Elementy liniowe układów automatyki
Elementy całkuj ce
ELEMENTY CAŁKUJ CE
Element całkuj cy idealny
Ogólna posta równania ró niczkowego elementu całkuj cego:
)
(
)
(
t
kx
dt
t
dy
=
W elemencie całkuj cym idealnym sygnał wyj ciowy jest proporcjonalny do
całki sygnału wej ciowego:
τ
τ
=
t
0
d
)
(
x
k
)
t
(
y
)
s
(
X
s
k
)
s
(
y
=
)
s
(
x
k
)
s
(
y
s
⋅
=
⋅
St d znajdujemy transmitancj operatorow :
s
k
s
G
=
)
(
Odpowied jednostkowa:
t
h(t)
α=arctg k
0
2
s
k
)
s
(
h
=
)
t
(
1
kt
)
t
(
h
⋅
=
Odpowied jednostkowa elementu całkuj cego idealnego
Oznaczenie członu całkuj cego idealnego
Elementy liniowe układów automatyki
Elementy całkuj ce
Odpowied impulsowa:
s
k
)
s
(
g
=
)
t
(
1
k
)
t
(
g
⋅
=
0
g(t)
t
k
Odpowied impulsowa elementu całkuj cego idealnego
Transmitancja widmowa ma posta :
ω
=
ω
j
1
k
)
j
(
G
ϖ
−
=
ω
k
j
)
j
(
G
0
)
(
P
=
ω
ϖ
−
=
ω
k
)
(
Q
Moduł transmitancji widmowej
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
ω
ω
ω
ω
Q
P
j
G
A
+
=
=
ω
ω
k
A
=
)
(
k t fazowy
)
(
)
(
)
(
)
(
−∞
=
=
arctg
P
Q
arctg
ω
ω
ω
ϕ
2
)
(
Π
−
=
ω
ϕ
Elementy liniowe układów automatyki
Elementy całkuj ce
a)
b)
c)
Charakterystyki elementu całkuj cego idealnego:
a) amplitudowo-fazowa, b) amplitudowa, c) fazowa
0
P(
ω)
ω
P(
ω)=0
A(
ω)
ω
ω
ω(ω)
0
0
ϕ(ω)
Skala logarytmiczna
2
Π
−
Elementy liniowe układów automatyki
Elementy całkuj ce
Kondensator idealny
I(t)
U(t)
Schemat obwodu z kondensatorem idealnym:
I(t) - sygnał wej ciowy, U(t) - sygnał wyj ciowy.
Je eli w obwodzie z kondensatorem pominiemy rezystancj i indukcyjno ci
przewodów i zało ymy, e kondensator jest idealny, to wtedy zale no mi dzy
pr dem dopływaj cym do kondensatora a napi ciem U na jego okładkach jest:
=
t
dt
t
I
C
t
U
0
)
(
1
)
(
Kondensator idealny jest elementem całkuj cym o transmitancji:
Cs
s
C
s
I
s
U
s
G
1
1
)
(
)
(
)
(
=
=
=
Elementy liniowe układów automatyki
Elementy całkuj ce
Układ nap dowy pozycyjny
U(t)
E(t)
Ω
p
(t)
α(t)
Schemat układu nap dowego pozycyjnego
Pr dko k towa p(t) na wale wyj ciowym przekładni jest proporcjonalna do
siły elektromotorycznej:
)
(
)
(
t
kE
t
p
=
Ω
Zakładaj c, e siła elektromotoryczna E(t) równa jest w przybli eniu napi ciu
U(t) na zaciskach silnika, pomijaj c spadki napi cia w obwodzie twornika, to:
)
(
)
(
t
kU
t
p
=
Ω
k=const - współczynnik proporcjonalno ci
Pomijaj c wpływ bezwładno ci mechanicznej otrzymujemy:
dt
t
d
t
p
)
(
)
(
α
=
Ω
)
(
)
(
t
kU
dt
t
d
=
α
U(t) - sygnał wej ciowy - napi cie zasilaj ce silnik,
(t) - sygnał wyj ciowy - poło enie k towe wału wyj ciowego przekładni
Transmitancja układu wynosi:
s
k
s
U
s
s
G
=
=
)
(
)
(
)
(
α
Elementy liniowe układów automatyki
Elementy całkuj ce
Zbiornik cieczy
h
A
q
Zbiornik cieczy: g(t) – sygnał wej ciowy – obj to cieczy dopływaj ca w
jednostce czasu, h(t) – sygnał wyj ciowy – poziom cieczy, A = const. – pole
przekroju zbiornika
Do zbiornika dopływa na jednostk czasu obj to cieczy równa g(t). Obj to
cieczy V(t) w zbiorniku zmienia si zgodnie z równaniem:
)
(
)
(
t
g
dt
t
dV
=
a poziom cieczy w zbiorniku
A
t
V
t
h
)
(
)
(
=
)
(
1
)
(
t
g
A
dt
t
dh
=
Transmitancja wynosi:
s
A
s
A
s
g
s
h
s
G
⋅
=
=
=
1
1
)
(
)
(
)
(
Zbiornik z ciecz jest idealnym elementem całkuj cym.