Tradycyjny rachunek nazw
Wstęp 3
1. Zdania kategoryczne 4
1.1. Logika Arystotelesa 4
1.2. Zdania kategoryczne 4
1.3. Prawdziwość zdań kategorycznych 5
1.4. Reprezentacja graficzna6
2. Wnioskowania bezpośrednie 8
2.1. Kwadrat logiczny 8
2.2. Znaczenie zwrotu „niektóre” 9
2.3. Prawa kwadratu logicznego 9
2.4. Wnioskowania bezpośrednie 9
2.5. Konwersja 10
2.6. Negacja przynazwowa 10
2.7. Obwersja 10
2.8. Kontrapozycja 11
3. Sylogizmy 12
3.1. Wnioskowania pośrednie 12
3.3. Tryby i figury12
3.4. Tryby poprawne 13
3.5. Kryteria poprawności sylogizmu 13
3.6. Entymematy 14
4. Graficznesprawdzaniesylogizmów 15
4.1. Diagram Venna dla trzech nazw 15
4.2. Tryb poprawny 15
4.3. Tryb niepoprawny 16
4.4. Przesłanki szczegółowe 17
4.5. Zaznaczanie istnienia w zdaniach ogólnych 19
5. Język KRK
5.1. Ograniczenia logiki arystotelesowskiej 20
5.2. Nazwy i predykaty 20
5.3. Formuły atomowe 21
5.4. Zdania proste a złożone 21
5.5. Kwantyfikatory22
5.6. Zdania kategoryczne 23
5.7. Relacje 23
Bibliografia24
Słownik 25
Spis symboli 30
3
Wstęp
W tym module zajmiemy się rachunkiem nazw, zwanym często po prostu logiką tradycyjną albo arystotelesowską. Jest to system o możliwościach zbyt ograniczonych, aby pozwolić na analizę wielu rozumowań w języku naturalnym. Mimo to, zakres jego zastosowań pod pewnym względem przewyższa możliwości rachunku zdań omawianego w poprzednim module. Zademonstrujemy to na prostym przykładzie. Poniższe rozumowanie jest poprawne:
Wszystkie słonie są ssakami. Każdy ssak jest kręgowcem. Zatem każdy słoń jest kręgowcem.
Jednak próba wykazania jego poprawności przy użyciu KRZ jest skazana na niepowodzenie, gdyż nie występują tu w ogóle spójniki. Na gruncie KRZ schemat powyższego rozumowania wygląda więc następująco:
p, q / r
Wystarczy użyć wartościowania V(p) = V(q) = 1 i V(r) = 0, aby taki schemat poddać falsyfikacji.Abywykazać, że interesujące nas rozumowanie jest poprawne, musimy umieć poddać analizie strukturę wewnętrzną jego zdań składowych, a to umożliwia rachunek nazw.
Poświęcimy prezentacji rachunku nazw cztery tematy. W ostatnim przedstawimy język klasycznego rachunku kwantyfikatorów (w skrócie KRK), który jest współczesną formą logiki klasycznej i zawiera w sobie zarówno rachunek zdań, jak i rachunek nazw. Jednak KRK to dużo bardziej skomplikowany system i dlatego więcej uwagi poświęcimy prostszemu systemowi, czyli rachunkowi nazw.
4
1. Zdania kategoryczne
1.1. Logika Arystotelesa
Historycznie pierwszy system logiczny, zbudowany przez Arystotelesa blisko 2,5 tysiąca lat temu, nie był logiką zdań, ale logiką nazw. Arystoteles wprawdzie intuicyjnie stosował niektóre zasady klasycznego rachunku zdań, ale nie rozwinął go w systematyczny sposób. Zbudował natomiast ograniczoną wersję rachunku nazw, czyli takiej logiki, w której występują zmienne nazwowe.
Ograniczenia logiki Arystotelesa są dość istotne. Po pierwsze, w jego systemie występują tylko zmienne reprezentujące nazwy ogólne, czyli posiadające więcej niż jeden desygnat. Po drugie, analizowane są tylko wybrane rodzaje zdań, tzw. zdania kategoryczne. Po trzecie, w jego systemie mamy ujęcie tylko bardzo specyficznejklasyrozumowań, tzw. wnioskowań bezpośrednich oraz pośrednich, określanych tradycyjnie jako sylogizmy. Ze względu na ważność tych ostatnich, logikę Arystotelesa określa się często jako sylogistykę.
Współczesna logika matematyczna, czyli tzw. klasyczny rachunek kwantyfikatorów (KRK) — z powodu jej zasięgu — jest znacznie przydatniejszym narzędziem analizy rozumowań. Zarówno rachunek zdań, jak i sylogistyka, są po prostu jej częściami. Jednak KRK jest systemem złożonym i jego dokładna prezentacja przekracza ramy tego kursu. W ostatnim temacie ograniczymy się tylko do bardzo krótkiego wprowadzenia do języka KRK, natomiast resztę modułu przeznaczymy na prezentację systemu Arystotelesa.
Mimo swoich ograniczeń, sylogistyka jest bardzo pożytecznym narzędziem. Przede wszystkim jest to system znacznie prostszy od KRK i dlatego można go sobie przyswoić nawet w ramach krótkiego kursu logiki. Poza tym w ramach sylogistyki formalizuje się bardzo popularne rodzaje rozumowań, które często nam w życiu towarzyszą. Dlatego, chociaż nie powinno się przeceniać znaczenia i zasięgu tego systemu, to warto opanować jego zasady.
1.2. Zdania kategoryczne
Są to zdania proste podmiotowo-orzecznikowe, w których występują dwie nazwy ogólne. Arystoteles dzielił je na 3 grupy, w zależności od siły orzekania. Jeżeli stwierdzamy, że pewna relacja między podmiotem i orzeczeniem zachodzi z konieczności, to jest to zdanie apodyktyczne. Jeżeli zachodzenie tej relacji stwierdzamy jako coś możliwego, to jest to zdanie problematyczne. W przypadku braku takiej kwalifikacjimodalnejmamydoczynieniazezdaniem asertorycznym.
W dalszym ciągu ograniczymy się do wykładu logiki zdań asertorycznych. Wyróżniamy cztery rodzaje takich zdań. Poniżej podamy ich przykłady oraz tradycyjny sposób formalizacji, w którym litery S i P to zmienne nazwowe, reprezentujące odpowiednio podmiot (subiectum) i orzecznik (praedicatum) zdania kategorycznego.
5
Zdanie:
1. Każdy pies jest zwierzęciem
to przykład zdania ogólno-twierdzącego, którego schemat zapiszemy następująco:
2. SaP, gdzie S — pies, P — zwierzę, a — Każdy... jest...
Schemat zdania ogólno-przeczącego, np.:
3. Żaden pies nie jest rybą
zapiszemy tak:
4. SeP, gdzie S — pies, P — ryba, e — Żaden... nie jest...
Zdanie:
5. Niektóre psy są inteligentne,
które reprezentuje tzw. zdania szczegółowo-twierdzące, zapiszemy:
6. SiP, gdzie S — pies, P — inteligentny, i — Niektóre... są...
Natomiast zdanie szczegółowo-przeczące, np:
7. Niektóre psy nie szczekają
zapiszemy tak:
8. SoP, gdzie S — pies, P — stworzenie szczekające, o — Niektóre... nie są...
Ostatni przykład pokazuje, że wiele zdań w języku polskim wymaga drobnego przeformułowania, aby uznać je za zdania kategoryczne w sensie ścisłym. Litery „a”, „e”, „i”, „o” oznaczają specyficznestałe logiczne rachunku nazw, których znaczenie określa zarówno rodzaj kwantyfikacjiwystępującej w zdaniu kategorycznym, jak i rodzaj orzekania. Z tego względu zdania kategoryczne dzieli się według ilości i jakości. Według jakości wyróżniamy zdania twierdzące i przeczące, według ilości — zdania ogólne i szczegółowe.
1.3. Prawdziwość zdań kategorycznych
Zastanówmy się nad warunkami prawdziwości zdań kategorycznych. Korzystając z tego, że ekstensją dowolnej nazwy ogólnej jest niepusty zbiór, wprowadzimy teoriomnogościową interpretację tych warunków. Symbole S i P oznaczać będą dalej nie tylko nazwy występujące jako podmiot i orzecznik, ale również ich ekstensje.
a) SaP jest prawdziwe wtw, S ⊆ P, co jest równoważne stwierdzeniu, że S − P = ∅,
b) SeP jest prawdziwe wtw, S ∩ P = ∅,
c) SiP jest prawdziwe wtw, S ∩ P ≠ ∅,
d) SoP jest prawdziwe wtw, S − P ≠ ∅.
