

Na zakończenie rozważmy jeszcze jeden przykład:

Każdy tygrys jest ssakiem. Więc każdy tygrys jest kręgowcem.

Rozumowanie  to  intuicyjnie  wydaje  się  poprawne,  jednak  nie  jest  ono  ani
sylogizmem (tylko jedna przesłanka), ani wnioskowaniem bezpośrednim (trzy różne
nazwy).  Po  namyśle  możemy  jednak  powyższe  rozumowanie  uznać  za  poprawny
entymemat, w którym pominięto, jako oczywistą, przesłankę większą „Każdy ssak
jest  kręgowcem”.  Po  jej  dołączeniu  rozumowanie  powyższe  okazuje  się  kolejnym
reprezentantem trybu Barbara.

Analizując rozumowania sylogistyczne, musimy pamiętać, że często mogą one
występować w postaci entymematycznej, jednoprzesłankowej, przy założeniu
oczywistości twierdzenia ogólnego, będącego treścią pominiętej przesłanki.

4. Graﬁczne sprawdzanie sylogizmów

4.1. Diagram Venna dla trzech nazw

Zastosujemy teraz metodę diagramów Venna do sprawdzania poprawności
sylogizmów. W przypadku takich rozumowań pojawia się pewna trudność
dodatkowa, gdyż mamy wyrazić na diagramie ekstensje trzech terminów. Dlatego
będziemy używać trzech krzyżujących się okręgów:

Kolejne obszary reprezentują tu: I — −S ∩ −P ∩ −M; II — (S − P) − M; III
— (S ∩ P) − M; IV — (P − S) − M; V — S ∩ P ∩ M; VI — (S ∩ M)−P; VII — (P

∩ M) − S; VIII — (M − S) − P.

Generalna zasada będzie taka: na diagramie zaznaczamy warunki prawdziwości obu
przesłanek i sprawdzamy, czy z diagramu można odczytać prawdziwość wniosku.
Jeżeli tak, to rozumowanie jest poprawne, w przeciwnym wypadku jest niepoprawne
i możemy postarać się o znalezienie przykładu falsyﬁkującego.

4.2. Tryb poprawny

Przeanalizujmy następujące rozumowanie:

Każdy ssak jest kręgowcem. Każdy tygrys jest ssakiem. Zatem każdy tygrys jest

kręgowcem.

Jest to poprawny tryb Barbara (M — ssak, S — tygrys, P — kręgowiec). Po naniesieniu
na diagram warunków prawdziwości przesłanki większej, mamy następującą
sytuację:

Rysunek 7

Ma ono następujący schemat: PeM, MeS / SeP, którego diagram ma postać:

Tutaj prawdziwość pierwszej przesłanki dała pustość obszaru V i VII, a drugiej VI
i ponownie V. Jednak aby wniosek był prawdziwy, musimy mieć gwarancję pustości
iloczynu S i P, który jest symbolizowany łącznie przez obszar V i III. Wprawdzie V
jest pusty, ale III nie jest wcale zaznaczony, więc jest możliwe, że reprezentuje zbiór
niepusty.

Rozumowanie  powyższe  nie  jest  zatem  poprawne,  gdyż  struktura  przesłanek  nie
gwarantuje  (przy  ich  prawdziwości)  prawdziwości  wniosku  o zadanej  strukturze.
Niepoprawność  rozumowania  pokazuje  diagram,  ale  możemy  też  łatwo  znaleźć
interpretację falsyﬁkującą. Rozważmy poniższe rozumowanie:

Żaden tygrys nie jest żabą. Żadna żaba nie jest ssakiem. Zatem żaden ssak nie jest
tygrysem.

Reprezentuje ono taki sam tryb, ale wniosek jest ewidentnie fałszywy, chociaż
przesłanki prawdziwe. Warto też sprawdzić, które kryterium poprawności sylogizmu
zostało

złamane.

Kolejne przykłady podajemy od razu ze schematem i diagramem.

4.4. Przesłanki szczegółowe

Żaden ssak nie jest rybą. Niektóre ryby są drapieżnikami. Zatem niektóre

drapieżniki nie są ssakami (PeM, MiS / SoP).

Rysunek 10

Rysunek 11

Rozumowanie jest poprawne, gdyż X stoi w obszarze VI, wskazując na niepustość
zbioru S poza obszarem zbioru P. Warto zauważyć, że zaznaczając prawdziwość
przesłanki drugiej, mamy do dyspozycji dwa obszary — V i VI. Jednak V jest już
zaznaczony jako zbiór pusty, zatem X możemy postawić tylko w obszarze VI. Dla
prawdziwości wniosku potrzeba, żeby X stało bądź w obszarze VI, bądź w obszarze
V — nie jest istotne, w którym. Przeanalizujmy kolejny przykład.

Każdy ssak to kręgowiec. Niektóre kręgowce to drapieżniki. Więc niektóre

drapieżniki są ssakami (PaM, MiS / SiP).

