Tradycyjny rachunek nazw

Wstęp

W tym module zajmiemy się rachunkiem nazw, zwanym często po prostu logiką tradycyjną albo arystotelesowską. Jest to system o możliwościach zbyt ograniczonych, aby pozwolić na analizę wielu rozumowań w języku naturalnym. Mimo to, zakres jego zastosowań pod pewnym względem przewyższa możliwości rachunku zdań omawianego w poprzednim module. Zademonstrujemy to na prostym przykładzie. Poniższe rozumowanie jest poprawne:

Wszystkie słonie są ssakami. Każdy ssak jest kręgowcem. Zatem każdy słoń jest kręgowcem.

Jednak próba wykazania jego poprawności przy użyciu KRZ jest skazana na niepowodzenie, gdyż nie występują tu w ogóle spójniki. Na gruncie KRZ schemat powyższego rozumowania wygląda więc następująco:

p, q / r

Wystarczy użyć wartościowania V(p) = V(q) = 1 i V(r) = 0, aby taki schemat poddać falsyfikacji. Aby wykazać, że interesujące nas rozumowanie jest poprawne, musimy umieć poddać analizie strukturę wewnętrzną jego zdań składowych, a to umożliwia rachunek nazw.

Poświęcimy prezentacji rachunku nazw cztery tematy. W ostatnim przedstawimy język klasycznego rachunku kwantyfikatorów (w skrócie KRK), który jest współczesną formą logiki klasycznej i zawiera w sobie zarówno rachunek zdań, jak i rachunek nazw. Jednak KRK to dużo bardziej skomplikowany system i dlatego więcej uwagi poświęcimy prostszemu systemowi, czyli rachunkowi nazw.

1. Zdania kategoryczne

1.1. Logika Arystotelesa

Historycznie pierwszy system logiczny, zbudowany przez Arystotelesa blisko 2,5 tysiąca lat temu, nie był logiką zdań, ale logiką nazw. Arystoteles wprawdzie intuicyjnie stosował niektóre zasady klasycznego rachunku zdań, ale nie rozwinął go w systematyczny sposób. Zbudował natomiast ograniczoną wersję rachunku nazw, czyli takiej logiki, w której występują zmienne nazwowe.

Ograniczenia logiki Arystotelesa są dość istotne. Po pierwsze, w jego systemie występują tylko zmienne reprezentujące nazwy ogólne, czyli posiadające więcej niż jeden desygnat. Po drugie, analizowane są tylko wybrane rodzaje zdań, tzw. zdania kategoryczne. Po trzecie, w jego systemie mamy ujęcie tylko bardzo specyficznej klasy rozumowań, tzw. wnioskowań bezpośrednich oraz pośrednich, określanych tradycyjnie jako sylogizmy. Ze względu na ważność tych ostatnich, logikę Arystotelesa określa się często jako sylogistykę.

Współczesna logika matematyczna, czyli tzw. klasyczny rachunek kwantyfikatorów (KRK) — z powodu jej zasięgu — jest znacznie przydatniejszym narzędziem analizy rozumowań. Zarówno rachunek zdań, jak i sylogistyka, są po prostu jej częściami. Jednak KRK jest systemem złożonym i jego dokładna prezentacja przekracza ramy tego kursu. W ostatnim temacie ograniczymy się tylko do bardzo krótkiego wprowadzenia do języka KRK, natomiast resztę modułu przeznaczymy na prezentację systemu Arystotelesa.

Mimo swoich ograniczeń, sylogistyka jest bardzo pożytecznym narzędziem. Przede wszystkim jest to system znacznie prostszy od KRK i dlatego można go sobie przyswoić nawet w ramach krótkiego kursu logiki. Poza tym w ramach sylogistyki formalizuje się bardzo popularne rodzaje rozumowań, które często nam w życiu towarzyszą. Dlatego, chociaż nie powinno się przeceniać znaczenia i zasięgu tego systemu, to warto opanować jego zasady.

1.2. Zdania kategoryczne

Są to zdania proste podmiotowo-orzecznikowe, w których występują dwie nazwy ogólne. Arystoteles dzielił je na 3 grupy, w zależności od siły orzekania. Jeżeli stwierdzamy, że pewna relacja między podmiotem i orzeczeniem zachodzi z konieczności, to jest to zdanie apodyktyczne. Jeżeli zachodzenie tej relacji stwierdzamy jako coś możliwego, to jest to zdanie problematyczne. W przypadku braku takiej kwalifikacji modalnej mamy do czynienia ze zdaniem asertorycznym.

W dalszym ciągu ograniczymy się do wykładu logiki zdań asertorycznych. Wyróżniamy cztery rodzaje takich zdań. Poniżej podamy ich przykłady oraz tradycyjny sposób formalizacji, w którym litery S i P to zmienne nazwowe, reprezentujące odpowiednio podmiot (subiectum) i orzecznik (praedicatum) zdania kategorycznego.

Zdanie:

1. Każdy pies jest zwierzęciem

to przykład zdania ogólno-twierdzącego, którego schemat zapiszemy następująco:

2. SaP, gdzie S — pies, P — zwierzę, a — Każdy... jest...

Schemat zdania ogólno-przeczącego, np.:

3. Żaden pies nie jest rybą

zapiszemy tak:

4. SeP, gdzie S — pies, P — ryba, e — Żaden... nie jest...

Zdanie:

5. Niektóre psy są inteligentne,

które reprezentuje tzw. zdania szczegółowo-twierdzące, zapiszemy:

6. SiP, gdzie S — pies, P — inteligentny, i — Niektóre... są...

Natomiast zdanie szczegółowo-przeczące, np:

7. Niektóre psy nie szczekają

zapiszemy tak:

8. SoP, gdzie S — pies, P — stworzenie szczekające, o — Niektóre... nie są...

Ostatni przykład pokazuje, że wiele zdań w języku polskim wymaga drobnego przeformułowania, aby uznać je za zdania kategoryczne w sensie ścisłym. Litery „a”, „e”, „i”, „o” oznaczają specyficzne stałe logiczne rachunku nazw, których znaczenie określa zarówno rodzaj kwantyfikacji występującej w zdaniu kategorycznym, jak i rodzaj orzekania. Z tego względu zdania kategoryczne dzieli się według ilości i jakości. Według jakości wyróżniamy zdania twierdzące i przeczące, według ilości — zdania ogólne i szczegółowe.