Jak widać, prawdziwość każdego zdania kategorycznego da się sprowadzić do tego, czy pewien zbiór jest pusty, czy nie.
6
1.4. Reprezentacja graficzna
Powszechnie stosowanym i wygodnym sposobem sprawdzania poprawności rozumowań zbudowanych ze zdań kategorycznych są różnego rodzaju diagramy. Do analizy rozumowań sylogistycznych moglibyśmy np. zastosować diagramy Eulera, jednak efektywniejszą metodą okazują się diagramy Venna.
Diagram Venna dla dwóch zbiorów składa się z dwóch krzyżujących się okręgów:
Obszar I oznacza tu zbiór −S ∩ −P, II — S − P, III — S ∩ P, a IV — P − S. Problem graficznejreprezentacjiprawdziwości zdań kategorycznych sprowadza się zatem do zaznaczenia na diagramie Venna pustości lub niepustości pewnego zbioru. Przyjmijmy,że w przypadku niepustości, na danym obszarze postawimy symbol X, a w przypadku pustości — ∅. Obszar, o którym nie mamy informacji, nie będzie zawierał żadnych symboli. Zgodnie z tą konwencją prawdziwość zdań kategorycznych będą wyrażać następujące diagramy:
a) SaP
b) SeP
Rysunek 1
Rysunek 2
Rysunek 3
7
c) SiP
d) SoP
Rysunek 4
Rysunek 5
8
2. Wnioskowania bezpośrednie
2.1. Kwadrat logiczny
Zastanówmy się, jakie relacje logiczne zachodzą między różnymi zdaniami kategorycznymi o tym samym podmiocie i orzeczniku. W średniowieczu dla lepszego przedstawienia tych związków używano diagramu zwanego kwadratem logicznym.
Najłatwiej zauważyć, jaka relacja zachodzi w pionie pomiędzy zdaniami ogóln-ymi i szczegółowymi tej samej jakości. Jest to relacja wynikania, określana też w logice tradycyjnej jako relacja podporządkowania. Strzałki zaznaczają kierunek tej relacji, tzn. ze zdania ogólnego wynika zdanie szczegółowe (jest mu podporządkowane), ale nie odwrotnie.
Między zdaniami ogólnymi o różnej jakości (szczyt kwadratu) zachodzi relacja wykluczania (sprzeczności), zwana w logice tradycyjnej relacją przeciwieństwa i oznaczona linią przerywaną. Oznacza to, że choć zdania takie mogą być zarazem fałszywe, to prawdziwe oba być nie mogą. Przykładowo, podstawienie S — ssak, P — kręgowiec daje nam prawdziwość jednego ze zdań, a fałszywość drugiego. Podstawienie S — Polak, P — pijakdajenamfałszywość obu zdań.
Dół kwadratu (linia kropkowana) to relacja dopełniania, zwana tradycyjnie relacją podprzeciwieństwa. Zatem dwa zdania szczegółowe o różnej jakości nie mogą być zarazem fałszywe, choć oba mogą być prawdziwe. Przykładowo podstawienie S — krowa, P — łaciata daje prawdziwość obu zdań. Podstawienie S — ssak,
P — kręgowiec daje nam prawdziwość jednego ze zdań a fałszywość drugiego.
Gruba linia łącząca zdania po przekątnej oznacza relację mocnej sprzeczności. W dowolnej parze zdań o różnej jakości i ilości zawsze jedno będzie prawdziwe a drugie fałszywe, choć możemy nie wiedzieć, które z nich jaką wartość logiczną posiada.
Rysunek 6
9
2.2. Znaczenie zwrotu „niektóre”
Warto podkreślić, że zwrot „niektóre” używany jest tutaj w znaczeniu „co najmniej jeden”, co oznacza, że zdanie szczegółowe jest prawdziwe również wtedy, gdy wszystkie desygnaty podmiotu mają własność wyrażaną przez orzecznik (w zdaniach twierdzących) lub jej nie mają (w zdaniach przeczących). Jest to istotne wyjaśnienie, gdyż potocznie często zwrotu tego używamy w znaczeniu „pewne, ale nie wszystkie”. W tym drugim znaczeniu nie moglibyśmy uznać np. zdania „Niektóre ssaki są kręgowcami” za prawdziwe (jak to zrobiliśmy powyżej). Co więcej, przy takim rozumieniu zwrotu „niektóre” nie zachodzi większość relacji logicznych zaznaczonych na kwadracie logicznym.
2.3. Prawa kwadratu logicznego
Tradycyjny rachunek nazw jest systemem logicznym nadbudowanym nad rachunkiem zdań. Oznacza to, że oprócz czterech nowych stałych logicznych, które budują zdania proste (czyli kategoryczne) możemy używać również spójników KRZ do budowy zdań złożonych. Skorzystamy z tego obecnie. Zachodzenie powyższych relacji pozwala nam stwierdzić, że poniższe formuły są prawami logicznymi (tautologiami) tradycyjnego rachunku nazw:
1. SaP → SiP
2. SeP → SoP
3. ¬SiP → ¬SaP
4. ¬SoP → ¬SeP
5. ¬(SaP ∧ SeP)
6. SaP → ¬SeP
7. SeP → ¬SaP
8. SiP ∨ SoP
9. ¬SiP → SoP
10. ¬SoP → SiP
11. SaP ↔ ¬SoP
12. SeP ↔ ¬SiP
13. SiP ↔ ¬SeP
14. SoP ↔ ¬SaP
Prawa 1–4 są pochodną wynikania; w szczególności 3 i 4 otrzymujemy z 1 i 2 przez kontrapozycję. Prawa 5–7 są konsekwencją wykluczania zdań ogólnych, a 8–10
— dopełniania zdań szczegółowych. Ostatnie cztery wzory charakteryzują sprzeczność mocną.
2.4. Wnioskowania bezpośrednie
Taką nazwą określa się w logice tradycyjnej proste schematy rozumowań z jednej przesłanki, w których zarówno przesłanka, jak i wniosek są zdaniami kategorycznymi, względnie ich negacjami.
10
Pamiętając o zależności między tautologicznymi implikacjami a schematami poprawnych rozumowań, można z podanych wyżej tautologii uzyskać szereg takich schematów. W szczególności prawa 11–14 dają podstawę do 8 schematów, np. z 11. mamy dwa schematy o postaci: SaP / ¬SoP i ¬SoP / SaP. Tylko prawa 5. i 8. nie uzasadniają żadnego schematu wnioskowań bezpośrednich.
Nie są to jedyne formy wnioskowania bezpośredniego uznawane w logice tradycyjnej. Poniżej omówimy najważniejsze rodzaje pozostałych.
2.5. Konwersja
Jest to wnioskowanie, w którym dokonujemy przestawienia podmiotu i orzecznika. Oddają to następujące schematy:
SaP / PiS SiP / PiS SeP / PeS
W przypadku SaP dodatkowo zmienia się ilość wniosku. Jest to tak zwana konwersja z ograniczeniem. W pozostałych wypadkach mamy konwersję prostą.
Gdyby dla zdania SaP dopuścić konwersję prostą, to można by ze zdania „Każdy pies jest drapieżnikiem” wywnioskować zdanie „Każdy drapieżnik jest psem”, co uzasadnia konieczność dodatkowej zmiany we wniosku. Zdanie postaci SoP w ogóle nie poddaje się konwersji, np. ze zdania „Niektórzy ludzie nie są politykami” wbrew pozorom nie wynika zdanie „Niektórzy politycy nie są ludźmi”.
2.6. Negacja przynazwowa
W rozważanych rozumowaniach dopuszcza się również negację przynazwową, która w języku naturalnym wyrażana jest często za pomocą prefiksów „nie-”, „a-”, „non-”, „bez-”, dołączonych do zaprzeczanej nazwy. Tworzymy w ten sposób antonim dla danej nazwy. Przykładowo: „niepospolity”, „anormalny”, „nonsensowny”, „bezkręgowiec”. Oczywiście, nie zawsze fakt, że dana nazwa tak się zaczyna oznacza, że mamy do czynienia z nazwą zaprzeczoną. Na przykład „alkoholik” to nie forma zaprzeczona nazwy „lkoholik” a „absurd” to nie zaprzeczenie „bsurdu”.