Powyższy przykład może wydać się poprawny. Wniosek jest prawdziwy, przesłanki
również, ale to nie powinno już nikogo zwieść. Skoncentrujmy się na formie, a nie
na treści. Żeby wniosek był prawdziwy, X powinien stać w obszarze III lub V.
Pierwszy z nich jest wprawdzie pusty, ale V zawiera X. Zwróćmy jednak uwagę, że
X stoi także w obszarze VI. Zaznaczając prawdziwość drugiej przesłanki, mieliśmy
bowiem do dyspozycji oba te obszary. Inaczej niż w przykładzie 4., gdzie z dwóch
teoretycznie możliwych, jeden został wstępnie wykluczony przez prawdziwość
przesłanki większej.

To, że mieliśmy do dyspozycji dwa obszary, zaznaczyliśmy, łącząc oba X-y kreską.
Taką sytuację (dwa obszary, na których może znaleźć się X) interpretujemy jako
świadectwo niepoprawności trybu. Przesłanka będąca zdaniem szczegółowym
w takim przypadku może być prawdziwa na trzy różne sposoby:
a) kiedy zarówno obszar V, jak i VI są niepuste,
b) kiedy V jest niepuste, a VI puste,
c) kiedy V jest puste, a VI niepuste.

Łatwo zauważyć, że prawdziwość wniosku gwarantuje tylko przypadek a) i b). Jeżeli
zajdzie c), to wniosek jest fałszywy, mimo prawdziwości przesłanki.

A zatem w sytuacji, kiedy zaznaczając prawdziwość zdania szczegółowego, jesteśmy
zmuszeni postawić X na dwóch polach, sygnalizujemy to, łącząc je kreską. X
połączony kreską z innym X-em interpretujemy jako znak mówiący, że jest możliwe,
iż dany zbiór jest niepusty, ale nie jest tak w każdej sytuacji. A to oznacza, że jeżeli
wniosek też jest zdaniem szczegółowym i X stoi w miejscu, w którym gwarantuje
prawdziwość tego zdania, to bierzemy go pod uwagę tylko wtedy, gdy nie występuje
z kreską. W przeciwnym wypadku traktujemy rozumowanie jako niepoprawne. Kogo
nie przekonały powyższe wywody, niech zwróci uwagę na następujące rozumowanie
falsyﬁkujące analizowany tryb:

Każdy ssak to kręgowiec. Niektóre kręgowce to ryby. Więc niektóre ryby to

ssaki.

Rysunek 12

5. Język KRK

5.1. Ograniczenia logiki arystotelesowskiej

We wstępie do tego modułu wskazaliśmy na ograniczenia KRZ w analizie rozumowań
z języka potocznego. Rachunek nazw pozwala poszerzyć zakres analizy, ale tylko
w ograniczony sposób. Rozważmy następujące rozumowanie:

Adam jest niższy od Bogdana. Bogdan jest niższy od Cezarego. Zatem Adam jest
niższy od Cezarego.

Rozumowanie to jest intuicyjnie poprawne, chociaż entymematyczne. Jednak nawet
po uzupełnieniu go przesłanką charakteryzującą relację „niższości” o postaci: „Jeżeli
ktoś jest niższy od drugiej osoby, a ta jest niższa od trzeciej, to i on jest niższy od tej
trzeciej”, nie jesteśmy w stanie wykazać jego poprawności. Nie jest to możliwe na
gruncie KRZ, gdyż brak tu spójników i poprawność rozumowania zależy od struktury
wewnętrznej zdań. Jednak w rachunku nazw też nie możemy tego zrobić, gdyż
rozumowanie to nie składa się ze zdań kategorycznych. Dopiero klasyczny rachunek
kwantyﬁkatorów (KRK) jest logiką wystarczającą do analizy takich rozumowań.

5.2. Nazwy i predykaty

W języku KRK też wyróżnia się nazwy i — podobnie jak w rachunku nazw
— kategorię tę rozumie się wąsko. Jednak podczas gdy w logice tradycyjnej za nazwy
uznawaliśmy jedynie nazwy ogólne, to w KRK za nazwy uznajemy tylko nazwy
jednostkowe, a nawet węziej — tylko nazwy indywidualne.

Nazwy te dzielimy na dwie grupy. S t a ł e n a z w o w e to nazwy o ustalonym
desygnacie, czyli imiona własne. Będziemy je oznaczać literami: a, b, c, d. Oprócz
stałych potrzebne są z m i e n n e n a z w o w e , które nie mają w danym kontekście
ustalonego znaczenia. Będziemy je oznaczać literami: x, y, z.

W języku  KRK  rozważamy  funktory  zdaniotwórcze  od  argumentów  nazwowych
zwane  predykatami.  Dzielimy  je  na  predykaty  1-argumentowe  (kategorii  z/n),
2-argumentowe  (z/n,  n),  3-argumentowe  (z/n,  n,  n).  Teoretycznie  można  też
wprowadzić predykaty o większej liczbie argumentów, ale zazwyczaj nie ma takiej
potrzeby.  Przykładami  predykatów  są  wyrażenia:  „...biegnie”,  „...jest  wysoki”,
„...kocha...”,  „...jest  niższy  od...”,  „...leży  między...a...”,  gdzie  za  pomocą  „...”
zaznaczyliśmy położenie i liczbę argumentów nazwowych dla danego predykatu.