1.3 Prawdziwość zdań kategorycznych

Zastanówmy się nad warunkami prawdziwości zdań kategorycznych. Korzystając z tego, że ekstensją dowolnej nazwy ogólnej jest niepusty zbiór, wprowadzimy teoriomnogościową interpretację tych warunków. Symbole S i P oznaczać będą dalej nie tylko nazwy występujące jako podmiot i orzecznik, ale również ich ekstensje.

a) SaP jest prawdziwe wtw, S ⊆ P, co jest równoważne stwierdzeniu, że S − P = ∅,

b) SeP jest prawdziwe wtw, S ∩ P = ∅,

c) SiP jest prawdziwe wtw, S ∩ P ≠ ∅,

d) SoP jest prawdziwe wtw, S − P ≠ ∅.

Jak widać, prawdziwość każdego zdania kategorycznego da się sprowadzić do tego, czy pewien zbiór jest pusty, czy nie.

1.4 Reprezentacja graficzna

Powszechnie stosowanym i wygodnym sposobem sprawdzania poprawności rozumowań zbudowanych ze zdań kategorycznych są różnego rodzaju diagramy. Do analizy rozumowań sylogistycznych moglibyśmy np. zastosować diagramy Eulera, jednak efektywniejszą metodą okazują się diagramy Venna.

Diagram Venna dla dwóch zbiorów składa się z dwóch krzyżujących się okręgów:

Rysunek 1

Obszar I oznacza tu zbiór −S ∩ −P, II — S − P, III — S ∩ P, a IV — P − S. Problem graficznej reprezentacji prawdziwości zdań kategorycznych sprowadza się zatem do zaznaczenia na diagramie Venna pustości lub niepustości pewnego zbioru. Przyjmijmy,że w przypadku niepustości, na danym obszarze postawimy symbol X, a w przypadku pustości — ∅. Obszar, o którym nie mamy informacji, nie będzie zawierał żadnych symboli. Zgodnie z tą konwencją prawdziwość zdań kategorycznych będą wyrażać następujące diagramy:

a) SaP

Rysunek 2

b) SeP

Rysunek 3

c) SiP

Rysunek 4

d) SoP

Rysunek 5

2. Wnioskowanie bezpośrednie

2.1. Kwadrat logiczny

Zastanówmy się, jakie relacje logiczne zachodzą między różnymi zdaniami kategorycznymi o tym samym podmiocie i orzeczniku. W średniowieczu dla lepszego przedstawienia tych związków używano diagramu zwanego kwadratem logicznym.

Rysunek 6

Najłatwiej zauważyć, jaka relacja zachodzi w pionie pomiędzy zdaniami ogólnymi i szczegółowymi tej samej jakości. Jest to relacja wynikania, określana też w logice tradycyjnej jako relacja podporządkowania. Strzałki zaznaczają kierunek tej relacji, tzn. ze zdania ogólnego wynika zdanie szczegółowe (jest mu podporządkowane), ale nie odwrotnie.

Między zdaniami ogólnymi o różnej jakości (szczyt kwadratu) zachodzi relacja wykluczania (sprzeczności), zwana w logice tradycyjnej relacją przeciwieństwa i oznaczona linią przerywaną. Oznacza to, że choć zdania takie mogą być zarazem fałszywe, to prawdziwe oba być nie mogą. Przykładowo, podstawienie S — ssak, P — kręgowiec daje nam prawdziwość jednego ze zdań, a fałszywość drugiego. Podstawienie S — Polak, P — pijak daje nam fałszywość obu zdań.

Dół kwadratu (linia kropkowana) to relacja dopełniania, zwana tradycyjnie relacją podprzeciwieństwa. Zatem dwa zdania szczegółowe o różnej jakości nie mogą być zarazem fałszywe, choć oba mogą być prawdziwe. Przykładowo podstawienie S — krowa, P — łaciata daje prawdziwość obu zdań. Podstawienie S — ssak, P — kręgowiec daje nam prawdziwość jednego ze zdań a fałszywość drugiego.

Gruba linia łącząca zdania po przekątnej oznacza relację mocnej sprzeczności. W dowolnej parze zdań o różnej jakości i ilości zawsze jedno będzie prawdziwe a drugie fałszywe, choć możemy nie wiedzieć, które z nich jaką wartość logiczną posiada.

2.2. Znaczenie zwrotu „niektóre”

Warto podkreślić, że zwrot „niektóre” używany jest tutaj w znaczeniu „co najmniej jeden”, co oznacza, że zdanie szczegółowe jest prawdziwe również wtedy, gdy wszystkie desygnaty podmiotu mają własność wyrażaną przez orzecznik (w zdaniach twierdzących) lub jej nie mają (w zdaniach przeczących). Jest to istotne wyjaśnienie, gdyż potocznie często zwrotu tego używamy w znaczeniu „pewne, ale nie wszystkie”. W tym drugim znaczeniu nie moglibyśmy uznać np. zdania „Niektóre ssaki są kręgowcami” za prawdziwe (jak to zrobiliśmy powyżej). Co więcej, przy takim rozumieniu zwrotu „niektóre” nie zachodzi większość relacji logicznych zaznaczonych na kwadracie logicznym.