Jeżeli w języku naturalnym nie występuje dla danej nazwy odpowiedni antonim, zawsze możemy go wprowadzić sztucznie przez dodanie zwrotu „nie-”, przykładowo: „pies”–„nie-pies”. Symbolicznie będziemy negację przynazwową zaznaczać, stawiając apostrof za nazwą zaprzeczaną.
2.7. Obwersja
Jest to forma rozumowania, w której dokonuje się zmiana jakości przesłanki z jednoczesnym zanegowaniem orzecznika. W przeciwieństwie do konwersji jest
11
to operacja uniwersalna, tzn. rezultat obwersji zawsze wynika z przesłanki, co daje cztery schematy:
SaP / SeP’ SiP / SoP’ SeP / SaP’ SoP / SiP’
Przykładowo ze zdania „Niektórzy politycy nie są uczciwi” wynika przez obwersję „Niektórzy politycy są nieuczciwi”.
2.8. Kontrapozycja
W rozumowaniu takim jednocześnie przestawiamy podmiot z orzecznikiem i dokonujemy ich zanegowania, podobnie jak w KRZ, gdzie dokonuje się przestawienia członów implikacji wraz z ich zanegowaniem. Poprawne są następujące formy:
SaP / P’aS’ SeP / P’oS’ SoP / P’oS’
W tym wypadku zdanie typu SeP wymaga kontrapozycji ograniczonej, tzn. z jednoczesną zmianą ilości przesłanki, gdyż w przeciwnym wypadku można np. ze zdania „Żaden owad nie jest kręgowcem” wywnioskować „Żaden bezkręgowiec nie jest nie-owadem”, co jest oczywiście fałszem, gdyż do bezkręgowców należą nie tylko owady. Zdania typu SiP nie poddają się kontrapozycji.
12
3. Sylogizmy
3.1. Wnioskowania pośrednie
Oprócz wnioskowań bezpośrednich, które są po prostu formą przekształcenia zdania kategorycznego, w logice tradycyjnej rozważa się również wnioskowania z większej ilości przesłanek, zwane wnioskowaniami pośrednimi. Szczególną rolę odgrywają pewne formy rozumowań o dwóch przesłankach zwane sylogizmami.
Teoria sylogizmu obrosła w ciągu wieków skomplikowaną terminologią, którą omówimy przy okazji podania jego definicji.Istniejeteż wiele pomysłowych metod sprawdzania poprawności sylogizmów, w szczególności metody graficzne.W tym temacie omówimy dwie metody o charakterze pamięciowym, w następnym pokażemy jak wykorzystać diagramy Venna, wprowadzone w pierwszym temacie.
3.2. Sylogizm
Jest to forma wnioskowania pośredniego, która składa się z trzech zdań kategorycznych (dwie przesłanki), w których występują tylko trzy różne nazwy, zwane terminami sylogizmu. Każdy termin występuje w sylogizmie tylko dwa razy, a oba wystąpienia są w różnych zdaniach sylogizmu. Podmiot wniosku to termin mniejszy, jego orzecznik to termin większy, natomiast nazwa, która występuje w obu przesłankach, to termin średni (pośredniczący). Litery S i P nadal będą oznaczać podmiot i orzecznik wniosku, natomiast M (od łac. medius) oznaczać będzie termin średni.
Przesłanka zawierająca termin mniejszy to przesłanka mniejsza, natomiast przesłanka zawierająca termin większy to przesłanka większa. Przesłankę większą zwykło się podawać jako pierwszą przesłankę sylogizmu. Pozwala to dokonać pewnego uporządkowania możliwych form, gdyż z logicznego punktu widzenia kolejność przesłanek nie ma żadnego znaczenia. Oto przykład rozumowania sylogistycznego:
1. Każdy pies jest drapieżnikiem. Każdy ratlerek jest psem. Zatem każdy ratlerek jest drapieżnikiem.
Schemat tego rozumowania wygląda następująco:
2. MaP, SaM / SaP (M — pies, S — ratlerek, P — drapieżnik).
3.3. Tryby i figury
Schematy rozumowań sylogistycznych nazywa się trybami sylogizmu. Ze względu na usytuowanie terminu średniego, wszystkie tryby można podzielić na cztery figury o schematach:
13
Fig. I Fig. II Fig. III Fig. IV
M…P P…M M…P P…M
S…M S…M M…S M…S
S…P S…P S…P S…P
Podstawiając w miejsce „...” symbol dowolnej stałej (tzn. a, e, i lub o), uzyskujemy konkretny tryb danej figury.Można bez trudu wyliczyć, że wszystkich trybów jest 256 (4 x 4 x 4 x 4), jednak poprawnych jest znacznie mniej, bo tylko 24, po 6 w każdej figurze.
Ze względu na niewielką ilość, można po prostu wypisać wszystkie poprawne tryby i nauczyć się ich na pamięć. Aby to ułatwić, w średniowieczu wprowadzono dźwięczne nazwy dla poprawnych trybów, w których użyte samogłoski podawały, jakie stałe występują w trzech kolejnych zdaniach trybu.
3.4. Tryby poprawne
W pierwszej figurzemamytryby:
MaP, SaM / SaP MaP, SaM / SiP MeP, SaM / SeP
MeP, SaM / SoP MaP, SiM / SiP MeP, SiM / SoP
O nazwach: Barbara, Barbari, Celarent, Celaront, Darii, Ferio.
W drugiej:
PeM, SaM / SeP PeM, SaM / SoP PaM, SeM / SeP
PaM, SeM / SoP PeM, SiM / SoP PaM, SoM / SoP
O nazwach: Cesare, Cesaro, Camestres, Camestros, Festino, Baroco.
W trzeciej:
MaP, MaS / SiP MiP, MaS / SiP MaP, MiS / SiP
MeP, MaS / SoP MoP, MaS / SoP MeP, MiS / SoP
O nazwach: Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison.
W czwartej:
PaM, MaS / SiP PaM, MeS / SeP PaM, MeS / SoP
PiM, MaS / SiP PeM, MaS / SoP PeM, MiS / SoP
O nazwach: Bramantip, Camenes, Camenos, Dimaris, Fesapo, Fresison.
3.5. Kryteria poprawności sylogizmu
Pamięciowe opanowanie schematów lub ich nazw nie jest jednak najlepszym sposobem opanowania sylogistyki, zwłaszcza jeżeli na względzie mamy szybkie rozpoznawanie rozumowań niepoprawnych. Analiza trybów poprawnych ujawnia bowiem szereg prawidłowości, które proces sprawdzania sylogizmów czynią zadaniem wręcz mechanicznym.
14
Oto one:
1. Obie przesłanki nie mogą być przeczące.
2. Obie przesłanki nie mogą być szczegółowe.
3. Jeżeli jedna z przesłanek jest przecząca, to wniosek też musi taki być.
4. Jeżeli jedna z przesłanek jest szczegółowa, to wniosek też musi taki być.
5. Termin środkowy musi być rozłożony przynajmniej w jednej przesłance.
6. Jeżeli termin jest rozłożony we wniosku, to musi być rozłożony w przesłance.
Aby zrozumieć dwa ostatnie warunki, musimy wyjaśnić, co to znaczy, że termin jest rozłożony. Termin jest rozłożony wtedy, gdy używając go, mamy na myśli wszystkie jego desygnaty. Warunek ten spełniają podmioty zdań ogólnych i orzeczniki zdań przeczących. Stąd w SeP oba terminy są rozłożone, a w SiP żaden, natomiast w SaP — S, a w SoP — P.
Każdy tryb poprawny spełnia wszystkie podane wyżej warunki, natomiast każdy niepoprawny łamie co najmniej jeden z nich. Rozważmy następujący sylogizm:
3. Żadna ryba nie jest gadem. Żaden ssak nie jest rybą. Zatem żaden ssak nie jest gadem.
Rozumowanie jest niepoprawne, gdyż łamie 1. kryterium. Istotnie, w oparciu o jego tryb (MeP, SeM / SeP) można zbudować rozumowanie falsyfikujące (kontrprzykład), np.:
4. Żadna ryba nie jest gadem. Żaden wąż nie jest rybą. Zatem żaden wąż nie jest gadem.
Inny przykład:
5. Każdy ssak jest kręgowcem. Każdy kot jest kręgowcem. Zatem każdy kot jest ssakiem.
Tutaj złamane jest 5. kryterium, gdyż termin średni (kręgowiec) nie jest rozłożony w żadnej przesłance. Aby otrzymać kontrprzykład, wystarczy np. za termin większy (ssak) wstawić nazwę „ptak”.