Funkcją  predykatów  1-argumentowych  jest  wyrażanie  własności  (cech)
obiektu,  którego  nazwa  jest  ich  argumentem.  Natomiast  predykaty  dwu-,  trój-
i więcejargumentowe  wyrażają  relacje  zachodzące  między  parami,  trójkami,
... obiektów.

Zauważmy, że w języku KRK nazwy ogólne (np. „wysoki”) są traktowane jako
składnik predykatu, podobnie jak funktor „jest”, który w rachunku nazw był częścią
stałych logicznych (a, e, i, o).

5.3. Formuły atomowe

Predykaty oznaczać będziemy za pomocą liter od A do Z, w miarę możliwości
wybierając pierwszą literę odpowiedniego wyrażenia z języka polskiego. Argumenty
predykatu będziemy zawsze podawać na prawo od jego symbolu, w ustalonej
kolejności.

Zdania typu: „Adam biegnie” czy „Adam jest mężczyzną” zapiszemy jako proste
formuły atomowe: „Ba”, „Ma”. W przypadku obu zdań nie ma innej możliwości,
gdyż oba przypisują pewnemu obiektowi pewną własność. W szczególności w drugim
z nich mamy do czynienia z tzw. predykatywnym użyciem funktora „jest”, które
oznacza, że obiekt jest elementem pewnego zbioru. Weźmy pod uwagę zdanie:

Adam czyta Kocią kołyskę.

Można je również potraktować jako formułę tego typu („Ca”), ale bardziej wskazane
jest potraktowanie go jako

formuły relacyjnej

o schemacie: „Cab”, gdzie „b” denotuje

tę konkretną powieść, a „C” dwuargumentowy predykat „...czyta...”.

W przypadku  zdań  relacyjnych  najważniejszym  problemem  jest  przestrzeganie
kolejności  argumentów  predykatu  wobec  możliwości  pojawienia  się  różnych
form gramatycznych. Np. zdanie „Adam kocha Beatę” i „Beata jest kochana przez
Adama” należy wyrazić taką samą atomową formułą relacyjną Kab, gdzie K denotuje
„...kocha...”. Błędem jest zarówno użycie do każdego z tych zdań innego symbolu
predykatu,  jak  i przepisanie  w drugim  przypadku  nazw  argumentów  w takiej
kolejności, jaką dyktuje zdanie.

5.4. Zdania proste a złożone

Osobny problem to wyrażanie w języku KRK c h a r a k t e r y s t y k z ł o ż o n y c h .

Rozważmy zdanie:

Adam jest wysokim blondynem.

Należy je ująć jako koniunkcję dwóch zdań atomowych, czyli „Wa ∧ Ba”. Jak
widać, w języku KRK używamy spójników KRZ w standardowy sposób, po prostu
zamiast zmiennych zdaniowych występują formuły atomowe KRK. Podana przez nas
formalizacja 3. jest poprawna, gdyż zachowuje logiczne własności tego zdania, np.
z formuły tej wynika zarówno formuła „Wa”, jak i „Ba”. Analogicznie ze zdania 3.
wynika zarówno zdanie „Adam jest wysoki”, jak i „Adam jest blondynem”.

Z drugiej strony zdania:

Adam jest niskim koszykarzem

nie możemy potraktować tak samo. Ktoś, kto jest niskim koszykarzem, ma np. 1,80 m
wzrostu, a to nie daje podstaw do uznania za prawdziwe zdania „Adam jest niski”.
Zdania 3. i 4. mają taką samą formę gramatyczną, ale inną

formę logiczną

. W 3.

o obiekcie orzeka się dwie niezależne charakterystyki, natomiast w 4. orzeka się
o nim jedną złożoną charakterystykę, w której „niski” stosuje się nie do Adama, ale
do dowolnego koszykarza. W związku z tym 4. należy zapisać jako formułę atomową,
np. „Na”. Konsekwencją tego jest niestety utrata pewnych logicznych własności
zdania 4., np. wynika z niego zdanie „Adam jest koszykarzem”, ale z formuły „Na”
nie wynika formuła „Ka” (gdzie „K” denotuje „...jest koszykarzem...”). Ważniejsze

jest jednak tutaj raczej to, że — na szczęście — formalizacja zdania „Adam jest niski”
(np. „Ma”) również nie będzie wynikała z „Na”.

5.5. Kwantyﬁkatory

Spójniki  KRZ  to  nie  jedyne  stałe  logiczne  języka  KRK.  Gdyby  tak  było,  to  pod
pewnymi  względami  język  ten  byłby  uboższy  od  języka  rachunku  nazw.  Dopiero
dodanie kwantyﬁkatorów czyni z niego potężne narzędzie formalizacji. Wyróżniamy
dwa kwantyﬁkatory:
—   o g ó l n y   (który czytamy: „dla każdego...”) o symbolu  ∀,
—   s z c z e g ó ł o w y   („dla pewnego...”, „istnieją takie, że...”) o symbolu  ∃.

