Rama dwukrotnie statycznie niewyznaczalna

Obliczenia wykonywano „ręcznie” i sprawdzono programem ,,Soldis”.

Rysunki zamieszczone w rozwiązaniu pochodzą z tego programu.

Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności

- Zadanie jest statycznie niewyznaczalne: występują w nim dwie reakcje hiperstatyczne (nadliczbowe).

- Nasza rama jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna. Niewiadomych reakcji mamy 5, a do dyspozycji tylko 3 równania równowagi.

1. UPMS (Układ podstawowy metody sił)

- Rozpatrywaną konstrukcję pozbawiamy nadliczbowych więzów w liczbie określonej stopniem statycznej niewyznaczalności. W ten sposób otrzymamy konstrukcję statycznie wyznaczalną, która musi pozostać układem geometrycznie niezmiennym (należy sprawdzić, czy rzeczywiście tak jest).

- Nasza konstrukcja uzyskuje wówczas możliwość przemieszczeń, na które zezwalają usunięte więzy nadliczbowych.

- Nasza konstrukcja może mieć wiele (nieskończenie wiele) prawidłowych wariantów układu podstawowego statycznie wyznaczalnego.

- Przyjmujemy układ podstawowy metody sił tak, aby się jak najmniej napracować przy dalszych obliczeniach (warto wcześniej pomyśleć i przewidzieć stopień złożoności rachunków przy obliczaniu poszczególnych „delt”, czyli odpowiednich przemieszczeń).

- Korzystniej jest dodać przeguby niż odejmować więzy podpór. Wówczas nasze wykresy momentów będą prostsze i mniej się naliczymy.

II. Wykresy momentów zginających M_p

Wykorzystujemy zasadę super pozycji.

Wykonujemy oddzielnie wykresy dla obciążeń ciągłych i dla siły skupionej. Po czym je sumujemy i tak otrzymujemy wykres M_p

Wykres od ciągłego obciążenia pionowego 8 KN/m

Uwaga: wykresy momentów od obciążeń są w [KNm], od sił jednostkowych w [m], a od momentów jednostkowych są bezwymiarowe. Wynika to stąd, że wielkości hiperstatyczne jednostkowe są przyjmowane jako bezwymiarowe (wymaga tego wzór Maxwella-Mohra, z którego otrzymujemy przemieszczenia w [m], a kąty obrotu w [radianach], czyli jako wielkości bezwymiarowe).

Wykres od ciągłego obciążenia poziomego 4 KN/m

Wykres od siły skupionej 10 KN

Wykres M_p

Wykres M_p jest sumą tych trzech wykresów od obciążeń ciągłych i siły skupionej.

2. Wykresy momentów zginających M₁ od stanu X₁=1

Stan X₁=1

- W miejsce usuniętych węzłów uniemożliwiających obrót wstawiamy momenty zginające po obu stronach przegubu oznaczone przez X₁ i traktujemy je jako siły zewnętrzne.

- Aby wyznaczyć wykresy momentów od stanu X₁, należy obliczyć reakcje od siły uogólnionej (momentu) X₁=1.

- Należy pamiętać, że źle narysowane wykresy uniemożliwiają uzyskania poprawnego rozwiązania.

UWAGA: przy tak prostych obciążeniach można nie liczyć reakcji, jeżeli potrafimy narysować bezbłędne wykresy momentów zginających.

Wykres M₁

M[bezwymiarowe] - w tym przypadku wykresy momentów zginających posiadają rzędne bezwymiarowe (dla jednostkowej siły skupionej wymiarami rzędnych są metry, a dla jednostkowego momentu skupionego rzędne są bezwymiarowe).

UWAGA:

Przy obliczaniu przemieszczeń lub kątów obrotu wzorem Maxwella-Mohra należy wykres momentów zginających od obciążeń zadanych (czyli rzędne w [kNm]) przemnożyć odpowiednio przez wykres momentów od jednostkowej siły skupionej (w [m]) lub przez wykres momentów od jednostkowego momentu skupionego (w [1], czyli bez wymiaru).

Dlatego przy obliczaniu odpowiednich „delt”, które są współczynnikami w UPMS, należy zawsze jeden z wykresów potraktować jako wykresy momentów zginających od obciążenia (np. od siły X=1kN, lub momentu X=1kNm), czyli (w [kNm]), a drugi jako wykres momentów od jednostkowej siły skupionej X=1, czyli (w [m]) - przy obliczaniu przemieszczeń - lub jako wykres momentów od jednostkowego momentu skupionego X=1, czyli (w [1], tzn. bez wymiaru) - przy obliczaniu kątów obrotu.

Gdy nie piszemy jednostek, wszystkie wykresy traktujemy jako wykresy wielkości bezwymiarowych, jednak musimy pamiętać, że muszą one być obliczane konsekwentnie (np. nie można posługiwać się równocześnie [m] i [cm] ani [kN] i [N]). W ten sposób - dla uproszczenia zapisu - będziemy na ogół postępować, jednak powyższe uwagi należy dobrze zrozumieć i wiedzieć, dlaczego nie popełniamy błędów.

W konsekwencji - jako rozwiązanie UPMS otrzymujemy siły

skupione w [kN] i momenty skupione w [kNm].

