LISTA 4: Geometria cz.1

I Budownictwo (2013/2014)

Zadanie 1. Dane są wektory:

]

1

,

3

,

2

[

c

],

2

,

0

,

1

[

b

],

3

,

1

,

1

[

a



















. Obliczyć:

a)















)

b

a

(

2

)

b

a

(

3

b)















c

)

b

4

(

)

b

a

(

2

a

3

2





c)

)

c

b

(

3

)

a

b

(

2















d)

))

c

b

(

a

(

3

)

c

b

(



















.

Zadanie 2. Wektory





b

i

a

tworzą dwa sąsiednie boki trójkąta. Wyrazić środkowe tego trójkąta przez te

wektory.

Zadanie 3. Wyznaczyć prostopadły rzut wektora

]

3

,

2

,

1

[









a

w kierunku wektora

]

1

,

1

,

0

[







b

i obliczyć

jego długość.

Zadanie 4. Sprawdzić analitycznie czy:

a) trójkąt o wierzchołkach

)

1

,

2

(

),

0

,

0

(

),

2

,

1

(









C

B

A

jest prostokątny

b) trójkąt o wierzchołkach

)

4

,

2

(

),

3

,

1

(

),

2

,

1

(











C

B

A

jest ostrokątny.

Zadanie 5. Obliczyć

|

|

,







a

b

a

, gdzie











q

p

a

4

5

,











q

p

b

5

, przy czym





q

p,

są wzajemnie

prostopadłymi wersorami.

Zadanie 6. Obliczyć pole trókąta o wierzchołkach

)

0

,

1

,

1

(

),

1

,

1

,

0

(

),

3

,

2

,

1

(















C

B

A

, długość

wysokości poprowadzonej z wierzchołka A oraz cosinus kąta przy wierzchołku B.

Zadanie

7.

Sprawdzić, czy punkty

)

4

,

0

,

1

(

),

3

,

3

,

2

(

),

2

,

1

,

1

(

),

2

,

1

,

0

(















D

C

B

A

są

współpłaszczyznowe.

Zadanie

8.

Obliczyć

objętość

czworościanu

o

wierzchołkach

),

1

,

1

,

0

(

),

1

,

0

,

0

(





B

A

)

2

,

1

,

2

(

),

1

,

1

,

1

(





D

C

oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka D.

Zadanie 9. Dana jest prosta

0

2

5

3







y

x

. Przedstawić jej równanie w postaci kierunkowej, odcinkowej i

parametrycznej.

Zadanie 10. Dla jakich wartości współczynników A i B prosta

0

3







By

Ax

a) jest równoległa do osi Ox; b) tworzy z osią Ox kąt

4



?

Zadanie

11.

Napisać

równanie

prostej

przechodzącej

przez

punkt

przecięcia

prostych

0

3

y

x

:

l

,

0

y

x

2

:

l

2

1











oraz

a) przez punkt

)

1

,

2

(

P





, b) prostopadłej do prostej

0

2

3

:

3









y

x

l

,

c) równoległej do prostej

0

1

y

x

:

l

3









d) oddalonej od punktu

)

2

,

1

(





B

o odległość

3



d

.

e) tworzącej kąt

4







z prostą

0

1

y

x

2

:

l

3









.

Zadanie 12. Sprawdzić analitycznie, czy punkt

)

0

,

3

(

P



leży wewnątrz okręgu

0

1

y

2

x

4

y

x

2

2











oraz napisać równanie cięciwy, którą punkt P dzieli na połowy.