Oba  kwantyﬁkatory będą  występowały  zawsze  w połączeniu  ze  zmiennymi
nazwowymi,  które  mają  wiązać  (czyli  do  których  się  odnoszą)  w danej  formule
w następujący  sposób:  „∀x”  (czytamy:  „dla  każdego  x”),  „∀xyz”  (czytamy:
„dla  każdego  x,  y,  z”).  Podobnie  jak  predykaty,  stawiamy  je  z lewej  strony  zdań,
które  poddawane  są  kwantyﬁkacji. Jeżeli  zdanie  kwantyﬁkowane jest złożone,  to
dodatkowo bierzemy je w nawias, podobnie jak w przypadku negacji.

Wyrażenia z języka polskiego, dla których formalizacji można użyć kwantyﬁkatora
ogólnego to:

„każdy”, „wszystko”, „zawsze”, „wszędzie”,

natomiast formalizowane przez kwantyﬁkator szczegółowy to:

„pewne”, „niektóre”, „coś”, „istnieje”, „kiedyś”, „gdzieś”.

Łącząc kwantyﬁkator ogólny z negacją, można też formalizować zwroty typu:

„nie każdy”, „żaden”, „nigdy”, „nigdzie”.

Podejmując  decyzję  o użyciu  kwantyﬁkatora, trzeba dobrze rozważyć,  czy  dane
wyrażenie  wymaga  formalizacji  przez  ogólny,  czy  szczegółowy  kwantyﬁkator.
Przykładowo zdanie „Cokolwiek jest psem, jest zwierzęciem” jest zdaniem typu SaP
i wymaga  użycia  kwantyﬁkatora ogólnego  (patrz  niżej).  Natomiast  zdanie  „Adam
czyta  cokolwiek”  wymaga  raczej  użycia  kwantyﬁkatora szczegółowego,  co  zaraz
zademonstrujemy.

Zdania  typu:  „Coś  jest  ciężkie”,  „Wszystko  ma  masę”  wymagają  użycia
kwantyﬁkatorów  —  odpowiednio:  „∃xCx”,  „∀xMx”.    Zdania:  „Wszystko  jest
większe  od  czegoś”  i „Coś  jest  większe  od  wszystkiego”  zapiszemy  odpowiednio:
„∀x∃yWxy”,  „∃x∀yWxy”.  Zdanie  „Adam  kogoś  kocha”  zapiszemy  „∃xKax”
— w analogiczny sposób zapiszemy formę wspomnianego wyżej zdania „Adam czyta
cokolwiek”.

Są  to  proste  przykłady  kwantyﬁkacji zdań  atomowych.  Natomiast  zdanie  „Adam
czyta  j a k ą ś   książkę”  jest  już  przykładem  kwantyﬁkacji zdania złożonego,  którą
zapiszemy: „∃x(Kx ∧ Cax)” (gdzie K denotuje „...jest książką”, a C — „...czyta...”).
Tutaj  jesteśmy  już  zmuszeni  do  użycia  dodatkowego  predykatu  kwaliﬁkującego
zmienną kwantyﬁkowaną i zastosowania jakiegoś spójnika łączącego, zatem zdanie,
którego  forma  gramatyczna  jest  bardzo  nieskomplikowana,  okazuje  się  zdaniem
złożonym.

5.6. Zdania kategoryczne

W języku KRK bez problemu możemy formalizować zdania kategoryczne według
schematu:
SaP

oddamy przez ∀x(Sx → Px)

SeP

oddamy przez ∀x(Sx → ¬Px)

SiP

oddamy przez ∃x(Sx ∧ Px)

SoP

oddamy przez ∃x(Sx ∧ ¬Px)

Jak widać, zdania proste rachunku nazw są tutaj traktowane jako formuły złożone.
Co więcej, jeżeli chcemy dokładnie oddać znaczenie obu zdań ogólnych, należy je
jeszcze bardziej skomplikować. SaP należy zapisać jako ∀x(Sx → Px) ∧ ∃xSx, a SeP
jako ∀x(Sx → ¬Px) ∧ ∃xSx. W ten sposób dodatkowo informujemy o niepustości
nazwy S.

5.7. Relacje

Język KRK, który pozwala nam analizować strukturę wewnętrzną dowolnych zdań
a nie tylko zdań kategorycznych, pozwala sformalizować również rozumowanie
1., które zawiera zdania relacyjne. Jego zapis, po dodaniu dodatkowej przesłanki,
wygląda następująco:

Nab, Nbc, ∀xyz[(Nxy ∧ Nyz) → Nxz] / Nac

Dodana przesłanka mówi o tym, że relacja wyrażana predykatem „...jest niższy od...”
jest

przechodnia

. Na gruncie KRK łatwo możemy potwierdzić nasze intuicje dotyczące

poprawności analizowanego rozumowania. Jeżeli w przesłance charakteryzującej
relację „N” odłączymy kwantyﬁkator, a za zmienne podstawimy stałe nazwowe
według schematu: x – a, y – b, z – c, to otrzymamy schemat:

Nab, Nbc, (Nab ∧ Nbc) → Nac / Nac

Operacja odłączania kwantyﬁkatora i zamieniania zmiennych na stałe to przykład
poprawnej reguły wnioskowania KRK, której intuicyjny sens jest następujący: jeżeli coś
jest orzekane o wszystkich obiektach (danej kategorii), to można to orzec o każdym
konkretnie wybranym obiekcie. Otrzymany schemat można sprawdzić za pomocą
metody skróconej, co wykaże, że jeżeli przesłanki są prawdziwe, to wniosek też.

