Rama dwukrotnie statycznie niewyznaczalna

Temat zadania:

Rozwiązać podany układ statycznie niewyznaczalny (wyznaczyć i narysować wykresy sił przekrojowych). Wykonać sprawdzenia poprawności rozwiązania.

1. Dobór układu podstawowego metody sił: UPMS

UPMS (Na UPMS narysowano obciążenia zewnętrzne przyłożone do układu statycznie niewyznaczalnego)

2. Rozwiązanie UPMS

2.1. Rozwiązanie UPMS dla obciążeń zewnętrznych (wyznaczenie M_p):

ΣMc^P=0 → 2VD-3HD+2*6=0

ΣM_B^P=0 → 6VD-3HD+2*10-4*4*2=0

2VD-3HD=-12 /*(-1)

6VD-3HD=12

-2VD+3HD=12

6VD-3HD=12

4VD=24 => VD=6

Σy=0 → -4*4+6+VA+2=0 => VA=8

ΣMc^P=0 → 6*2-3HD+2*6=0 => HD=8

ΣM_B^L=0 → -MA+8*3=0 => MA=24

spr.

ΣM_F =0 → -1,5+0,167*3+10*0,25+1-1-3*0,167-0,25*4=0

-1,5+0,501+2,5-0,501-1=0

Stan: M_p

2.2. Rozwiązanie UPMS dla obciążeń X₁=1 (wyznaczenie M₁):

ΣMc^P=0 → 2VD-3HD=0 /*(-1)

ΣM_B^P=0 → 6VD-3HD-1=0

-2VD+3HD=0

6VD-3HD=1

4VD=1 =>VD=0,25

ΣMc^P=0 → 0,25*2-3HD=0

3HD=0,5 =>HD=1,167

Σy=0 → 0,25-VA=0 =>VA=0,25

Σx=0 → 0,167-HA=0 =>HA=0,167

ΣM_B^L=0 → 0,167*3-MA+1=0 =>MA=1,5

spr.

ΣM_F =0 → -1,5 +0,167*3+10*0,25+1-1-3*0,167-0,25*4=0

-1,5+0,501+2,5-0,501-1=0

Stan: M₁(X₁=1)

2.3. Rozwiązanie UPMS dla obciążeń X₂=1 (wyznaczenie M₂):

ΣMc^P=0 →-2VD+3HD-1=0 /*(-1)

ΣM_B^P=0 → -6VD+3HD-1+1=0

2VD-3HD=-1

-6VD+3HD=0

-4VD=-1 =>VD=0,25

Σy= VA-0,25=0 =>VA=0,25

Σx= 0,5-HA=0 =>HA=0,5

ΣM_B^L=0 →-0,5*3+MA=0 => MA=1,5

spr.

ΣM_F =0 → -0,25*10-0,5*3+1,5+1-1+0,5*3+0,25*4=0

-2,5-1,5+1,5+1,5+1=0

Stan: M₂(X₂=1)

3. Układ równań kanonicznych metody sił:

3.1. Wyznaczenie współczynników układu równań:

δ_{11= 1/EI*}

=1/EI*[1/2*1*3*2/3+1/2*1*3*1/3*1,5+1/2*1,5*3*2/3*1,5+1/2*1,5*3*1/3+1/2*4*2/3+1/2*2*0,5*2/3*0,5+1/2*1/2*3*2/3*1/2=1/EI*[4,75+4,333+0,167+0,25]

=6,5/EI

δ₁₂₌ δ₂₁

δ_{12= 1/EI*}

=1/EI*[-1/2*1*3*1/3*1,5 -1/2*1,5*3*2/3*1,5+1/2*4*1*1/3*1-1/2*1*2*1/3*0,5-1/2*1,5*2*2/3*0,5-1/2*3*0,5*2/3*1,5]=1/EI*[-0,75-2,25+0,667-0,667-0,5-0,75]= -4,25/EI

δ_{1P= 1/EI*}

=1/EI*[1/2*1*3*24+1/2*1,5*3*2/3*24+2/3*4*8*1/2*1+1/2*16*2*2/3*0,5+1/2*24*3*2/3*0,5] =1/EI*[12+36+10,667+5,333+12]=76/EI

δ_{22= 1/EI*}

=1/EI*[1/2*1,5*3*2/3*1,5+1/2*4*1*2/3*1+1/2*1*2*2/3*1+1/2*1*2*1/3*1,5+1/2*2*

1,5*1/3*1+1/2*2*1,5*2/3*1,5+1/2*1,5*3*2/3*1,5]=1/EI*[2,25+1,333+0,667+0,5+0,75+2,25]=9/EI

δ_{2P= 1/EI*}

=1/EI*[-1/2*24*3*2/3*1,5+2/3*4*8*1/2*1-1/2*2*1*1/3*16-1/2*2*1,5*2/3*16-1/2*3*8*2/3*1,5]=1/EI*[-36+10,667-5,333-16-12]= -58,667/EI

3.2. Rozwiązanie układu równań kanonicznych metody sił:

6,5x₁-4,25x₂+76=0

-4,25x₁+9x₂-58,667=0

6,5x₁=4,25x2-76

x₁=0,654x₂-11,692

-4,25(0,654x₂-11,692)+9x₂-58,667=0

-2,799x₂+49,691+9x₂-58,667=0

6x₂=8,976

X₂=1,496

X₁=0,654*1,496-11,692

X₁=-10,714

3.3. Sprawdzenie poprawności rozwiązania układu równań:

6,5*(-10,714)-4,25*1,496+76=0 (L=P)