3.6. Entymematy
Na zakończenie rozważmy jeszcze jeden przykład:
6. Każdy tygrys jest ssakiem. Więc każdy tygrys jest kręgowcem.
Rozumowanie to intuicyjnie wydaje się poprawne, jednak nie jest ono ani sylogizmem (tylko jedna przesłanka), ani wnioskowaniem bezpośrednim (trzy różne nazwy). Po namyśle możemy jednak powyższe rozumowanie uznać za poprawny entymemat, w którym pominięto, jako oczywistą, przesłankę większą „Każdy ssak jest kręgowcem”. Po jej dołączeniu rozumowanie powyższe okazuje się kolejnym reprezentantem trybu Barbara.
Analizując rozumowania sylogistyczne, musimy pamiętać, że często mogą one występować w postaci entymematycznej, jednoprzesłankowej, przy założeniu oczywistości twierdzenia ogólnego, będącego treścią pominiętej przesłanki.
15
4. Graficznesprawdzaniesylogizmów
4.1. Diagram Venna dla trzech nazw
Zastosujemy teraz metodę diagramów Venna do sprawdzania poprawności sylogizmów. W przypadku takich rozumowań pojawia się pewna trudność dodatkowa, gdyż mamy wyrazić na diagramie ekstensje trzech terminów. Dlatego będziemy używać trzech krzyżujących się okręgów:
Kolejne obszary reprezentują tu: I — −S ∩ −P ∩ −M; II — (S − P) − M; III — (S ∩ P) − M; IV — (P − S) − M; V — S ∩ P ∩ M; VI — (S ∩ M)−P; VII — (P ∩ M) − S; VIII — (M − S) − P.
Generalna zasada będzie taka: na diagramie zaznaczamy warunki prawdziwości obu przesłanek i sprawdzamy, czy z diagramu można odczytać prawdziwość wniosku. Jeżeli tak, to rozumowanie jest poprawne, w przeciwnym wypadku jest niepoprawne i możemy postarać się o znalezienie przykładu falsyfikującego.
4.2. Tryb poprawny
Przeanalizujmy następujące rozumowanie:
1. Każdy ssak jest kręgowcem. Każdy tygrys jest ssakiem. Zatem każdy tygrys jest kręgowcem.
Jest to poprawny tryb Barbara (M — ssak, S — tygrys, P — kręgowiec). Po naniesieniu na diagram warunków prawdziwości przesłanki większej, mamy następującą sytuację:
Rysunek 7
16
Po uwzględnieniu dodatkowo prawdziwości drugiej przesłanki otrzymujemy następujący diagram:
Jak widać, zarówno obszar II, jak i VI zostały zaznaczone jako puste, a to oznacza, że nie ma takich desygnatów S (tygrysów), które nie należą również do ekstensji P (kręgowców). Jeżeli jakieś desygnaty S w ogóle istnieją, to muszą się znajdować na obszarze V, symbolizującym część wspólną wszystkich trzech zbiorów. Oznacza to, że wniosek jest prawdziwy, przy założeniu prawdziwości przesłanek, a zatem rozumowanie jest poprawne.
4.3. Tryb niepoprawny
W dalszym ciągu będziemy dla uproszczenia prawdziwość obu przesłanek zaznaczali od razu na jednym diagramie. Zbadajmy rozumowanie:
2. Żaden tygrys nie jest żabą. Żadna żaba nie jest wilkiem. Zatem żaden wilk nie jest tygrysem.
Rysunek 8
Rysunek 9
17
Ma ono następujący schemat: PeM, MeS / SeP, którego diagram ma postać:
Tutaj prawdziwość pierwszej przesłanki dała pustość obszaru V i VII, a drugiej VI i ponownie V. Jednak aby wniosek był prawdziwy, musimy mieć gwarancję pustości iloczynu S i P, który jest symbolizowany łącznie przez obszar V i III. Wprawdzie V jest pusty, ale III nie jest wcale zaznaczony, więc jest możliwe, że reprezentuje zbiór niepusty.
Rozumowanie powyższe nie jest zatem poprawne, gdyż struktura przesłanek nie gwarantuje (przy ich prawdziwości) prawdziwości wniosku o zadanej strukturze. Niepoprawność rozumowania pokazuje diagram, ale możemy też łatwo znaleźć interpretację falsyfikującą. Rozważmy poniższe rozumowanie:
3. Żaden tygrys nie jest żabą. Żadna żaba nie jest ssakiem. Zatem żaden ssak nie jest tygrysem.
Reprezentuje ono taki sam tryb, ale wniosek jest ewidentnie fałszywy, chociaż przesłanki prawdziwe. Warto też sprawdzić, które kryterium poprawności sylogizmu zostało złamane.
Kolejne przykłady podajemy od razu ze schematem i diagramem.
4.4. Przesłanki szczegółowe
4. Żaden ssak nie jest rybą. Niektóre ryby są drapieżnikami. Zatem niektóre drapieżniki nie są ssakami (PeM, MiS / SoP).
Rysunek 10
Rysunek 11
18
Rozumowanie jest poprawne, gdyż X stoi w obszarze VI, wskazując na niepustość zbioru S poza obszarem zbioru P. Warto zauważyć, że zaznaczając prawdziwość przesłanki drugiej, mamy do dyspozycji dwa obszary — V i VI. Jednak V jest już zaznaczony jako zbiór pusty, zatem X możemy postawić tylko w obszarze VI. Dla prawdziwości wniosku potrzeba, żeby X stało bądź w obszarze VI, bądź w obszarze V — nie jest istotne, w którym. Przeanalizujmy kolejny przykład.
5. Każdy ssak to kręgowiec. Niektóre kręgowce to drapieżniki. Więc niektóre drapieżniki są ssakami (PaM, MiS / SiP).
Powyższy przykład może wydać się poprawny. Wniosek jest prawdziwy, przesłanki również, ale to nie powinno już nikogo zwieść. Skoncentrujmy się na formie, a nie na treści. Żeby wniosek był prawdziwy, X powinien stać w obszarze III lub V. Pierwszy z nich jest wprawdzie pusty, ale V zawiera X. Zwróćmy jednak uwagę, że X stoi także w obszarze VI. Zaznaczając prawdziwość drugiej przesłanki, mieliśmy bowiem do dyspozycji oba te obszary. Inaczej niż w przykładzie 4., gdzie z dwóch teoretycznie możliwych, jeden został wstępnie wykluczony przez prawdziwość przesłanki większej.
To, że mieliśmy do dyspozycji dwa obszary, zaznaczyliśmy, łącząc oba X-y kreską. Taką sytuację (dwa obszary, na których może znaleźć się X) interpretujemy jako świadectwo niepoprawności trybu. Przesłanka będąca zdaniem szczegółowym w takim przypadku może być prawdziwa na trzy różne sposoby:
a) kiedy zarówno obszar V, jak i VI są niepuste,
b) kiedy V jest niepuste, a VI puste,
c) kiedy V jest puste, a VI niepuste.
Łatwo zauważyć, że prawdziwość wniosku gwarantuje tylko przypadek a) i b). Jeżeli zajdzie c), to wniosek jest fałszywy, mimo prawdziwości przesłanki.
A zatem w sytuacji, kiedy zaznaczając prawdziwość zdania szczegółowego, jesteśmy zmuszeni postawić X na dwóch polach, sygnalizujemy to, łącząc je kreską. X połączony kreską z innym X-em interpretujemy jako znak mówiący, że jest możliwe, iż dany zbiór jest niepusty, ale nie jest tak w każdej sytuacji. A to oznacza, że jeżeli wniosek też jest zdaniem szczegółowym i X stoi w miejscu, w którym gwarantuje prawdziwość tego zdania, to bierzemy go pod uwagę tylko wtedy, gdy nie występuje z kreską. W przeciwnym wypadku traktujemy rozumowanie jako niepoprawne. Kogo nie przekonały powyższe wywody, niech zwróci uwagę na następujące rozumowanie falsyfikujące analizowany tryb:
6. Każdy ssak to kręgowiec. Niektóre kręgowce to ryby. Więc niektóre ryby to ssaki.
Rysunek 12
19
4.5. Zaznaczanie istnienia w zdaniach ogólnych
Diagramy Venna pozwalają sprawdzić poprawność każdego trybu. Zaznaczmy jednak, że w przypadku poprawnych trybów, w których obie przesłanki są ogólne a wniosek szczegółowy (jest 9 takich trybów), należy dodatkowo zaznaczyć za pomocą X niepustość jednego z terminów. Nie będziemy jednak szerzej objaśniać tego problemu, zilustrujemy go tylko przykładem.