2.3. Prawa kwadratu logicznego

Tradycyjny rachunek nazw jest systemem logicznym nadbudowanym nad rachunkiem zdań. Oznacza to, że oprócz czterech nowych stałych logicznych, które budują zdania proste (czyli kategoryczne) możemy używać również spójników KRZ do budowy zdań złożonych. Skorzystamy z tego obecnie. Zachodzenie powyższych relacji pozwala nam stwierdzić, że poniższe formuły są prawami logicznymi (tautologiami) tradycyjnego rachunku nazw:

1. SaP → SiP

2. SeP → SoP

3. ¬SiP → ¬SaP

4. ¬SoP → ¬SeP

5. ¬(SaP ∧ SeP)

6. SaP → ¬SeP

7. SeP → ¬SaP

8. SiP ∨ SoP

9. ¬SiP → SoP

10. ¬SoP → SiP

11. SaP ↔ ¬SoP

12. SeP ↔ ¬SiP

13. SiP ↔ ¬SeP

14. SoP ↔ ¬SaP

Prawa 1-4 są pochodną wynikania; w szczególności 3 i 4 otrzymujemy z 1 i 2 przez kontrapozycję. Prawa 5-7 są konsekwencją wykluczania zdań ogólnych, a 8-10 — dopełniania zdań szczegółowych. Ostatnie cztery wzory charakteryzują sprzeczność mocną.

2.4. Wnioskowania bezpośrednie

Taką nazwą określa się w logice tradycyjnej proste schematy rozumowań z jednej przesłanki, w których zarówno przesłanka, jak i wniosek są zdaniami kategorycznymi, względnie ich negacjami.

Pamiętając o zależności między tautologicznymi implikacjami a schematami poprawnych rozumowań, można z podanych wyżej tautologii uzyskać szereg takich schematów. W szczególności prawa 11-14 dają podstawę do 8 schematów, np. z 11. mamy dwa schematy o postaci: SaP / ¬SoP i ¬SoP / SaP. Tylko prawa 5. i 8. nie uzasadniają żadnego schematu wnioskowań bezpośrednich.

Nie są to jedyne formy wnioskowania bezpośredniego uznawane w logice tradycyjnej. Poniżej omówimy najważniejsze rodzaje pozostałych.

2.5. Konwersja

Jest to wnioskowanie, w którym dokonujemy przestawienia podmiotu i orzecznika. Oddają to następujące schematy:

SaP / PiS SiP / PiS SeP / PeS

W przypadku SaP dodatkowo zmienia się ilość wniosku. Jest to tak zwana konwersja z ograniczeniem. W pozostałych wypadkach mamy konwersję prostą.

Gdyby dla zdania SaP dopuścić konwersję prostą, to można by ze zdania „Każdy pies jest drapieżnikiem” wywnioskować zdanie „Każdy drapieżnik jest psem”, co uzasadnia konieczność dodatkowej zmiany we wniosku. Zdanie postaci SoP w ogóle nie poddaje się konwersji, np. ze zdania „Niektórzy ludzie nie są politykami” wbrew pozorom nie wynika zdanie „Niektórzy politycy nie są ludźmi”.

2.6. Negacja przynazwowa

W rozważanych rozumowaniach dopuszcza się również negację przynazwową, która w języku naturalnym wyrażana jest często za pomocą prefiksów „nie-”, „a-”, „non-”, „bez-”, dołączonych do zaprzeczanej nazwy. Tworzymy w ten sposób antonim dla danej nazwy. Przykładowo: „niepospolity”, „anormalny”, „nonsensowny”, „bezkręgowiec”. Oczywiście, nie zawsze fakt, że dana nazwa tak się zaczyna oznacza, że mamy do czynienia z nazwą zaprzeczoną. Na przykład „alkoholik” to nie forma zaprzeczona nazwy „lkoholik” a „absurd” to nie zaprzeczenie „bsurdu”.

Jeżeli w języku naturalnym nie występuje dla danej nazwy odpowiedni antonim, zawsze możemy go wprowadzić sztucznie przez dodanie zwrotu „nie-”, przykładowo: „pies”-„nie-pies”. Symbolicznie będziemy negację przynazwową zaznaczać, stawiając apostrof za nazwą zaprzeczaną.

2.7 Obwersja

Jest to forma rozumowania, w której dokonuje się zmiana jakości przesłanki z jednoczesnym zanegowaniem orzecznika. W przeciwieństwie do konwersji jest to operacja uniwersalna, tzn. rezultat obwersji zawsze wynika z przesłanki, co daje cztery schematy:

SaP / SeP' SiP / SoP' SeP / SaP' SoP / SiP'

Przykładowo ze zdania „Niektórzy politycy nie są uczciwi” wynika przez obwersję „Niektórzy politycy są nieuczciwi”.

2.8 Kontrapozycja

W rozumowaniu takim jednocześnie przestawiamy podmiot z orzecznikiem i dokonujemy ich zanegowania, podobnie jak w KRZ, gdzie dokonuje się przestawienia członów implikacji wraz z ich zanegowaniem. Poprawne są następujące formy:

SaP / P'aS' SeP / P'oS' SoP / P'oS'

W tym wypadku zdanie typu SeP wymaga kontrapozycji ograniczonej, tzn. z jednoczesną zmianą ilości przesłanki, gdyż w przeciwnym wypadku można np. ze zdania „Żaden owad nie jest kręgowcem” wywnioskować „Żaden bezkręgowiec nie jest nie-owadem”, co jest oczywiście fałszem, gdyż do bezkręgowców należą nie tylko owady. Zdania typu SiP nie poddają się kontrapozycji.

3. Sylogizmy

3.1. Wnioskowania pośrednie

Oprócz wnioskowań bezpośrednich, które są po prostu formą przekształcenia zdania kategorycznego, w logice tradycyjnej rozważa się również wnioskowania z większej ilości przesłanek, zwane wnioskowaniami pośrednimi. Szczególną rolę odgrywają pewne formy rozumowań o dwóch przesłankach zwane sylogizmami.

Teoria sylogizmu obrosła w ciągu wieków skomplikowaną terminologią, którą omówimy przy okazji podania jego definicji. I stnieje też wiele pomysłowych metod sprawdzania poprawności sylogizmów, w szczególności metody graficzne. W tym temacie omówimy dwie metody o charakterze pamięciowym, w następnym pokażemy jak wykorzystać diagramy Venna, wprowadzone w pierwszym temacie.