-4,25*(-10,714)+9*1,496-58,667=0 (L=P)

4. Wykonanie wykresów sił przekrojowych w konstrukcji statycznie niewyznaczalnej: M^SN, Q^SN, N^SN

4.1 Wyznaczenie wykresu momentów zginających w układzie statycznie niewyznaczalnym

Stan: M₁*X₁

ΣMc^P=0 → -2VD+3HD=0 /*(-1)

ΣM_B^P=0 → -6VD+3HD+10,714=0

2VD-3HD=0

-6VD+3HD=-10,714

-4VD=-10,714 =>VD=2,678

ΣMc^P=0 → -2,678*2+3HD=0 =>HD=1,786

Σx=0 → 1,786-HA=0 =>HA=1,786

Σy=0 → -2,678+VA=0 =>VA=2,678

ΣM_B^L=0 → -1,786*3+MA-10,714=0

MA=16,071

Stan: M₂*X₂

ΣMc^P=0 → -2VD+3HD-1,496=0 /*(-1)

ΣM_B^P=0 → -6VD+3HD-1,496+1,496=0

2VD-3HD=-1,496

-6VD+3HD=0

-4VD=-1,496 =>VD=0,374

ΣMc^P=0 →-2*0,374+3HD-1,496=0 =>HD=0,748

Σx=0 → 0,748-HA=0 =>HA=0,748

Σy=0 → -0,374+VA=0 =>VA=0,374

ΣM_B^L=0 → -0,748*3+MA=0

MA=2,244

M^SN=M₁*X₁+M₂*X₂+M_p

ΣMc^P=0 → 2VD-3HD+2*6-1,496=0

2VD-3HD+10,504=0 /*(-1)

ΣM_B^P=0 → 6VD-3HD+2*10-1,496+1,496-4*4*2+10,714=0

6VD-3HD-1,286=0

-2VD+3HD=10,504

6VD-3HD=1,286

4VD=11,79 =>VD=2,947

ΣMc^P=0 → 2,947*2-3HD+2*6=0

3HD=17,894 =>HD=5,566

Σx=0 → -5,466+HA=0 =>HA=5,466

Σy=0 → 2+2,947-4*4+VA =>VA=11,053

ΣM_B^L=0 → 5,466*3-10,714-MA=0

MA=5,684

spr.

ΣM_F=0 → -11,053*10-5,685+5,466*3-10,714+10,714+1,396-1,496+4*4(2+6)-5,466*3-2,947*4=0

-116,215+128-11,785=0

4.2. Wyznaczenie wykresu sił poprzecznych w układzie statycznie niewyznaczalnym

Q^SN

4.3. Wyznaczenie wykresu sił podłużnych w układzie statycznie niewyznaczalnym

N^SN

5. Sprawdzenia poprawności rozwiązania:

5.1. Równowaga w węźle C:

ΣM= 8,399-16,399+8= 0

ΣY= -4,948 + 2,947+2= 0

ΣX= 5,466-5,466= 0

5.2. Sprawdzenie wartości przemieszczeń w usuniętych więzach:

5.2.1. Różnica kątów obrotów po obu stronach przegubu 1:

Σ∫1/EI M^SN * M₁dx=0

=1/2*3*5,685*1/3*1+1/2*3*5,685*2/3*1,5-1/2*3*10,714*2/3*1-1/2*3*10,714*1/3*1,5-1/2*10,714*2,8*1/3*0,3-1/2*10,714*2,8*2/3*1

+1/2*4,5333*2,8*2/3*0,3+1/2*4,533*2,8*1/3*1+2/3*2,8*3,92*1/2*0,3+2/3*2,8*3,92*1/2*1+1/2*1,2*1,496*1/3*0,3+1/2*4,533*1,2*2/3*0,3+2/3*1,2*0,72*1/2*0,3+1/2*0,5*2*2/3*8,399+1/2*0,5*3*2/3*16,399= 2,842+8,527-10,714-8,035-1,5-10+1,269+2,115+1,098+3,699+0,09+0,544+0,086+2,8+8,2=0,081=0

5.2.2. Różnica kątów obrotów po obu stronach przegubu 2:

Σ∫1/EI M^SN * M₂dx=0

=-1/2*3*5,685*2/3*0,5+1/2*10,714*3*1/3*0,5-1/2*10,714*2,8*1/3*0,7

+1/2*4,533*2,8*2/3*0,7+2,8*3,92*2/3*1/2*0,7+1/2*1,2*1,496*1/3*0,7+1/2*4,533*1,2*2/3*0,7+2/3*1,2*0,72*1/2*1+1/2*1,2*1,496*2/3*1+1/2*4,533*1,2*1/3*1+2/3*1*2*0,72*1/2*1-1/2*8,399*2*1/3*1-1/2*8,399*2*2/3*1,5-1/2*16,399*3*2/3*1,5=2,8425+2,675+0,209+1,269+0,288+0,598+0,907+0,288-2,8-8,399-8,199=0,098= 0

1

---