Korzystając z języka KRK, można wyrazić wiele innych interesujących własności
relacji dwuargumentowych, takich jak zwrotność czy symetria.

Bibliograﬁa

1.  Ajdukiewicz K., 1959: Zarys logiki, PZWS,Warszawa.
2.  Arystoteles, 1990: Dzieła wszystkie, t. 1, PWN,Warszawa.
3.  Borkowski L., 1976: Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa.
4.  Bremer J., W., 2004: Wprowadzenie do logiki, Wydawnictwo WAM, Kraków.
5.  Chodkowski T., Nieznański E., Świętorzecka K., Wójtowicz A., 2000: Elementy

logiki prawniczej, PWP Iuris, Warszawa.

6. Gumański L., 1990: Wprowadzenie w logikę współczesną, PWN, Warszawa.
7. Mill J., S., 1962: System logiki dedukcyjnej i indukcyjnej, t. I–II, PWN,

Warszawa.

8. Przybyłowski J., 2001: Logika z ogólną metodologią nauk, Wydawnictwo

Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk.

9. Skarbek W., 2004: Logika dla humanistów, NWP, Piotrków Trybunalski.
10. Szymanek K., 2001: Sztuka argumentacji. Słownik terminologiczny, PWN,

Warszawa.

11.  Tokarz M., 1984: Wprowadzenie do logiki, Uniwersytet Śląski, Katowice.
12.  Trzęsicki K., 1996: Logika, nauka i sztuka, Temida, Białystok.
13.  Wójcicki  R.,  2003:  Wykłady  z logiki  z elementami  teorii  wiedzy,  Scholar,

Warszawa.

14. Ziembiński Z., 1993: Logika praktyczna, PWN, Warszawa.

Bibliograﬁa stron WWW

15. John Carroll University. Witryna internetowa.,
www.jcu.edu/philosophy/gensler, stan z 20.12.2005.

Słownik

Argumenty

— typowe sposoby uzasadniania poglądów stosowane w dyskusji. Ich

ocena dotyczy raczej skuteczności, nie zaś logicznej poprawności. Niektóre można
jednak  zdecydowanie  uznać  za  nieuczciwe  sposoby  przekonywania,  toteż  określa
się  je  często  jako  fortele  (sztuczki)  erystyczne  i traktuje  jako  rodzaj  błędnych
rozumowań. Do najbardziej znanych należą argumentum ad autoritatem (odwołanie
się  do  autorytetu,  odwoływanie  się  do  litości  dyskutanta  lub  audytorium),
argumentum  ad  verecundiam  (odwoływanie  się  do  nieśmiałości  dyskutanta),
argumentum  ad  vanitatem  (odwoływanie  się  do  próżności  naszego  rozmówcy),
argumentum ad hominem (odwołanie się do poglądów oponenta, aby wykorzystać
je dla własnych celów), argumentum ad personam (argumenty, w których poglądy
oponenta podważa się w sposób pośredni, wskazując, że jest to osoba nieuczciwa,
niemoralna, niekompetentna itp.), argumentum ad baculum (odwołanie się „do kĳa”,
do  gróźb),  argumentum  ad  misericordiam  (odwoływanie  się  do  litości  dyskutanta
lub  audytorium),  argumentum  ad  populum  (używanie  rozmaitych  chwytów
demagogicznych „pod publiczkę”, aby zyskać jej poparcie).

Błędy deﬁnicji

— błędy popełniane podczas deﬁniowania. Wyróżnić można m.in. błąd

ignotum per ignotum (niezrozumiałe przez niezrozumiałe) oraz błąd idem per idem,
zwany też błędnym kołem (circulus vitiosus) w deﬁnicji. Tutaj dodatkowo występują
dwa typy — błędne koło bezpośrednie (ten sam termin w deﬁniendum i deﬁniensie
tej samej deﬁnicji) oraz błędne koło pośrednie, gdzie mamy do czynienia z ciągiem
deﬁnicji takim, że każda następna wyjaśnia pewien termin występujący w deﬁniensie
poprzedniej, a w deﬁniensie ostatniej pojawia się ponownie termin z deﬁniendum
pierwszej deﬁnicji. Inne rodzaje błędów dotyczą niezgodności zakresów deﬁniensa
i deﬁniendum. Deﬁnicja jest za szeroka, gdy zakres deﬁniendum jest podrzędny
względem zakresu deﬁniensa, natomiast za wąska, gdy zakres deﬁniendum jest
nadrzędny względem zakresu deﬁniensa.Może też zachodzić krzyżowanie się zakresów
lub tzw. błąd kategorialny, gdy zakresy obu członów deﬁnicji są rozłączne.

Błędy logiczne

— różne rodzaje wykroczeń przeciwko regułom użycia języka,

powodujące zakłócenia w komunikacji, wynikające m.in. z wieloznaczności,
nieostrości, niedookreśloności, używania wyrażeń okazjonalnych, niezrozumiałych.
Typowym przykładem takiego błędu jest amﬁbologia, czyli wadliwa składnia
umożliwiająca różną interpretację tekstu.