3.2. Sylogizm

Jest to forma wnioskowania pośredniego, która składa się z trzech zdań kategorycznych (dwie przesłanki), w których występują tylko trzy różne nazwy, zwane terminami sylogizmu. Każdy termin występuje w sylogizmie tylko dwa razy, a oba wystąpienia są w różnych zdaniach sylogizmu. Podmiot wniosku to termin mniejszy, jego orzecznik to termin większy, natomiast nazwa, która występuje w obu przesłankach, to termin średni (pośredniczący). Litery S i P nadal będą oznaczać podmiot i orzecznik wniosku, natomiast M (od łac. medius) oznaczać będzie termin średni.

Przesłanka zawierająca termin mniejszy to przesłanka mniejsza, natomiast przesłanka zawierająca termin większy to przesłanka większa. Przesłankę większą zwykło się podawać jako pierwszą przesłankę sylogizmu. Pozwala to dokonać pewnego uporządkowania możliwych form, gdyż z logicznego punktu widzenia kolejność przesłanek nie ma żadnego znaczenia. Oto przykład rozumowania sylogistycznego:

1. Każdy pies jest drapieżnikiem. Każdy ratlerek jest psem. Zatem każdy ratlerek jest drapieżnikiem.

Schemat tego rozumowania wygląda następująco:

2. MaP, SaM / SaP (M — pies, S — ratlerek, P — drapieżnik).

3.3. Tryby i figury

Schematy rozumowań sylogistycznych nazywa się trybami sylogizmu. Ze względu na usytuowanie terminu średniego, wszystkie tryby można podzielić na cztery figury o schematach:

Fig. I	Fig. II	Fig. III	Fig. IV
M…P	P…M	M…P	P…M
S…M	S…M	M…S	M…S
S…P	S…P	S…P	S…P

Podstawiając w miejsce „...” symbol dowolnej stałej (tzn. a, e, i lub o), uzyskujemy konkretny tryb danej figury. Można bez trudu wyliczyć, że wszystkich trybów jest 256 (4 x 4 x 4 x 4), jednak poprawnych jest znacznie mniej, bo tylko 24, po 6 w każdej figurze.

Ze względu na niewielką ilość, można po prostu wypisać wszystkie poprawne tryby i nauczyć się ich na pamięć. Aby to ułatwić, w średniowieczu wprowadzono dźwięczne nazwy dla poprawnych trybów, w których użyte samogłoski podawały, jakie stałe występują w trzech kolejnych zdaniach trybu.

3.4. Tryby poprawne

W pierwszej figurzemamytryby:

MaP, SaM / SaP MaP, SaM / SiP MeP, SaM / SeP

MeP, SaM / SoP MaP, SiM / SiP MeP, SiM / SoP

O nazwach: Barbara, Barbari, Celarent, Celaront, Darii, Ferio.

W drugiej:

PeM, SaM / SeP PeM, SaM / SoP PaM, SeM / SeP

PaM, SeM / SoP PeM, SiM / SoP PaM, SoM / SoP

O nazwach: Cesare, Cesaro, Camestres, Camestros, Festino, Baroco.

W trzeciej:

MaP, MaS / SiP MiP, MaS / SiP MaP, MiS / SiP

MeP, MaS / SoP MoP, MaS / SoP MeP, MiS / SoP

O nazwach: Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison.

W czwartej:

PaM, MaS / SiP PaM, MeS / SeP PaM, MeS / SoP

PiM, MaS / SiP PeM, MaS / SoP PeM, MiS / SoP

O nazwach: Bramantip, Camenes, Camenos, Dimaris, Fesapo, Fresison.

3.5. Kryteria poprawności sylogizmu

Pamięciowe opanowanie schematów lub ich nazw nie jest jednak najlepszym sposobem opanowania sylogistyki, zwłaszcza jeżeli na względzie mamy szybkie rozpoznawanie rozumowań niepoprawnych. Analiza trybów poprawnych ujawnia bowiem szereg prawidłowości, które proces sprawdzania sylogizmów czynią zadaniem wręcz mechanicznym.

Oto one:

1. Obie przesłanki nie mogą być przeczące.

2. Obie przesłanki nie mogą być szczegółowe.

3. Jeżeli jedna z przesłanek jest przecząca, to wniosek też musi taki być.

4. Jeżeli jedna z przesłanek jest szczegółowa, to wniosek też musi taki być.

5. Termin środkowy musi być rozłożony przynajmniej w jednej przesłance.

6. Jeżeli termin jest rozłożony we wniosku, to musi być rozłożony w przesłance.

Aby zrozumieć dwa ostatnie warunki, musimy wyjaśnić, co to znaczy, że termin jest rozłożony. Termin jest rozłożony wtedy, gdy używając go, mamy na myśli wszystkie jego desygnaty. Warunek ten spełniają podmioty zdań ogólnych i orzeczniki zdań przeczących. Stąd w SeP oba terminy są rozłożone, a w SiP żaden, natomiast w SaP — S, a w SoP — P.

Każdy tryb poprawny spełnia wszystkie podane wyżej warunki, natomiast każdy niepoprawny łamie co najmniej jeden z nich. Rozważmy następujący sylogizm:

3. Żadna ryba nie jest gadem. Żaden ssak nie jest rybą. Zatem żaden ssak nie jest gadem.

Rozumowanie jest niepoprawne, gdyż łamie 1. kryterium. Istotnie, w oparciu o jego tryb (MeP, SeM / SeP) można zbudować rozumowanie falsyfikujące (kontrprzykład), np.:

4. Żadna ryba nie jest gadem. Żaden wąż nie jest rybą. Zatem żaden wąż nie jest gadem.

