LISTA 4: Geometria cz.1
I Budownictwo (2013/2014)
Zadanie 1. Dane są wektory:
]
1
,
3
,
2
[
c
],
2
,
0
,
1
[
b
],
3
,
1
,
1
[
a
. Obliczyć:
a)
)
b
a
(
2
)
b
a
(
3
b)
c
)
b
4
(
)
b
a
(
2
a
3
2
c)
)
c
b
(
3
)
a
b
(
2
d)
))
c
b
(
a
(
3
)
c
b
(
.
Zadanie 2. Wektory
b
i
a
tworzą dwa sąsiednie boki trójkąta. Wyrazić środkowe tego trójkąta przez te
wektory.
Zadanie 3. Wyznaczyć prostopadły rzut wektora
]
3
,
2
,
1
[
a
w kierunku wektora
]
1
,
1
,
0
[
b
i obliczyć
jego długość.
Zadanie 4. Sprawdzić analitycznie czy:
a) trójkąt o wierzchołkach
)
1
,
2
(
),
0
,
0
(
),
2
,
1
(
C
B
A
jest prostokątny
b) trójkąt o wierzchołkach
)
4
,
2
(
),
3
,
1
(
),
2
,
1
(
C
B
A
jest ostrokątny.
Zadanie 5. Obliczyć
|
|
,
a
b
a
, gdzie
q
p
a
4
5
,
q
p
b
5
, przy czym
q
p,
są wzajemnie
prostopadłymi wersorami.
Zadanie 6. Obliczyć pole trókąta o wierzchołkach
)
0
,
1
,
1
(
),
1
,
1
,
0
(
),
3
,
2
,
1
(
C
B
A
, długość
wysokości poprowadzonej z wierzchołka A oraz cosinus kąta przy wierzchołku B.
Zadanie
7.
Sprawdzić, czy punkty
)
4
,
0
,
1
(
),
3
,
3
,
2
(
),
2
,
1
,
1
(
),
2
,
1
,
0
(
D
C
B
A
są
współpłaszczyznowe.
Zadanie
8.
Obliczyć
objętość
czworościanu
o
wierzchołkach
),
1
,
1
,
0
(
),
1
,
0
,
0
(
B
A
)
2
,
1
,
2
(
),
1
,
1
,
1
(
D
C
oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka D.
Zadanie 9. Dana jest prosta
0
2
5
3
y
x
. Przedstawić jej równanie w postaci kierunkowej, odcinkowej i
parametrycznej.
Zadanie 10. Dla jakich wartości współczynników A i B prosta
0
3
By
Ax
a) jest równoległa do osi Ox; b) tworzy z osią Ox kąt
4
?
Zadanie
11.
Napisać
równanie
prostej
przechodzącej
przez
punkt
przecięcia
prostych
0
3
y
x
:
l
,
0
y
x
2
:
l
2
1
oraz
a) przez punkt
)
1
,
2
(
P
, b) prostopadłej do prostej
0
2
3
:
3
y
x
l
,
c) równoległej do prostej
0
1
y
x
:
l
3
d) oddalonej od punktu
)
2
,
1
(
B
o odległość
3
d
.
e) tworzącej kąt
4
z prostą
0
1
y
x
2
:
l
3
.
Zadanie 12. Sprawdzić analitycznie, czy punkt
)
0
,
3
(
P
leży wewnątrz okręgu
0
1
y
2
x
4
y
x
2
2
oraz napisać równanie cięciwy, którą punkt P dzieli na połowy.