7. Każdy tygrys jest drapieżnikiem. Każdy tygrys jest ssakiem. Zatem niektóre ssaki są drapieżnikami (MaP, MaS / SiP).
Na diagramie nie ma krzyżyka ani w obszarze V, ani w III, a żeby wniosek był prawdziwy, to jeden z nich powinien być niepusty. Jednak powyższe rozumowanie jest poprawne (tryb Darapti). Otóż musimy pamiętać, że wszystkie terminy sylogizmu są niepuste, a zatem — skoro trzy obszary M są zaznaczone jako puste — to mamy prawo dostawić X w V, gdyż jest to na powyższym diagramie jedyny potencjalnie niepusty obszar, który jest częścią zbioru M. Takie uzupełnienie diagramu gwarantuje nam zarazem prawdziwość wniosku.
Rysunek 13
20
5. Język KRK
5.1. Ograniczenia logiki arystotelesowskiej
We wstępie do tego modułu wskazaliśmy na ograniczenia KRZ w analizie rozumowań z języka potocznego. Rachunek nazw pozwala poszerzyć zakres analizy, ale tylko w ograniczony sposób. Rozważmy następujące rozumowanie:
1. Adam jest niższy od Bogdana. Bogdan jest niższy od Cezarego. Zatem Adam jest niższy od Cezarego.
Rozumowanie to jest intuicyjnie poprawne, chociaż entymematyczne. Jednak nawet po uzupełnieniu go przesłanką charakteryzującą relację „niższości” o postaci: „Jeżeli ktoś jest niższy od drugiej osoby, a ta jest niższa od trzeciej, to i on jest niższy od tej trzeciej”, nie jesteśmy w stanie wykazać jego poprawności. Nie jest to możliwe na gruncie KRZ, gdyż brak tu spójników i poprawność rozumowania zależy od struktury wewnętrznej zdań. Jednak w rachunku nazw też nie możemy tego zrobić, gdyż rozumowanie to nie składa się ze zdań kategorycznych. Dopiero klasyczny rachunek kwantyfikatorów (KRK) jest logiką wystarczającą do analizy takich rozumowań.
5.2. Nazwy i predykaty
W języku KRK też wyróżnia się nazwy i — podobnie jak w rachunku nazw
— kategorię tę rozumie się wąsko. Jednak podczas gdy w logice tradycyjnej za nazwy uznawaliśmy jedynie nazwy ogólne, to w KRK za nazwy uznajemy tylko nazwy jednostkowe, a nawet węziej — tylko nazwy indywidualne.
Nazwy te dzielimy na dwie grupy. Stałe nazwowe to nazwy o ustalonym desygnacie, czyli imiona własne. Będziemy je oznaczać literami: a, b, c, d. Oprócz stałych potrzebne są zmienne nazwowe, które nie mają w danym kontekście ustalonego znaczenia. Będziemy je oznaczać literami: x, y, z.
W języku KRK rozważamy funktory zdaniotwórcze od argumentów nazwowych zwane predykatami. Dzielimy je na predykaty 1-argumentowe (kategorii z/n), 2-argumentowe (z/n, n), 3-argumentowe (z/n, n, n). Teoretycznie można też wprowadzić predykaty o większej liczbie argumentów, ale zazwyczaj nie ma takiej potrzeby. Przykładami predykatów są wyrażenia: „...biegnie”, „...jest wysoki”, „...kocha...”, „...jest niższy od...”, „...leży między...a...”, gdzie za pomocą „...” zaznaczyliśmy położenie i liczbę argumentów nazwowych dla danego predykatu.
Funkcją predykatów 1-argumentowych jest wyrażanie własności (cech) obiektu, którego nazwa jest ich argumentem. Natomiast predykaty dwu-, trój- i więcejargumentowe wyrażają relacje zachodzące między parami, trójkami,
... obiektów.
Zauważmy, że w języku KRK nazwy ogólne (np. „wysoki”) są traktowane jako składnik predykatu, podobnie jak funktor „jest”, który w rachunku nazw był częścią stałych logicznych (a, e, i, o).
21
5.3. Formuły atomowe
Predykaty oznaczać będziemy za pomocą liter od A do Z, w miarę możliwości wybierając pierwszą literę odpowiedniego wyrażenia z języka polskiego. Argumenty predykatu będziemy zawsze podawać na prawo od jego symbolu, w ustalonej kolejności.
Zdania typu: „Adam biegnie” czy „Adam jest mężczyzną” zapiszemy jako proste formuły atomowe: „Ba”, „Ma”. W przypadku obu zdań nie ma innej możliwości, gdyż oba przypisują pewnemu obiektowi pewną własność. W szczególności w drugim z nich mamy do czynienia z tzw. predykatywnym użyciem funktora „jest”, które oznacza, że obiekt jest elementem pewnego zbioru. Weźmy pod uwagę zdanie:
2. Adam czyta Kocią kołyskę.
Można je również potraktować jako formułę tego typu („Ca”), ale bardziej wskazane jest potraktowanie go jako formuły relacyjnej o schemacie: „Cab”, gdzie „b” denotuje tę konkretną powieść, a „C” dwuargumentowy predykat „...czyta...”.
W przypadku zdań relacyjnych najważniejszym problemem jest przestrzeganie kolejności argumentów predykatu wobec możliwości pojawienia się różnych form gramatycznych. Np. zdanie „Adam kocha Beatę” i „Beata jest kochana przez Adama” należy wyrazić taką samą atomową formułą relacyjną Kab, gdzie K denotuje „...kocha...”. Błędem jest zarówno użycie do każdego z tych zdań innego symbolu predykatu, jak i przepisanie w drugim przypadku nazw argumentów w takiej kolejności, jaką dyktuje zdanie.
5.4. Zdania proste a złożone
Osobny problem to wyrażanie w języku KRK charakterystyk złożonych.
Rozważmy zdanie:
3. Adam jest wysokim blondynem.
Należy je ująć jako koniunkcję dwóch zdań atomowych, czyli „Wa ∧ Ba”. Jak widać, w języku KRK używamy spójników KRZ w standardowy sposób, po prostu zamiast zmiennych zdaniowych występują formuły atomowe KRK. Podana przez nas formalizacja 3. jest poprawna, gdyż zachowuje logiczne własności tego zdania, np. z formuły tej wynika zarówno formuła „Wa”, jak i „Ba”. Analogicznie ze zdania 3. wynika zarówno zdanie „Adam jest wysoki”, jak i „Adam jest blondynem”.
Z drugiej strony zdania:
4. Adam jest niskim koszykarzem
nie możemy potraktować tak samo. Ktoś, kto jest niskim koszykarzem, ma np. 1,80 m wzrostu, a to nie daje podstaw do uznania za prawdziwe zdania „Adam jest niski”. Zdania 3. i 4. mają taką samą formę gramatyczną, ale inną formę logiczną. W 3. o obiekcie orzeka się dwie niezależne charakterystyki, natomiast w 4. orzeka się o nim jedną złożoną charakterystykę, w której „niski” stosuje się nie do Adama, ale do dowolnego koszykarza. W związku z tym 4. należy zapisać jako formułę atomową, np. „Na”. Konsekwencją tego jest niestety utrata pewnych logicznych własności zdania 4., np. wynika z niego zdanie „Adam jest koszykarzem”, ale z formuły „Na” nie wynika formuła „Ka” (gdzie „K” denotuje „...jest koszykarzem...”). Ważniejsze
22
jest jednak tutaj raczej to, że — na szczęście — formalizacja zdania „Adam jest niski” (np. „Ma”) również nie będzie wynikała z „Na”.
5.5. Kwantyfikatory
Spójniki KRZ to nie jedyne stałe logiczne języka KRK. Gdyby tak było, to pod pewnymi względami język ten byłby uboższy od języka rachunku nazw. Dopiero dodanie kwantyfikatorów czyni z niego potężne narzędzie formalizacji. Wyróżniamy dwa kwantyfikatory:
— ogólny (który czytamy: „dla każdego...”) o symbolu ∀,
— szczegółowy („dla pewnego...”, „istnieją takie, że...”) o symbolu ∃.