Inny przykład:

5. Każdy ssak jest kręgowcem. Każdy kot jest kręgowcem. Zatem każdy kot jest ssakiem.

Tutaj złamane jest 5. kryterium, gdyż termin średni (kręgowiec) nie jest rozłożony w żadnej przesłance. Aby otrzymać kontrprzykład, wystarczy np. za termin większy (ssak) wstawić nazwę „ptak”.

3.6. Entymematy

Na zakończenie rozważmy jeszcze jeden przykład:

6. Każdy tygrys jest ssakiem. Więc każdy tygrys jest kręgowcem.

Rozumowanie to intuicyjnie wydaje się poprawne, jednak nie jest ono ani sylogizmem (tylko jedna przesłanka), ani wnioskowaniem bezpośrednim (trzy różne nazwy). Po namyśle możemy jednak powyższe rozumowanie uznać za poprawny entymemat, w którym pominięto, jako oczywistą, przesłankę większą „Każdy ssak jest kręgowcem”. Po jej dołączeniu rozumowanie powyższe okazuje się kolejnym reprezentantem trybu Barbara.

Analizując rozumowania sylogistyczne, musimy pamiętać, że często mogą one występować w postaci entymematycznej, jednoprzesłankowej, przy założeniu oczywistości twierdzenia ogólnego, będącego treścią pominiętej przesłanki.

4. Graficzne sprawdzanie sylogizmów

4.1. Diagram Venna dla trzech nazw

Zastosujemy teraz metodę diagramów Venna do sprawdzania poprawności sylogizmów. W przypadku takich rozumowań pojawia się pewna trudność dodatkowa, gdyż mamy wyrazić na diagramie ekstensje trzech terminów. Dlatego będziemy używać trzech krzyżujących się okręgów:

Rysunek 7

Kolejne obszary reprezentują tu: I — −S ∩ −P ∩ −M; II — (S − P) − M; III — (S ∩ P) − M; IV — (P − S) − M; V — S ∩ P ∩ M; VI — (S ∩ M)−P; VII — (P ∩ M) − S; VIII — (M − S) − P.

Generalna zasada będzie taka: na diagramie zaznaczamy warunki prawdziwości obu przesłanek i sprawdzamy, czy z diagramu można odczytać prawdziwość wniosku. Jeżeli tak, to rozumowanie jest poprawne, w przeciwnym wypadku jest niepoprawne i możemy postarać się o znalezienie przykładu falsyfikującego.

4.2. Tryb poprawny

Przeanalizujmy następujące rozumowanie:

1. Każdy ssak jest kręgowcem. Każdy tygrys jest ssakiem. Zatem każdy tygrys jest kręgowcem.

Jest to poprawny tryb Barbara (M — ssak, S — tygrys, P — kręgowiec). Po naniesieniu na diagram warunków prawdziwości przesłanki większej, mamy następującą sytuację:

Rysunek 8

Po uwzględnieniu dodatkowo prawdziwości drugiej przesłanki otrzymujemy następujący diagram:

Rysunek 9

Jak widać, zarówno obszar II, jak i VI zostały zaznaczone jako puste, a to oznacza, że nie ma takich desygnatów S (tygrysów), które nie należą również do ekstensji P (kręgowców). Jeżeli jakieś desygnaty S w ogóle istnieją, to muszą się znajdować na obszarze V, symbolizującym część wspólną wszystkich trzech zbiorów. Oznacza to, że wniosek jest prawdziwy, przy założeniu prawdziwości przesłanek, a zatem rozumowanie jest poprawne.

4.3. Tryb niepoprawny

W dalszym ciągu będziemy dla uproszczenia prawdziwość obu przesłanek zaznaczali od razu na jednym diagramie. Zbadajmy rozumowanie:

2. Żaden tygrys nie jest żabą. Żadna żaba nie jest wilkiem. Zatem żaden wilk nie jest tygrysem.

Ma ono następujący schemat: PeM, MeS / SeP, którego diagram ma postać:

Rysunek 10

Tutaj prawdziwość pierwszej przesłanki dała pustość obszaru V i VII, a drugiej VI i ponownie V. Jednak aby wniosek był prawdziwy, musimy mieć gwarancję pustości iloczynu S i P, który jest symbolizowany łącznie przez obszar V i III. Wprawdzie V jest pusty, ale III nie jest wcale zaznaczony, więc jest możliwe, że reprezentuje zbiór niepusty.

Rozumowanie powyższe nie jest zatem poprawne, gdyż struktura przesłanek nie gwarantuje (przy ich prawdziwości) prawdziwości wniosku o zadanej strukturze. Niepoprawność rozumowania pokazuje diagram, ale możemy też łatwo znaleźć interpretację falsyfikującą. Rozważmy poniższe rozumowanie:

3. Żaden tygrys nie jest żabą. Żadna żaba nie jest ssakiem. Zatem żaden ssak nie jest tygrysem.

Reprezentuje ono taki sam tryb, ale wniosek jest ewidentnie fałszywy, chociaż przesłanki prawdziwe. Warto też sprawdzić, które kryterium poprawności sylogizmu zostało złamane.

Kolejne przykłady podajemy od razu ze schematem i diagramem.

4.4. Przesłanki szczegółowe

4. Żaden ssak nie jest rybą. Niektóre ryby są drapieżnikami. Zatem niektóre drapieżniki nie są ssakami (PeM, MiS / SoP).

Rysunek 11

Rozumowanie jest poprawne, gdyż X stoi w obszarze VI, wskazując na niepustość zbioru S poza obszarem zbioru P. Warto zauważyć, że zaznaczając prawdziwość przesłanki drugiej, mamy do dyspozycji dwa obszary — V i VI. Jednak V jest już zaznaczony jako zbiór pusty, zatem X możemy postawić tylko w obszarze VI. Dla prawdziwości wniosku potrzeba, żeby X stało bądź w obszarze VI, bądź w obszarze V — nie jest istotne, w którym. Przeanalizujmy kolejny przykład.