Błędy rozumowań

— tradycyjnie dzieli się je na materialne (fałszywość przynajmniej

jednej przesłanki) i formalne (niepoprawny schemat rozumowania). Dodatkowo
wyróżnia się wiele szczególnych przypadków. Do najważniejszych należą ekwiwokacja
(użycie pewnego terminu w różnych znaczeniach w obrębie jednego rozumowania)
oraz logomachia (użycie pewnego terminu w różnych znaczeniach w dyskusji).

Błąd formalny

— brak wynikania w rozumowaniu, które przedstawia się jako

poprawne (niezawodne).

Błąd materialny

— fałszywość co najmniej jednej przesłanki w rozumowaniu.

Deﬁnicja

— językowy sposób wyjaśnienia znaczenia jakiegoś wyrażenia (deﬁnicja

nominalna)  lub  podanie  charakterystyki  przedmiotu  (deﬁnicja realna). Deﬁnicja
składa  się  z trzech  części:  deﬁniendum (część  zawierająca  termin  deﬁniowany),
łącznika  deﬁnicyjnego (zwanego często  spójką  deﬁnicyjną)  i deﬁniensa (część
wyjaśniająca  znaczenie).  Ze  względu  na  spełniane  zadania  wyróżnia  się  trzy

rodzaje deﬁnicji: deﬁnicje sprawozdawcze — inaczej słownikowe — które służą
do wyjaśniania, w jakim znaczeniu dane wyrażenie jest obecnie w pewnym języku
używane; deﬁnicje regulujące — które służą precyzacji znaczenia danego wyrażenia,
np. w przypadku nazw nieostrych podają propozycję uściślenia ich zakresu; deﬁnicje
projektujące — powstające wówczas, gdy pojawia się potrzeba nazwania nowego
zjawiska w danym języku.

Funkcje komunikacyjne

— ogół celów realizowanych przez użycie języka. Do funkcji

komunikacyjnych  należą:  funkcja  ekspresywna  (wyrażanie  stanów  wewnętrznych
użytkownika  języka),  funkcja  perswazyjna  (oddziaływanie  na  słuchacza),  funkcja
fatyczna  (utrzymywanie  kontaktu  między  użytkownikami),  funkcja  opisowa
(przekazywanie informacji).

Indukcja

— ogólna nazwa klasy schematów rozumowania, z których większość jest

zawodna,  ale  często  wykorzystywana  w praktyce.  Można  tu  wyróżnić:  indukcję
eliminacyjną, indukcję enumeracyjną oraz indukcję matematyczną. Najpopularniejsza
(często zwana po prostu indukcją) jest indukcja enumeracyjna, czyli przez wyliczenie.
Na  podstawie  skończonej  liczby  przesłanek,  które  są  zdaniami  szczegółowymi,
dochodzi się do wniosku ogólnego. W indukcji eliminacyjnej stosuje się tzw. kanony,
czyli  pewne  dodatkowe  schematy  rozumowania.  Należą  do  nich  m.in.  kanony:
jedynej zgodności i jedynej różnicy.

Języki sztuczne

— języki konstruowane do specjalnych celów, np. w logice do analizy

znaczenia wybranych wyrażeń. Charakteryzują się prostą i konsekwentną gramatyką,
a w semantyce brakiem wieloznaczności.

Kategoria syntaktyczna

— zbiór wyrażeń, które mogą być wzajemnie wymienialne bez

utraty składniowej spójności kontekstu, w którym ta wymiana się odbywa. Kategorie
syntaktyczne dzielimy na samodzielne (zdania i nazwy) oraz niesamodzielne
(funktory).

Klasyczny rachunek kwantyﬁkatorów (KRK)

— podstawowy rachunek logiczny, zwany

często po prostu logiką klasyczną (również rachunek predykatów, rachunek 1-go
rzędu, rachunek funkcyjny).

Klasyczny rachunek zdań (KRZ)

— elementarna część logiki klasycznej, w której jedyne

wyróżnione stałe logiczne to pewne spójniki ekstensjonalne.

Klasyﬁkacja odpowiedzi

— wśród wielu rodzajów możliwych odpowiedzi na różne

rodzaje  pytań  można  wyróżnić  odpowiedź  właściwą  —  uzupełnienia  pewnego
schematu, który sugeruje pytanie; odpowiedź częściową —  zdanie, z którego nie
wynika  żadna  odpowiedź  właściwa,  ale  które  wyklucza  niektóre  spośród  nich;
odpowiedź  wyczerpującą  —  zdanie  prawdziwe,  z którego  wynikają  wszystkie
odpowiedzi właściwe i prawdziwe.

Kwadrat logiczny

— graﬁczny sposób prezentacji relacji logicznych zachodzących

między zdaniami kategorycznymi o tym samym podmiocie i orzeczniku.

Kwantyﬁkatory

— wyrażenia określające, czy chodzi o wszystkie elementy danego

zbioru (kwantyﬁkator ogólny), czy o ich część (kwantyﬁkator szczegółowy).
Kwantyﬁkator zawsze występuje wraz z symbolem zmiennej nazwowej, która jest
przez niego związana.