Oba kwantyfikatorybędą występowały zawsze w połączeniu ze zmiennymi nazwowymi, które mają wiązać (czyli do których się odnoszą) w danej formule w następujący sposób: „∀x” (czytamy: „dla każdego x”), „∀xyz” (czytamy: „dla każdego x, y, z”). Podobnie jak predykaty, stawiamy je z lewej strony zdań, które poddawane są kwantyfikacji.Jeżeli zdanie kwantyfikowanejestzłożone, to dodatkowo bierzemy je w nawias, podobnie jak w przypadku negacji.
Wyrażenia z języka polskiego, dla których formalizacji można użyć kwantyfikatoraogólnego to:
„każdy”, „wszystko”, „zawsze”, „wszędzie”,
natomiast formalizowane przez kwantyfikatorszczegółowy to:
„pewne”, „niektóre”, „coś”, „istnieje”, „kiedyś”, „gdzieś”.
Łącząc kwantyfikatorogólny z negacją, można też formalizować zwroty typu:
„nie każdy”, „żaden”, „nigdy”, „nigdzie”.
Podejmując decyzję o użyciu kwantyfikatora,trzebadobrzerozważyć, czy dane wyrażenie wymaga formalizacji przez ogólny, czy szczegółowy kwantyfikator.Przykładowo zdanie „Cokolwiek jest psem, jest zwierzęciem” jest zdaniem typu SaP i wymaga użycia kwantyfikatoraogólnego (patrz niżej). Natomiast zdanie „Adam czyta cokolwiek” wymaga raczej użycia kwantyfikatoraszczegółowego, co zaraz zademonstrujemy.
Zdania typu: „Coś jest ciężkie”, „Wszystko ma masę” wymagają użycia kwantyfikatorów — odpowiednio: „∃xCx”, „∀xMx”. Zdania: „Wszystko jest większe od czegoś” i „Coś jest większe od wszystkiego” zapiszemy odpowiednio: „∀x∃yWxy”, „∃x∀yWxy”. Zdanie „Adam kogoś kocha” zapiszemy „∃xKax”
— w analogiczny sposób zapiszemy formę wspomnianego wyżej zdania „Adam czyta cokolwiek”.
Są to proste przykłady kwantyfikacjizdań atomowych. Natomiast zdanie „Adam czyta jakąś książkę” jest już przykładem kwantyfikacjizdaniazłożonego, którą zapiszemy: „∃x(Kx ∧ Cax)” (gdzie K denotuje „...jest książką”, a C — „...czyta...”). Tutaj jesteśmy już zmuszeni do użycia dodatkowego predykatu kwalifikującego zmienną kwantyfikowaną i zastosowania jakiegoś spójnika łączącego, zatem zdanie, którego forma gramatyczna jest bardzo nieskomplikowana, okazuje się zdaniem złożonym.
23
5.6. Zdania kategoryczne
W języku KRK bez problemu możemy formalizować zdania kategoryczne według schematu:
SaP oddamy przez ∀x(Sx → Px)
SeP oddamy przez ∀x(Sx → ¬Px)
SiP oddamy przez ∃x(Sx ∧ Px)
SoP oddamy przez ∃x(Sx ∧ ¬Px)
Jak widać, zdania proste rachunku nazw są tutaj traktowane jako formuły złożone. Co więcej, jeżeli chcemy dokładnie oddać znaczenie obu zdań ogólnych, należy je jeszcze bardziej skomplikować. SaP należy zapisać jako ∀x(Sx → Px) ∧ ∃xSx, a SeP jako ∀x(Sx → ¬Px) ∧ ∃xSx. W ten sposób dodatkowo informujemy o niepustości nazwy S.
5.7. Relacje
Język KRK, który pozwala nam analizować strukturę wewnętrzną dowolnych zdań a nie tylko zdań kategorycznych, pozwala sformalizować również rozumowanie 1., które zawiera zdania relacyjne. Jego zapis, po dodaniu dodatkowej przesłanki, wygląda następująco:
5. Nab, Nbc, ∀xyz[(Nxy ∧ Nyz) → Nxz] / Nac
Dodana przesłanka mówi o tym, że relacja wyrażana predykatem „...jest niższy od...” jest przechodnia. Na gruncie KRK łatwo możemy potwierdzić nasze intuicje dotyczące poprawności analizowanego rozumowania. Jeżeli w przesłance charakteryzującej relację „N” odłączymy kwantyfikator,azazmiennepodstawimystałe nazwowe według schematu: x – a, y – b, z – c, to otrzymamy schemat:
6. Nab, Nbc, (Nab ∧ Nbc) → Nac / Nac
Operacja odłączania kwantyfikatoraizamienianiazmiennychnastałe to przykład poprawnej reguły wnioskowania KRK, której intuicyjny sens jest następujący: jeżeli coś jest orzekane o wszystkich obiektach (danej kategorii), to można to orzec o każdym konkretnie wybranym obiekcie. Otrzymany schemat można sprawdzić za pomocą metody skróconej, co wykaże, że jeżeli przesłanki są prawdziwe, to wniosek też.
Korzystając z języka KRK, można wyrazić wiele innych interesujących własności relacji dwuargumentowych, takich jak zwrotność czy symetria.
24
Bibliografia
1. Ajdukiewicz K., 1959: Zarys logiki, PZWS,Warszawa.
2. Arystoteles, 1990: Dzieła wszystkie, t. 1, PWN,Warszawa.
3. Borkowski L., 1976: Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa.
4. Bremer J., W., 2004: Wprowadzenie do logiki, Wydawnictwo WAM, Kraków.
5. Chodkowski T., Nieznański E., Świętorzecka K., Wójtowicz A., 2000: Elementy logiki prawniczej, PWP Iuris, Warszawa.
6. Gumański L., 1990: Wprowadzenie w logikę współczesną, PWN, Warszawa.
7. Mill J., S., 1962: System logiki dedukcyjnej i indukcyjnej, t. I–II, PWN, Warszawa.
8. Przybyłowski J., 2001: Logika z ogólną metodologią nauk, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk.
9. Skarbek W., 2004: Logika dla humanistów, NWP, Piotrków Trybunalski.
10. Szymanek K., 2001: Sztuka argumentacji. Słownik terminologiczny, PWN, Warszawa.
11. Tokarz M., 1984: Wprowadzenie do logiki, Uniwersytet Śląski, Katowice.
12. Trzęsicki K., 1996: Logika, nauka i sztuka, Temida, Białystok.
13. Wójcicki R., 2003: Wykłady z logiki z elementami teorii wiedzy, Scholar, Warszawa.
14. Ziembiński Z., 1993: Logika praktyczna, PWN, Warszawa.
BibliografiastronWWW
15. John Carroll University. Witryna internetowa.,
www.jcu.edu/philosophy/gensler, stan z 20.12.2005.
25
Słownik
Argumenty — typowe sposoby uzasadniania poglądów stosowane w dyskusji. Ich ocena dotyczy raczej skuteczności, nie zaś logicznej poprawności. Niektóre można jednak zdecydowanie uznać za nieuczciwe sposoby przekonywania, toteż określa się je często jako fortele (sztuczki) erystyczne i traktuje jako rodzaj błędnych rozumowań. Do najbardziej znanych należą argumentum ad autoritatem (odwołanie się do autorytetu, odwoływanie się do litości dyskutanta lub audytorium), argumentum ad verecundiam (odwoływanie się do nieśmiałości dyskutanta), argumentum ad vanitatem (odwoływanie się do próżności naszego rozmówcy), argumentum ad hominem (odwołanie się do poglądów oponenta, aby wykorzystać je dla własnych celów), argumentum ad personam (argumenty, w których poglądy oponenta podważa się w sposób pośredni, wskazując, że jest to osoba nieuczciwa, niemoralna, niekompetentna itp.), argumentum ad baculum (odwołanie się „do kija”, do gróźb), argumentum ad misericordiam (odwoływanie się do litości dyskutanta lub audytorium), argumentum ad populum (używanie rozmaitych chwytów demagogicznych „pod publiczkę”, aby zyskać jej poparcie).