5. Każdy ssak to kręgowiec. Niektóre kręgowce to drapieżniki. Więc niektóre drapieżniki są ssakami (PaM, MiS / SiP).

Rysunek 12

Powyższy przykład może wydać się poprawny. Wniosek jest prawdziwy, przesłanki również, ale to nie powinno już nikogo zwieść. Skoncentrujmy się na formie, a nie na treści. Żeby wniosek był prawdziwy, X powinien stać w obszarze III lub V. Pierwszy z nich jest wprawdzie pusty, ale V zawiera X. Zwróćmy jednak uwagę, że X stoi także w obszarze VI. Zaznaczając prawdziwość drugiej przesłanki, mieliśmy bowiem do dyspozycji oba te obszary. Inaczej niż w przykładzie 4., gdzie z dwóch teoretycznie możliwych, jeden został wstępnie wykluczony przez prawdziwość przesłanki większej.

To, że mieliśmy do dyspozycji dwa obszary, zaznaczyliśmy, łącząc oba X-y kreską. Taką sytuację (dwa obszary, na których może znaleźć się X) interpretujemy jako świadectwo niepoprawności trybu. Przesłanka będąca zdaniem szczegółowym w takim przypadku może być prawdziwa na trzy różne sposoby:

a) kiedy zarówno obszar V, jak i VI są niepuste,

b) kiedy V jest niepuste, a VI puste,

c) kiedy V jest puste, a VI niepuste.

Łatwo zauważyć, że prawdziwość wniosku gwarantuje tylko przypadek a) i b). Jeżeli zajdzie c), to wniosek jest fałszywy, mimo prawdziwości przesłanki.

A zatem w sytuacji, kiedy zaznaczając prawdziwość zdania szczegółowego, jesteśmy zmuszeni postawić X na dwóch polach, sygnalizujemy to, łącząc je kreską. X połączony kreską z innym X-em interpretujemy jako znak mówiący, że jest możliwe, iż dany zbiór jest niepusty, ale nie jest tak w każdej sytuacji. A to oznacza, że jeżeli wniosek też jest zdaniem szczegółowym i X stoi w miejscu, w którym gwarantuje prawdziwość tego zdania, to bierzemy go pod uwagę tylko wtedy, gdy nie występuje z kreską. W przeciwnym wypadku traktujemy rozumowanie jako niepoprawne. Kogo nie przekonały powyższe wywody, niech zwróci uwagę na następujące rozumowanie falsyfikujące analizowany tryb:

6. Każdy ssak to kręgowiec. Niektóre kręgowce to ryby. Więc niektóre ryby to ssaki.

4.5. Zaznaczanie istnienia w zdaniach ogólnych

Diagramy Venna pozwalają sprawdzić poprawność każdego trybu. Zaznaczmy jednak, że w przypadku poprawnych trybów, w których obie przesłanki są ogólne a wniosek szczegółowy (jest 9 takich trybów), należy dodatkowo zaznaczyć za pomocą X niepustość jednego z terminów. Nie będziemy jednak szerzej objaśniać tego problemu, zilustrujemy go tylko przykładem.

7. Każdy tygrys jest drapieżnikiem. Każdy tygrys jest ssakiem. Zatem niektóre ssaki są drapieżnikami (MaP, MaS / SiP).

Rysunek 13

Na diagramie nie ma krzyżyka ani w obszarze V, ani w III, a żeby wniosek był prawdziwy, to jeden z nich powinien być niepusty. Jednak powyższe rozumowanie jest poprawne (tryb Darapti). Otóż musimy pamiętać, że wszystkie terminy sylogizmu są niepuste, a zatem — skoro trzy obszary M są zaznaczone jako puste — to mamy prawo dostawić X w V, gdyż jest to na powyższym diagramie jedyny potencjalnie niepusty obszar, który jest częścią zbioru M. Takie uzupełnienie diagramu gwarantuje nam zarazem prawdziwość wniosku.

5. Język KRK

5.1. Ograniczenia logiki arystotelesowskiej

We wstępie do tego modułu wskazaliśmy na ograniczenia KRZ w analizie rozumowań z języka potocznego. Rachunek nazw pozwala poszerzyć zakres analizy, ale tylko w ograniczony sposób. Rozważmy następujące rozumowanie:

1. Adam jest niższy od Bogdana. Bogdan jest niższy od Cezarego. Zatem Adam jest niższy od Cezarego.

Rozumowanie to jest intuicyjnie poprawne, chociaż entymematyczne. Jednak nawet po uzupełnieniu go przesłanką charakteryzującą relację „niższości” o postaci: „Jeżeli ktoś jest niższy od drugiej osoby, a ta jest niższa od trzeciej, to i on jest niższy od tej trzeciej”, nie jesteśmy w stanie wykazać jego poprawności. Nie jest to możliwe na gruncie KRZ, gdyż brak tu spójników i poprawność rozumowania zależy od struktury wewnętrznej zdań. Jednak w rachunku nazw też nie możemy tego zrobić, gdyż rozumowanie to nie składa się ze zdań kategorycznych. Dopiero klasyczny rachunek kwantyfikatorów (KRK) jest logiką wystarczającą do analizy takich rozumowań.

5.2. Nazwy i predykaty

W języku KRK też wyróżnia się nazwy i — podobnie jak w rachunku nazw — kategorię tę rozumie się wąsko. Jednak podczas gdy w logice tradycyjnej za nazwy uznawaliśmy jedynie nazwy ogólne, to w KRK za nazwy uznajemy tylko nazwy jednostkowe, a nawet węziej — tylko nazwy indywidualne.

Nazwy te dzielimy na dwie grupy. Stałe nazwowe to nazwy o ustalonym desygnacie, czyli imiona własne. Będziemy je oznaczać literami: a, b, c, d. Oprócz stałych potrzebne są zmienne nazwowe, które nie mają w danym kontekście ustalonego znaczenia. Będziemy je oznaczać literami: x, y, z.