Operacja formalizacji tekstu

— przekład z języka naturalnego na język KRK lub inny

język sztuczny w celu wyeliminowania wieloznaczności. Poprawna formalizacja musi
zachować co najmniej warunki prawdziwości zdań tłumaczonych.

Podział logiczny

— jest to podstawowy zabieg porządkujący określoną dziedzinę

badań. Podział — aby był logiczny — musi spełniać warunek adekwatności (suma
zbiorów będących członami podziału musi dawać w rezultacie zbiór dzielony),

warunek rozłączności (zbiory będące członami podziału muszą być parami rozłączne),
warunek niepustości (każdy człon podziału musi coś zawierać). Skrzyżowanie różnych
podziałów to klasyﬁkacja, zaś uporządkowanie członów podziału to systematyzacja.

Pytania

— wypowiedzi, których zasadniczym celem jest zdobycie informacji. Składają

się zazwyczaj z partykuły pytajnej i tzw. datum questionis (danej pytania). Wyróżnić
można pytania otwarte i pytania zamknięte (pytania zamknięte dopełnienia, pytania
zamknięte rozstrzygnięcia).

Rachunek nazw (tradycyjny)

— system logiki stworzony przez Arystotelesa,

w którym analizuje się pewne formy rozumowań zachodzących pomiędzy zdaniami
kategorycznymi.

Reguły niezawodne

— schematy rozumowań, w których wniosek wynika z przesłanek,

np. modus ponendo ponens, sylogizm hipotetyczny, dylemat konstrukcyjny prosty.

Relacje logiczne

— zachodzą między zdaniami w sensie logicznym. Do najważniejszych

należy pięć niżej wymienionych:
— Z

w y n i k a z Z

wtw, „Jeżeli Z

, to Z

” jest zdaniem analitycznie prawdziwym.

— Z

i Z

są r ó w n o w a ż n e wtw, „Z

wtw, Z

” jest zdaniem analitycznie

prawdziwym.

— Z

i Z

w y k l u c z a j ą s i ę wtw, „Z

i Z

” jest zdaniem kontradyktorycznym.

— Z

i Z

d o p e ł n i a j ą s i ę wtw, „Z

lub Z

” jest zdaniem analitycznie

prawdziwym.

— Z

i Z

są s p r z e c z n e wtw, „Z

wtw, Z

” jest zdaniem kontradyktorycznym.

Relacje między zakresami nazw

— w przypadku nazw ogólnych można wyróżnić pięć

rodzajów relacji zachodzących między ich zakresami. Ekstensje dwóch nazw mogą:
— być r ó w n o w a ż n e (tożsame), gdy jest to ten sam zbiór, np. „kobieta”

i „niewiasta”,

— być w relacji p o d r z ę d n o ś c i (ostrego zawierania się), gdy każdy desygnat jednej

nazwy jest desygnatem drugiej, ale nie odwrotnie (ta druga nazwa jest wtedy
w relacji n a d r z ę d n o ś c i względem pierwszej), np. „ssak”, „kręgowiec”,

— w y k l u c z a ć s i ę (być rozłączne), gdy nie mają wspólnych desygnatów, np.

„piernik” i „wiatrak”,

— k r z y ż o w a ć s i ę , gdy mają jakieś desygnaty wspólne i każda z nich ma

desygnaty, które nie należą do zakresu drugiej, np. „ssak”, „drapieżnik”.

Rozumowanie

— jako czynność: proces psychiczny zmierzający do uznania pewnych

zdań (wniosków) na podstawie innych zdań (przesłanek); jako rezultat: tekst
językowy, w którym pewne zdania występują w funkcji przesłanek, a inne w funkcji
wniosków.

Rozumowanie entymematyczne

— rozumowanie, w którym pominięto przesłanki lub

uznano za oczywiste, lub zdania w oczywisty sposób z nich wynikające a prowadzące
do wniosku końcowego.

Rozumowanie poprawne (dedukcyjne, niezawodne)

— takie rozumowanie, w którym

pomiędzy przesłankami a wnioskiem zachodzi relacja wynikania.

Rozumowanie uprawdopodobniające

— rozumowanie, w którym nie zachodzi

wynikanie między przesłankami a wnioskiem, ale w którym prawdziwość przesłanek
zwiększa prawdopodobieństwo zachodzenia wniosku, np. różne formy indukcji czy
rozumowania przez analogię.

Semiotyka logiczna

— dział logiki zajmujący się badaniem systemów znakowych.

Dzieli się na syntaktykę, badającą reguły składni, semantykę, badającą relacje między
znakami i ich znaczeniem oraz pragmatykę, badającą relacje między znakami a ich
użytkownikami.

Semantyka KRZ

— (czyli teoria znaczenia języka) jest ekstensjonalna — oznacza to,

że nie uwzględnia się w niej formalnie sądów logicznych, a tylko wartości logiczne
zdań. Podstawowe jest tutaj pojęcie wartościowania zmiennych. Wartościowaniem
nazywamy dowolne odwzorowanie V ze zbioru zmiennych zdaniowych w zbiór
{1,0}. Deﬁnicje znaczenia spójników pokazują, w jaki sposób dane wartościowanie
należy poszerzyć na dowolną formułę złożoną.