Błędy definicji — błędy popełniane podczas definiowania.Wyróżnić można m.in. błąd ignotum per ignotum (niezrozumiałe przez niezrozumiałe) oraz błąd idem per idem, zwany też błędnym kołem (circulus vitiosus) w definicji.Tutajdodatkowowystępują dwa typy — błędne koło bezpośrednie (ten sam termin w definiendumidefiniensietej samej definicji)orazbłędne koło pośrednie, gdzie mamy do czynienia z ciągiem definicjitakim,że każda następna wyjaśnia pewien termin występujący w definiensiepoprzedniej, a w definiensieostatniejpojawiasię ponownie termin z definiendumpierwszej definicji.Innerodzajebłędów dotyczą niezgodności zakresów definiensai definiendum.Definicjajestzaszeroka,gdyzakresdefiniendumjestpodrzędny względem zakresu definiensa,natomiastzawąska, gdy zakres definiendumjestnadrzędny względem zakresu definiensa.Może też zachodzić krzyżowanie się zakresów lub tzw. błąd kategorialny, gdy zakresy obu członów definicjisą rozłączne.
Błędy logiczne — różne rodzaje wykroczeń przeciwko regułom użycia języka, powodujące zakłócenia w komunikacji, wynikające m.in. z wieloznaczności, nieostrości, niedookreśloności, używania wyrażeń okazjonalnych, niezrozumiałych. Typowym przykładem takiego błędu jest amfibologia,czyliwadliwaskładnia umożliwiająca różną interpretację tekstu.
Błędy rozumowań — tradycyjnie dzieli się je na materialne (fałszywość przynajmniej jednej przesłanki) i formalne (niepoprawny schemat rozumowania). Dodatkowo wyróżnia się wiele szczególnych przypadków. Do najważniejszych należą ekwiwokacja (użycie pewnego terminu w różnych znaczeniach w obrębie jednego rozumowania) oraz logomachia (użycie pewnego terminu w różnych znaczeniach w dyskusji).
Błąd formalny — brak wynikania w rozumowaniu, które przedstawia się jako poprawne (niezawodne).
Błąd materialny — fałszywość co najmniej jednej przesłanki w rozumowaniu.
Definicja— językowy sposób wyjaśnienia znaczenia jakiegoś wyrażenia (definicjanominalna) lub podanie charakterystyki przedmiotu (definicjarealna).Definicjaskłada się z trzech części: definiendum(część zawierająca termin definiowany),łącznika definicyjnego(zwanegoczęsto spójką definicyjną) i definiensa(część wyjaśniająca znaczenie). Ze względu na spełniane zadania wyróżnia się trzy
26
rodzaje definicji:definicjesprawozdawcze— inaczej słownikowe — które służą do wyjaśniania, w jakim znaczeniu dane wyrażenie jest obecnie w pewnym języku używane; definicjeregulujące — które służą precyzacji znaczenia danego wyrażenia, np. w przypadku nazw nieostrych podają propozycję uściślenia ich zakresu; definicjeprojektujące — powstające wówczas, gdy pojawia się potrzeba nazwania nowego zjawiska w danym języku.
Funkcje komunikacyjne — ogół celów realizowanych przez użycie języka. Do funkcji komunikacyjnych należą: funkcja ekspresywna (wyrażanie stanów wewnętrznych użytkownika języka), funkcja perswazyjna (oddziaływanie na słuchacza), funkcja fatyczna (utrzymywanie kontaktu między użytkownikami), funkcja opisowa (przekazywanie informacji).
Indukcja — ogólna nazwa klasy schematów rozumowania, z których większość jest zawodna, ale często wykorzystywana w praktyce. Można tu wyróżnić: indukcję eliminacyjną, indukcję enumeracyjną oraz indukcję matematyczną. Najpopularniejsza (często zwana po prostu indukcją) jest indukcja enumeracyjna, czyli przez wyliczenie. Na podstawie skończonej liczby przesłanek, które są zdaniami szczegółowymi, dochodzi się do wniosku ogólnego. W indukcji eliminacyjnej stosuje się tzw. kanony, czyli pewne dodatkowe schematy rozumowania. Należą do nich m.in. kanony: jedynej zgodności i jedynej różnicy.
Języki sztuczne — języki konstruowane do specjalnych celów, np. w logice do analizy znaczenia wybranych wyrażeń. Charakteryzują się prostą i konsekwentną gramatyką, a w semantyce brakiem wieloznaczności.
Kategoria syntaktyczna — zbiór wyrażeń, które mogą być wzajemnie wymienialne bez utraty składniowej spójności kontekstu, w którym ta wymiana się odbywa. Kategorie syntaktyczne dzielimy na samodzielne (zdania i nazwy) oraz niesamodzielne (funktory).
Klasyczny rachunek kwantyfikatorów (KRK) — podstawowy rachunek logiczny, zwany często po prostu logiką klasyczną (również rachunek predykatów, rachunek 1-go rzędu, rachunek funkcyjny).
Klasyczny rachunek zdań (KRZ) — elementarna część logiki klasycznej, w której jedyne wyróżnione stałe logiczne to pewne spójniki ekstensjonalne.
Klasyfikacjaodpowiedzi — wśród wielu rodzajów możliwych odpowiedzi na różne rodzaje pytań można wyróżnić odpowiedź właściwą — uzupełnienia pewnego schematu, który sugeruje pytanie; odpowiedź częściową — zdanie, z którego nie wynika żadna odpowiedź właściwa, ale które wyklucza niektóre spośród nich; odpowiedź wyczerpującą — zdanie prawdziwe, z którego wynikają wszystkie odpowiedzi właściwe i prawdziwe.
Kwadrat logiczny — graficznysposób prezentacji relacji logicznych zachodzących między zdaniami kategorycznymi o tym samym podmiocie i orzeczniku.
Kwantyfikatory — wyrażenia określające, czy chodzi o wszystkie elementy danego zbioru (kwantyfikatorogólny), czy o ich część (kwantyfikatorszczegółowy). Kwantyfikatorzawszewystępuje wraz z symbolem zmiennej nazwowej, która jest przez niego związana.
Operacja formalizacji tekstu — przekład z języka naturalnego na język KRK lub inny język sztuczny w celu wyeliminowania wieloznaczności. Poprawna formalizacja musi zachować co najmniej warunki prawdziwości zdań tłumaczonych.
Podział logiczny — jest to podstawowy zabieg porządkujący określoną dziedzinę badań. Podział — aby był logiczny — musi spełniać warunek adekwatności (suma zbiorów będących członami podziału musi dawać w rezultacie zbiór dzielony),
27
warunek rozłączności (zbiory będące członami podziału muszą być parami rozłączne), warunek niepustości (każdy człon podziału musi coś zawierać). Skrzyżowanie różnych podziałów to klasyfikacja,zaś uporządkowanie członów podziału to systematyzacja.
Pytania — wypowiedzi, których zasadniczym celem jest zdobycie informacji. Składają się zazwyczaj z partykuły pytajnej i tzw. datum questionis (danej pytania). Wyróżnić można pytania otwarte i pytania zamknięte (pytania zamknięte dopełnienia, pytania zamknięte rozstrzygnięcia).
Rachunek nazw (tradycyjny) — system logiki stworzony przez Arystotelesa, w którym analizuje się pewne formy rozumowań zachodzących pomiędzy zdaniami kategorycznymi.
Reguły niezawodne — schematy rozumowań, w których wniosek wynika z przesłanek, np. modus ponendo ponens, sylogizm hipotetyczny, dylemat konstrukcyjny prosty.
Relacje logiczne — zachodzą między zdaniami w sensie logicznym. Do najważniejszych należy pięć niżej wymienionych:
— Z2 wynika z Z1 wtw, „Jeżeli Z1, to Z2” jest zdaniem analitycznie prawdziwym.
— Z1 i Z2 są równoważne wtw, „Z1 wtw, Z2” jest zdaniem analitycznie prawdziwym.
— Z1 i Z2 wykluczają się wtw, „Z1 i Z2” jest zdaniem kontradyktorycznym.
— Z1 i Z2 dopełniają się wtw, „Z1 lub Z2” jest zdaniem analitycznie prawdziwym.
— Z1 i Z2 są sprzeczne wtw, „Z1 wtw, Z2” jest zdaniem kontradyktorycznym.
Relacje między zakresami nazw — w przypadku nazw ogólnych można wyróżnić pięć rodzajów relacji zachodzących między ich zakresami. Ekstensje dwóch nazw mogą:
— być równoważne (tożsame), gdy jest to ten sam zbiór, np. „kobieta” i „niewiasta”,
— być w relacji podrzędności (ostrego zawierania się), gdy każdy desygnat jednej nazwy jest desygnatem drugiej, ale nie odwrotnie (ta druga nazwa jest wtedy w relacji nadrzędności względem pierwszej), np. „ssak”, „kręgowiec”,
— wykluczać się (być rozłączne), gdy nie mają wspólnych desygnatów, np. „piernik” i „wiatrak”,
— krzyżować się, gdy mają jakieś desygnaty wspólne i każda z nich ma desygnaty, które nie należą do zakresu drugiej, np. „ssak”, „drapieżnik”.