3. Wykresy momentów zginających M₂ o od stanu X₂=1

Stan X₂

Wykres M₂

- Przy tworzeniu wykresu M₂ postępujemy analogicznie jak w punkcie wyżej.

4. V. Obliczamy δ_ij, δ_ip.

• Obliczamy przemieszczenie w punkcie, gdzie występuje Wartość X₁

₁=δ₁₁=Σ∫1/EJ x M₁ ×M₁ dx

δ₁₁=(1/2*4*1*2/3*1+1/2*4*1*2/3*1+1/2*4*1*2/3*1)*1/EI=4,0000/EI

- Gdy całkujemy graficznie mnożymy pole pierwszej figury (jeżeli występuje figura ograniczona krzywą, to zawsze ją traktujemy jako ,,pierwszą”, tzn. obliczamy jej pole - z tej ,,drugiej”, która musi być ograniczona linią prostą, bierzemy długość rzędnej pod środkiem masy figury ,,pierwszej”), przez rzędną drugiej figury w środku ciężkości pierwszej.

- Przy obliczaniu δ₁₁ i δ₂₂ należy pamiętać, że wartości te zawsze są dodatnie.

• Obliczamy przemieszczenie w punkcie, gdzie występuje Wartość X₂

 ₂=δ₂₂=Σ∫1/EI x M₂ ×M₂ dx

δ₂₂=(1/2*4*1*2/3*1+1*4*1)/EI=5,3333/EI

• Obliczamy δ₁₂=δ₂₁ (uwaga: ta wielkość może być dodatnie lub ujemna).

δ₁₂=δ₂₁=Σ∫1/EI x M₁ ×M₂ dx

δ₁₂=δ₂₁ = 1/2*1*4*1/*1+(-1,2)*1*4*1=-1,33/EI

- Należy pamiętać, aby przy mnożeniu uwzględniać znaki.

• Obliczamy δ_1p

δ_1P=Σ∫1/EI x M₁ ×M_P dx

δ_1p = 2/3*8*4*1/2*1+2/3*16*4*1/2*1+1/2*32*4*1/3*-1+20*4*1/2=-53,34/EI

• Obliczamy δ_2P

δ_2P=Σ∫1/EI x M₂ ×M_P dx

δ_2P=(2/3*4*16*1/2*1+1/2*4*52*1+1/2*4*20*1)/EI=165,3333/EI

6. VII. URMS (Układ równań metody sił)

X₁*δ₁₁+X₂*δ₁₂+δ_1P=0

X₁*δ₂₁+X₂*δ₂₁+δ_2P=0

X₁*4,0000/EI+X₂*0,6667/EI+16,0000/EI=0

X₁*0,6667/EI+X₂*5,3333/EI+165,3333/EI=0

-Rozwiązujemy układ równań.

X₁= 2,532

X₂= -30,347

Sprawdzamy rozwiązanie podstawiając obliczone wartości do

UPMS.

M₁ * X₁

M₂ * X₂

UWAGA:

Rozwiązanie na X₁ i X₂ jest w jednostkach sił albo momentów, w zależności od przyjętych wielkości hiperstatycznych.

8. IX. Wyznaczanie M^SN, Q^SN, N^SN.

Wykresy M^SN jest to sumaryczny wykres M₁*X₁+M₂*X₂+M_p

M^SN

Korzystając z wykresu momentów M^SN obliczamy Q^SN (nie jest koniecznie obliczanie reakcji, aby wyznaczyć Q^SN)

Obliczamy Q z sumy momentów w punktach B i C.

∑ MB =0    

2,532-8*4*2+Qcb*4-30,347=0
Qcb=24,22kN
∑ MC=0   

-2,532+8*4*2-30,347+4*Qbc*4=0
Qbc=-7,780

Q^SN

Wykres sił podłużnych obliczamy wykorzystując obliczone reakcje w układzie statycznie niewyznaczalnym. (Pomocne mogą być wykresy Q^SN)

N^SN

X. Sprawdzenie

1. Równowaga węzłów

∑ X=0 : 7,76-7,76=0

∑ Y=0 : 7,76-7,76=0

∑ M=0 : 2,56-2,56=0

∑ X=0 : 7,76-7,76=0

∑ Y=0 : -24,22+34,22-10=0

∑ M=0 : -20-10,35+30,35=0

2. Przemieszczenia punktów konstrukcji w miejscach przyłożenia więzów (zerowanie się wyrażeń: Σ∫1/EI M^SN*M₁=0 oraz Σ∫1/EI M^SN*M₂=0)

Sposób: Σ∫1/EI M^SN*M₁=0 oraz Σ∫1/EI M^SN*M₂=0

M^SN

M₁

Σ∫1/EI M^SN*M₁=0

M^SN*M_1*X₁=1/EI(-1/2*4*2,53*1/3*1 - 2/3*4*8*1/2*1 - 1/2*2,53*4*2/3*1 + 1/2*30,35*4*1/3*1 - 2/3*16*4*1/2*1 - 1/2*10,35*4*1/3*1 + 1/2*19,122*4*2/3*1)=0,00*1/EI

M₂

Σ∫1/EI M^SN*M₂=0

M^SN*M_2*X₂=1/EI[1/2*4*2,53*1/3*1 - 1/2*30,35*4*2/3*1 + 2/3*16*4*1/2*1 - 1/2*10,35*4*1 + 1/2*19,122*4*1]=0,00*1/EI

---