Sprzeczność w KRZ

— zbiór formuł X jest sprzeczny wtw, nie istnieje wartościowanie,

przy którym wszystkie formuły z tego zbioru są prawdziwe.

Stałe logiczne

— są to wyróżnione wyrażenia, których znaczenie jest precyzyjnie

ustalone na gruncie semantyki danej logiki. W KRZ są to spójniki, czyli funktory
zdaniotwórcze: funktor negacji oraz dwuargumentowe funktory koniunkcji,
alternatywy, implikacji, równoważności.

Tautologia KRZ

— formuła, która jest prawdziwa przy każdym wartościowaniu

(prawda  logiczna).  Formuła,  która  przy  każdym  wartościowaniu  jest  fałszywa,  to
kontrtautologia albo fałsz logiczny. Formuły, których wartość logiczna nie jest stała,
lecz zmienia się — w zależności od wartościowania — to formuły kontyngentne.
Przykłady tautologii KRZ:
— prawo wyłączonego środka   p∨¬p,
— prawo (nie)sprzeczności   ¬(p∧¬p),
— prawo tożsamości p → p (lub, w mocniejszej postaci p ↔ p),
— sylogizm hipotetyczny [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r),
— modus ponendo ponens  [(p → q) ∧ p] → q.

Wynikanie w KRZ: ze zbioru X wynika p wtw, dla dowolnego wartościowania V,
przy którym V(X) = 1, to V(p) = 1.

Wnioskowania bezpośrednie

— reguły niezawodne, w których wniosek wyprowadza

się z jednej przesłanki (np. obwersja, konwersja, kontrapozycja).

Wnioskowania pośrednie (sylogizmy)

— reguły niezawodne, w których wniosek

wyprowadza się z dwóch przesłanek. W sylogizmie występują trzy różne terminy,
każdy po dwa razy w całym rozumowaniu ale tylko raz w danym zdaniu. Termin
występujący w obu przesłankach to termin średni, orzecznik wniosku to termin
większy a podmiot wniosku to termin mniejszy.

Wynikanie

— wniosek wynika z przesłanek wtw, jeżeli jest n i e m o ż l i w e , żeby

wszystkie przesłanki były prawdziwe, a wniosek fałszywy.

Zasada brzytwy Ockhama

— zasada nawołująca do tego, by nie mnożyć bytów bez

potrzeby.

Zasada dwuwartościowości

— każde zdanie (w sensie logicznym) posiada jedną

z dwóch wartości logicznych: jest prawdziwe lub fałszywe.

Zasada niesprzeczności

— żadne zdanie stwierdzające jakiś stan rzeczy nie może być

zarazem prawdziwe i fałszywe. Innymi słowy, nie jest możliwe, aby jakiś stan rzeczy
zachodził i nie zachodził zarazem.

Zasada racji dostatecznej

— zasada mówiąca, że dla każdego twierdzenia należy podać

wystarczające uzasadnienie, czyli dostateczną rację dla jego uznania.

Zasada życzliwej interpretacji

— taki sposób interpretowania tekstu w procesie

formalizacji, który stara się zachować logiczne relacje i własności (np. wynikanie
i niesprzeczność).

Zbiór uporządkowany

— zbiór, na którego elementy nałożono pewną relację

porządkującą. Dwa ważne rodzaje takich relacji to relacja częściowego porządku
i relacja liniowego porządku.

Spis symboli

n — nazwa

z — zdanie

z/z — funktor zdaniotwórczy od jednego argumentu zdaniowego

z/z,z — funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych

z/n — funktor zdaniotwórczy od jednego argumentu nazwowego

z/n,n — funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów nazwowych

n/n — funktor nazwotwórczy od jednego argumentu nazwowego

n/n, n — funktor nazwotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych

(z/n)/(z/n) — funktor funktorotwórczy (tworzy funktor o kategorii z/n) od jednego
argumentu funktorowego kategorii z/n

, Z

— zdania oznajmujące

p, q, r, s, t — zmienne zdaniowe (dowolne zdania oznajmujące)

X — zbiór zdań

X / p — schemat rozumowania o przesłankach X i wniosku p ( X, zatem p)

¬p — negacja p (nieprawda, że p)

(p ∧ q) — koniunkcja p i q (p i q)

(p ∨ q) — alternatywa p i q (p lub q)

(p → q) — implikacja o poprzedniku p i następniku q (jeżeli p, to q)

(p ↔ q) — równoważność p i q (p wtedy i tylko wtedy, gdy q)

1 — symbol prawdy

0 — symbol fałszu

S — podmiot (subiectum) zdania kategorycznego

P — orzecznik (predicatum) zdania kategorycznego

T — termin średni

S’ — nazwa zaprzeczona (nie-S)

SaP — zdanie ogólno-twierdzące (Każde S jest P)

SeP — zdanie ogólno-przeczące (Żadne S nie jest P)

SiP — zdanie szczegółowo-twierdzące (Niektóre S są P)

SoP — zdanie szczegółowo-przeczące (Niektóre S nie są P)
∅ — zbiór pusty

S∪P — suma zbiorów S i P

S∩P — iloczyn (przekrój) zbiorów S i P

Document Outline