Rozumowanie — jako czynność: proces psychiczny zmierzający do uznania pewnych zdań (wniosków) na podstawie innych zdań (przesłanek); jako rezultat: tekst językowy, w którym pewne zdania występują w funkcji przesłanek, a inne w funkcji wniosków.
Rozumowanie entymematyczne — rozumowanie, w którym pominięto przesłanki lub uznano za oczywiste, lub zdania w oczywisty sposób z nich wynikające a prowadzące do wniosku końcowego.
Rozumowanie poprawne (dedukcyjne, niezawodne) — takie rozumowanie, w którym pomiędzy przesłankami a wnioskiem zachodzi relacja wynikania.
Rozumowanie uprawdopodobniające — rozumowanie, w którym nie zachodzi wynikanie między przesłankami a wnioskiem, ale w którym prawdziwość przesłanek zwiększa prawdopodobieństwo zachodzenia wniosku, np. różne formy indukcji czy rozumowania przez analogię.
Semiotyka logiczna — dział logiki zajmujący się badaniem systemów znakowych. Dzieli się na syntaktykę, badającą reguły składni, semantykę, badającą relacje między znakami i ich znaczeniem oraz pragmatykę, badającą relacje między znakami a ich użytkownikami.
28
Semantyka KRZ — (czyli teoria znaczenia języka) jest ekstensjonalna — oznacza to, że nie uwzględnia się w niej formalnie sądów logicznych, a tylko wartości logiczne zdań. Podstawowe jest tutaj pojęcie wartościowania zmiennych. Wartościowaniem nazywamy dowolne odwzorowanie V ze zbioru zmiennych zdaniowych w zbiór {1,0}. Definicjeznaczeniaspójników pokazują, w jaki sposób dane wartościowanie należy poszerzyć na dowolną formułę złożoną.
Sprzeczność w KRZ — zbiór formuł X jest sprzeczny wtw, nie istnieje wartościowanie, przy którym wszystkie formuły z tego zbioru są prawdziwe.
Stałe logiczne — są to wyróżnione wyrażenia, których znaczenie jest precyzyjnie ustalone na gruncie semantyki danej logiki. W KRZ są to spójniki, czyli funktory zdaniotwórcze: funktor negacji oraz dwuargumentowe funktory koniunkcji, alternatywy, implikacji, równoważności.
Tautologia KRZ — formuła, która jest prawdziwa przy każdym wartościowaniu (prawda logiczna). Formuła, która przy każdym wartościowaniu jest fałszywa, to kontrtautologia albo fałsz logiczny. Formuły, których wartość logiczna nie jest stała, lecz zmienia się — w zależności od wartościowania — to formuły kontyngentne.
Przykłady tautologii KRZ:
— prawo wyłączonego środka p∨¬p,
— prawo (nie)sprzeczności ¬(p∧¬p),
— prawo tożsamości p → p (lub, w mocniejszej postaci p ↔ p),
— sylogizm hipotetyczny [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r),
— modus ponendo ponens [(p → q) ∧ p] → q.
Wynikanie w KRZ: ze zbioru X wynika p wtw, dla dowolnego wartościowania V, przy którym V(X) = 1, to V(p) = 1.
Wnioskowania bezpośrednie — reguły niezawodne, w których wniosek wyprowadza się z jednej przesłanki (np. obwersja, konwersja, kontrapozycja).
Wnioskowania pośrednie (sylogizmy) — reguły niezawodne, w których wniosek wyprowadza się z dwóch przesłanek. W sylogizmie występują trzy różne terminy, każdy po dwa razy w całym rozumowaniu ale tylko raz w danym zdaniu. Termin występujący w obu przesłankach to termin średni, orzecznik wniosku to termin większy a podmiot wniosku to termin mniejszy.
Wynikanie — wniosek wynika z przesłanek wtw, jeżeli jest niemożliwe, żeby wszystkie przesłanki były prawdziwe, a wniosek fałszywy.
Zasada brzytwy Ockhama — zasada nawołująca do tego, by nie mnożyć bytów bez potrzeby.
Zasada dwuwartościowości — każde zdanie (w sensie logicznym) posiada jedną z dwóch wartości logicznych: jest prawdziwe lub fałszywe.
Zasada niesprzeczności — żadne zdanie stwierdzające jakiś stan rzeczy nie może być zarazem prawdziwe i fałszywe. Innymi słowy, nie jest możliwe, aby jakiś stan rzeczy zachodził i nie zachodził zarazem.
Zasada racji dostatecznej — zasada mówiąca, że dla każdego twierdzenia należy podać wystarczające uzasadnienie, czyli dostateczną rację dla jego uznania.
Zasada życzliwej interpretacji — taki sposób interpretowania tekstu w procesie formalizacji, który stara się zachować logiczne relacje i własności (np. wynikanie i niesprzeczność).
Zbiór uporządkowany — zbiór, na którego elementy nałożono pewną relację porządkującą. Dwa ważne rodzaje takich relacji to relacja częściowego porządku i relacja liniowego porządku.
29
Zdania kategoryczne (asertoryczne) — zdania podmiotowo-orzecznikowe, których analizą zajmował się już Arystoteles, tworząc pierwszy system logiki. Wyróżniamy: zdania ogólno-twierdzące (Każde S jest P — SaP), zdania ogólno-przeczące (Żadne S nie jest P — SeP), zdania szczegółowo-twierdzące (Niektóre S są P — SiP), zdania szczegółowo-przeczące (Niektóre S nie są P — SoP).
Znaczenie wyrażeń — informacja przekazywana przez wyrażenie. Wyróżnia się dwa rodzaje znaczenia: ekstensję (zakres, odniesienie, denotację), intensję (sens, treść). W przypadku nazw ekstensją jest zbiór desygnatów nazwy (obiektów, do których odnosi), a intensją zbiór cech desygnatów. W przypadku zdań ekstensją jest ich wartość logiczna, a intensją sąd logiczny (komunikowany w zdaniu stan rzeczy).
30
Spis symboli
n — nazwa
z — zdanie
z/z — funktor zdaniotwórczy od jednego argumentu zdaniowego
z/z,z — funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych
z/n — funktor zdaniotwórczy od jednego argumentu nazwowego
z/n,n — funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów nazwowych
n/n — funktor nazwotwórczy od jednego argumentu nazwowego
n/n, n — funktor nazwotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych
(z/n)/(z/n) — funktor funktorotwórczy (tworzy funktor o kategorii z/n) od jednego argumentu funktorowego kategorii z/n
Z1 , Z2 — zdania oznajmujące
p, q, r, s, t — zmienne zdaniowe (dowolne zdania oznajmujące)
X — zbiór zdań
X / p — schemat rozumowania o przesłankach X i wniosku p ( X, zatem p)
¬p — negacja p (nieprawda, że p)
(p ∧ q) — koniunkcja p i q (p i q)
(p ∨ q) — alternatywa p i q (p lub q)
(p → q) — implikacja o poprzedniku p i następniku q (jeżeli p, to q)
(p ↔ q) — równoważność p i q (p wtedy i tylko wtedy, gdy q)
1 — symbol prawdy
0 — symbol fałszu
S — podmiot (subiectum) zdania kategorycznego
P — orzecznik (predicatum) zdania kategorycznego
T — termin średni
S’ — nazwa zaprzeczona (nie-S)
SaP — zdanie ogólno-twierdzące (Każde S jest P)
SeP — zdanie ogólno-przeczące (Żadne S nie jest P)
SiP — zdanie szczegółowo-twierdzące (Niektóre S są P)
SoP — zdanie szczegółowo-przeczące (Niektóre S nie są P)
∅ — zbiór pusty
S∪P — suma zbiorów S i P
S∩P — iloczyn (przekrój) zbiorów S i P
31
S−P — różnica zbiorów S i P
−S — dopełnienie zbioru S
S ⊆ P — relacja zawierania (S jest podzbiorem P)
a, b, c — stałe nazwowe
x, y, z — zmienne nazwowe
A – Z — predykaty
∀x — kwantyfikacjaogólna (duża, uniwersalna) zmiennej x (dla każdego x)
∃x — kwantyfikacjaszczegółowa (mała, egzystencjalna) x (dla pewnego x)