W języku KRK rozważamy funktory zdaniotwórcze od argumentów nazwowych zwane predykatami. Dzielimy je na predykaty 1-argumentowe (kategorii z/n), 2-argumentowe (z/n, n), 3-argumentowe (z/n, n, n). Teoretycznie można też wprowadzić predykaty o większej liczbie argumentów, ale zazwyczaj nie ma takiej potrzeby. Przykładami predykatów są wyrażenia: „...biegnie”, „...jest wysoki”, „...kocha...”, „...jest niższy od...”, „...leży między...a...”, gdzie za pomocą „...” zaznaczyliśmy położenie i liczbę argumentów nazwowych dla danego predykatu.

Funkcją predykatów 1-argumentowych jest wyrażanie własności (cech) obiektu, którego nazwa jest ich argumentem. Natomiast predykaty dwu-, trój- i więcejargumentowe wyrażają relacje zachodzące między parami, trójkami, ... obiektów.

Zauważmy, że w języku KRK nazwy ogólne (np. „wysoki”) są traktowane jako składnik predykatu, podobnie jak funktor „jest”, który w rachunku nazw był częścią stałych logicznych (a, e, i, o).

5.3. Formuły atomowe

Predykaty oznaczać będziemy za pomocą liter od A do Z, w miarę możliwości wybierając pierwszą literę odpowiedniego wyrażenia z języka polskiego. Argumenty predykatu będziemy zawsze podawać na prawo od jego symbolu, w ustalonej kolejności.

Zdania typu: „Adam biegnie” czy „Adam jest mężczyzną” zapiszemy jako proste formuły atomowe: „Ba”, „Ma”. W przypadku obu zdań nie ma innej możliwości, gdyż oba przypisują pewnemu obiektowi pewną własność. W szczególności w drugim z nich mamy do czynienia z tzw. predykatywnym użyciem funktora „jest”, które oznacza, że obiekt jest elementem pewnego zbioru. Weźmy pod uwagę zdanie:

2. Adam czyta Kocią kołyskę.

Można je również potraktować jako formułę tego typu („Ca”), ale bardziej wskazane jest potraktowanie go jako formuły relacyjnej o schemacie: „Cab”, gdzie „b” denotuje tę konkretną powieść, a „C” dwuargumentowy predykat „...czyta...”.

W przypadku zdań relacyjnych najważniejszym problemem jest przestrzeganie kolejności argumentów predykatu wobec możliwości pojawienia się różnych form gramatycznych. Np. zdanie „Adam kocha Beatę” i „Beata jest kochana przez Adama” należy wyrazić taką samą atomową formułą relacyjną Kab, gdzie K denotuje „...kocha...”. Błędem jest zarówno użycie do każdego z tych zdań innego symbolu predykatu, jak i przepisanie w drugim przypadku nazw argumentów w takiej kolejności, jaką dyktuje zdanie.

5.4. Zdania proste a złożone

Osobny problem to wyrażanie w języku KRK charakterystyk złożonych.

Rozważmy zdanie:

3. Adam jest wysokim blondynem.

Należy je ująć jako koniunkcję dwóch zdań atomowych, czyli „Wa ∧ Ba”. Jak widać, w języku KRK używamy spójników KRZ w standardowy sposób, po prostu zamiast zmiennych zdaniowych występują formuły atomowe KRK. Podana przez nas formalizacja 3. jest poprawna, gdyż zachowuje logiczne własności tego zdania, np. z formuły tej wynika zarówno formuła „Wa”, jak i „Ba”. Analogicznie ze zdania 3. wynika zarówno zdanie „Adam jest wysoki”, jak i „Adam jest blondynem”.

Z drugiej strony zdania:

4. Adam jest niskim koszykarzem

nie możemy potraktować tak samo. Ktoś, kto jest niskim koszykarzem, ma np. 1,80 m wzrostu, a to nie daje podstaw do uznania za prawdziwe zdania „Adam jest niski”. Zdania 3. i 4. mają taką samą formę gramatyczną, ale inną formę logiczną. W 3. o obiekcie orzeka się dwie niezależne charakterystyki, natomiast w 4. orzeka się o nim jedną złożoną charakterystykę, w której „niski” stosuje się nie do Adama, ale do dowolnego koszykarza. W związku z tym 4. należy zapisać jako formułę atomową, np. „Na”. Konsekwencją tego jest niestety utrata pewnych logicznych własności zdania 4., np. wynika z niego zdanie „Adam jest koszykarzem”, ale z formuły „Na” nie wynika formuła „Ka” (gdzie „K” denotuje „...jest koszykarzem...”). Ważniejsze jest jednak tutaj raczej to, że — na szczęście — formalizacja zdania „Adam jest niski” (np. „Ma”) również nie będzie wynikała z „Na”.

5.5 Kwantyfikatory

Spójniki KRZ to nie jedyne stałe logiczne języka KRK. Gdyby tak było, to pod pewnymi względami język ten byłby uboższy od języka rachunku nazw. Dopiero dodanie kwantyfikatorów czyni z niego potężne narzędzie formalizacji. Wyróżniamy dwa kwantyfikatory:

— ogólny (który czytamy: „dla każdego...”) o symbolu ∀,

— szczegółowy („dla pewnego...”, „istnieją takie, że...”) o symbolu ∃.

Oba kwantyfikatory będą występowały zawsze w połączeniu ze zmiennymi nazwowymi, które mają wiązać (czyli do których się odnoszą) w danej formule w następujący sposób: „∀x” (czytamy: „dla każdego x”), „∀xyz” (czytamy: „dla każdego x, y, z”). Podobnie jak predykaty, stawiamy je z lewej strony zdań, które poddawane są kwantyfikacji. Jeżeli zdanie kwantyfikowane jest złożone, to dodatkowo bierzemy je w nawias, podobnie jak w przypadku negacji.

Wyrażenia z języka polskiego, dla których formalizacji można użyć kwantyfikatora ogólnego to:

„każdy”, „wszystko”, „zawsze”, „wszędzie”,

natomiast formalizowane przez kwantyfikator szczegółowy to:

„pewne”, „niektóre”, „coś”, „istnieje”, „kiedyś”, „gdzieś”.

