Elementy liniowe układów automatyki

Elementy całkuj ce

ELEMENTY CAŁKUJ CE

Element całkuj cy idealny

Ogólna posta równania ró niczkowego elementu całkuj cego:

)

(

)

(

t

kx

dt

t

dy

=

W elemencie całkuj cym idealnym sygnał wyj ciowy jest proporcjonalny do

całki sygnału wej ciowego:

τ

τ

=

t

0

d

)

(

x

k

)

t

(

y

)

s

(

X

s

k

)

s

(

y

=

)

s

(

x

k

)

s

(

y

s

⋅

=

⋅

St d znajdujemy transmitancj operatorow :

s

k

s

G

=

)

(

Odpowied jednostkowa:

t

h(t)

α=arctg k

0

2

s

k

)

s

(

h

=

)

t

(

1

kt

)

t

(

h

⋅

=

Odpowied jednostkowa elementu całkuj cego idealnego

Oznaczenie członu całkuj cego idealnego

Elementy liniowe układów automatyki

Elementy całkuj ce

Odpowied impulsowa:

s

k

)

s

(

g

=

)

t

(

1

k

)

t

(

g

⋅

=

0

g(t)

t

k

Odpowied impulsowa elementu całkuj cego idealnego

Transmitancja widmowa ma posta :

ω

=

ω

j

1

k

)

j

(

G

ϖ

−

=

ω

k

j

)

j

(

G

0

)

(

P

=

ω

ϖ

−

=

ω

k

)

(

Q

Moduł transmitancji widmowej

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

ω

ω

ω

ω

Q

P

j

G

A

+

=

=

ω

ω

k

A

=

)

(

k t fazowy

)

(

)

(

)

(

)

(

−∞

=

=

arctg

P

Q

arctg

ω

ω

ω

ϕ

2

)

(

Π

−

=

ω

ϕ

Elementy liniowe układów automatyki

Elementy całkuj ce

a)



b)



c)

Charakterystyki elementu całkuj cego idealnego:

a) amplitudowo-fazowa, b) amplitudowa, c) fazowa

0

P(

ω)

ω

P(

ω)=0

A(

ω)

ω

ω

ω(ω)

0

0

ϕ(ω)

Skala logarytmiczna

2

Π

−

Elementy liniowe układów automatyki

Elementy całkuj ce

Kondensator idealny

I(t)

U(t)

Schemat obwodu z kondensatorem idealnym:

I(t) - sygnał wej ciowy, U(t) - sygnał wyj ciowy.

Je eli w obwodzie z kondensatorem pominiemy rezystancj i indukcyjno ci

przewodów i zało ymy, e kondensator jest idealny, to wtedy zale no mi dzy
pr dem dopływaj cym do kondensatora a napi ciem U na jego okładkach jest:

=

t

dt

t

I

C

t

U

0

)

(

1

)

(

Kondensator idealny jest elementem całkuj cym o transmitancji:

Cs

s

C

s

I

s

U

s

G

1

1

)

(

)

(

)

(

=

=

=

Elementy liniowe układów automatyki

Elementy całkuj ce

Układ nap dowy pozycyjny

U(t)

E(t)

Ω

p

(t)

α(t)

Schemat układu nap dowego pozycyjnego

Pr dko k towa p(t) na wale wyj ciowym przekładni jest proporcjonalna do

siły elektromotorycznej:

)

(

)

(

t

kE

t

p

=

Ω

Zakładaj c, e siła elektromotoryczna E(t) równa jest w przybli eniu napi ciu

U(t) na zaciskach silnika, pomijaj c spadki napi cia w obwodzie twornika, to:

)

(

)

(

t

kU

t

p

=

Ω

k=const - współczynnik proporcjonalno ci
Pomijaj c wpływ bezwładno ci mechanicznej otrzymujemy:

dt

t

d

t

p

)

(

)

(

α

=

Ω

)

(

)

(

t

kU

dt

t

d

=

α

U(t) - sygnał wej ciowy - napi cie zasilaj ce silnik,

(t) - sygnał wyj ciowy - poło enie k towe wału wyj ciowego przekładni

Transmitancja układu wynosi:

s

k

s

U

s

s

G

=

=

)

(

)

(

)

(

α

Elementy liniowe układów automatyki

Elementy całkuj ce

Zbiornik cieczy

h

A

q

Zbiornik cieczy: g(t) – sygnał wej ciowy – obj to cieczy dopływaj ca w

jednostce czasu, h(t) – sygnał wyj ciowy – poziom cieczy, A = const. – pole

przekroju zbiornika

Do zbiornika dopływa na jednostk czasu obj to cieczy równa g(t). Obj to

cieczy V(t) w zbiorniku zmienia si zgodnie z równaniem:

)

(

)

(

t

g

dt

t

dV

=

a poziom cieczy w zbiorniku

A

t

V

t

h

)

(

)

(

=

)

(

1

)

(

t

g

A

dt

t

dh

=

Transmitancja wynosi:

s

A

s

A

s

g

s

h

s

G

⋅

=

=

=

1

1

)

(

)

(

)

(

Zbiornik z ciecz jest idealnym elementem całkuj cym.