Łącząc kwantyfikato rogólny z negacją, można też formalizować zwroty typu:

„nie każdy”, „żaden”, „nigdy”, „nigdzie”.

Podejmując decyzję o użyciu kwantyfikatora, trzeba dobrze rozważyć, czy dane wyrażenie wymaga formalizacji przez ogólny, czy szczegółowy kwantyfikator. Przykładowo zdanie „Cokolwiek jest psem, jest zwierzęciem” jest zdaniem typu SaP i wymaga użycia kwantyfikatora ogólnego (patrz niżej). Natomiast zdanie „Adam czyta cokolwiek” wymaga raczej użycia kwantyfikatora szczegółowego, co zaraz zademonstrujemy.

Zdania typu: „Coś jest ciężkie”, „Wszystko ma masę” wymagają użycia kwantyfikatorów — odpowiednio: „∃xCx”, „∀xMx”. Zdania: „Wszystko jest większe od czegoś” i „Coś jest większe od wszystkiego” zapiszemy odpowiednio: „∀x∃yWxy”, „∃x∀yWxy”. Zdanie „Adam kogoś kocha” zapiszemy „∃xKax” — w analogiczny sposób zapiszemy formę wspomnianego wyżej zdania „Adam czyta cokolwiek”.

Są to proste przykłady kwantyfikacji zdań atomowych. Natomiast zdanie „Adam czyta jakąś książkę” jest już przykładem kwantyfikacji zdania złożonego, którą zapiszemy: „∃x(Kx ∧ Cax)” (gdzie K denotuje „...jest książką”, a C — „...czyta...”). Tutaj jesteśmy już zmuszeni do użycia dodatkowego predykatu kwalifikującego zmienną kwantyfikowaną i zastosowania jakiegoś spójnika łączącego, zatem zdanie, którego forma gramatyczna jest bardzo nieskomplikowana, okazuje się zdaniem złożonym.

5.6. kategoryczne

W języku KRK bez problemu możemy formalizować zdania kategoryczne według schematu:

SaP oddamy przez ∀x(Sx → Px)

SeP oddamy przez ∀x(Sx → ¬Px)

SiP oddamy przez ∃x(Sx ∧ Px)

SoP oddamy przez ∃x(Sx ∧ ¬Px)

Jak widać, zdania proste rachunku nazw są tutaj traktowane jako formuły złożone. Co więcej, jeżeli chcemy dokładnie oddać znaczenie obu zdań ogólnych, należy je jeszcze bardziej skomplikować. SaP należy zapisać jako ∀x(Sx → Px) ∧ ∃xSx, a SeP jako ∀x(Sx → ¬Px) ∧ ∃xSx. W ten sposób dodatkowo informujemy o niepustości nazwy S.

5.7. Relacje

Język KRK, który pozwala nam analizować strukturę wewnętrzną dowolnych zdań a nie tylko zdań kategorycznych, pozwala sformalizować również rozumowanie 1., które zawiera zdania relacyjne. Jego zapis, po dodaniu dodatkowej przesłanki, wygląda następująco:

5. Nab, Nbc, ∀xyz[(Nxy ∧ Nyz) → Nxz] / Nac

Dodana przesłanka mówi o tym, że relacja wyrażana predykatem „...jest niższy od...” jest przechodnia. Na gruncie KRK łatwo możemy potwierdzić nasze intuicje dotyczące poprawności analizowanego rozumowania. Jeżeli w przesłance charakteryzującej relację „N” odłączymy kwantyfikator,azazmiennepodstawimystałe nazwowe według schematu: x - a, y - b, z - c, to otrzymamy schemat:

6. Nab, Nbc, (Nab ∧ Nbc) → Nac / Nac

Operacja odłączania kwantyfikatora i zamieniania zmiennych n astałe to przykład poprawnej reguły wnioskowania KRK, której intuicyjny sens jest następujący: jeżeli coś jest orzekane o wszystkich obiektach (danej kategorii), to można to orzec o każdym konkretnie wybranym obiekcie. Otrzymany schemat można sprawdzić za pomocą metody skróconej, co wykaże, że jeżeli przesłanki są prawdziwe, to wniosek też.

Korzystając z języka KRK, można wyrazić wiele innych interesujących własności relacji dwuargumentowych, takich jak zwrotność czy symetria.

Bibliografia

1. Ajdukiewicz K., 1959: Zarys logiki, PZWS,Warszawa.

2. Arystoteles, 1990: Dzieła wszystkie, t. 1, PWN,Warszawa.

3. Borkowski L., 1976: Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa.

4. Bremer J., W., 2004: Wprowadzenie do logiki, Wydawnictwo WAM, Kraków.

5. Chodkowski T., Nieznański E., Świętorzecka K., Wójtowicz A., 2000: Elementy logiki prawniczej, PWP Iuris, Warszawa.

6. Gumański L., 1990: Wprowadzenie w logikę współczesną, PWN, Warszawa.

7. Mill J., S., 1962: System logiki dedukcyjnej i indukcyjnej, t. I-II, PWN, Warszawa.

8. Przybyłowski J., 2001: Logika z ogólną metodologią nauk, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk.

9. Skarbek W., 2004: Logika dla humanistów, NWP, Piotrków Trybunalski.

10. Szymanek K., 2001: Sztuka argumentacji. Słownik terminologiczny, PWN, Warszawa.

11. Tokarz M., 1984: Wprowadzenie do logiki, Uniwersytet Śląski, Katowice.

12. Trzęsicki K., 1996: Logika, nauka i sztuka, Temida, Białystok.

13. Wójcicki R., 2003: Wykłady z logiki z elementami teorii wiedzy, Scholar, Warszawa.

14. Ziembiński Z., 1993: Logika praktyczna, PWN, Warszawa.

BibliografiastronWWW

15. John Carroll University. Witryna internetowa.,

www.jcu.edu/philosophy/gensler, stan z 20.12.2005.

---