Rozwiązujemy zadanie 3:

Można to zadanie jeszcze bardziej podzielić na prostsze, ale to się już nie opłaca, bo jest wystarczająco proste.

2. Rysuję wykres momentów dla danego zadania.

Narysowanie wykresów momentów w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych wymaga prawidłowego wyznaczenia wszystkich reakcji. Jednak ze względu na szybkość uzyskania rozwiązania liczymy tylko te reakcje, które są potrzebne.

UWAGA: należy pamiętać o tym, że musimy być pewni swoich obliczeń!!!

Wykresy momentów M_p:

Ze względu na konieczność liczenia delt na wykresach muszą przyjęte być znaki. Na początku przyjmujemy włókna wyróżnione i według nich określamy znaki. Gdy włókna wyróżnione są rozciągane piszemy „+”, zaś, gdy są ściskane piszemy „-”.

Uwaga: wykresy momentów od obciążeń są w [KNm], od sił jednostkowych w [m], a od momentów jednostkowych są bezwymiarowe. Wynika to stąd, że wielkości hiperstatyczne jednostkowe są przyjmowane jako bezwymiarowe (wymaga tego wzór Maxwella-Mohra, z którego otrzymujemy przemieszczenia w [m], a kąty obrotu w [radianach], czyli jako wielkości bezwymiarowe).

3. Wykresy momentów od sił jednostkowych M₁ i M₂:

Układ od siły jednostkowej X₁=1:

Układ od siły jednostkowej X₂=1:

4. Obliczamy przemieszczenia w podanych punktach od zadanych sił za pomocą całkowania graficznego dzięki, któremu otrzymujemy δ_1p, δ_2p, δ₁₁, δ₂₂, δ₁₂, δ_21, potrzebne nam do układu równań metody sił:

Gdy całkujemy graficznie mnożymy pole pierwszej figury (jeżeli występuje figura ograniczona krzywą, to zawsze ją traktujemy jako ,,pierwszą”, tzn. obliczamy jej pole - z tej ,,drugiej”, która musi być ograniczona linią prostą, bierzemy długość rzędnej pod środkiem masy figury ,,pierwszej”), przez rzędną drugiej figury w środku ciężkości pierwszej.

=1/EI·[2/3·6·9·1/2·1- 1/2·1·4·4]= 1/EI·[18-8]=10/EI

=1/EI·[2/3·6·9· 1/2·1+1·4·4]=1/EI·[18+16]=34/EI

Przy obliczaniu δ₁₁ i δ₂₂ należy pamiętać, że wartości te zawsze są dodatnie.

=1/EI ·[1/2·1·4· 2/3·1+ 1/2·1·6· 2/3·1+ 1/2·4·1· 2/3·1]=4,7/EI

=1/EI·[1/2·1·6· 1/3·1- 1/2·1·4·1]=1/EI·[1-2]=-1/EI

δ₁₂ =δ₂₁

=1/EI·[1/2·1·6· 2/3·1+1·4·1]=1/EI·[2+4]=6/EI

5. Rozwiązujemy układ równań metody sił:

δ₁₁·x₁+δ₁₂·x₂+δ_1p=0

δ₂₁·x₁+δ₂₂·x₂+δ_2p=0

4,7·x₁-x₂+10=0

-x₁+6x₂+34=0

X₁=W₁/W= 94/27,2= 3,46

X₂=W₂/W= 169,8/27,2= 6,24

Sprawdzenie(zadanie będzie poprawne, gdy prawa strona będzie równać się lewej stronie, po podstawieniu rozwiązań w miejsce zmiennych do U.R.M.S):

4,7·3,46-1·6,24=10

-1·3,46+6·6,24=34

10=10

34=34

M₁·X₁

M₂·X₂

M_p

6.Rysujemy końcowy wykres momentów statycznie niewyznaczalnych M^SN:

Wyniki sprawdzono w programie SOLDIS!!!

7. Obliczamy i rysujemy wykres sił przekrojowych Q:

Aby je obliczyć należy wyciąć poszczególne pręty i obliczyć dla nich siły przekrojowe Q .

ΣM_B=0:

-QA·4-3,46=0

-4Q_A= 3,46

Q_A=-0,87

ΣM_A=0:

-Q_B·4-3,46=0

-4Q_B= 3,46

Q_B=-0,87

ΣM_A=0:

Q_B·6-2·6·3+3,46-6,24=0

6Q_B=38,78

Q_B=6,46

ΣM_B=0:

Q_A·6+3,46+2·6·3-6,24=0

6Q_A=-33,22

Q_A=-5,54

ΣM_A=0:

-Q_B·2-2·2·1+4=0

-2Q_B=4-4

Q_B=0

ΣM_B=0:

-Q_A·2+4+2·2·1=0

-2Q_A=-8

Q_A=4

ΣM_A=0:

-Q_B·4+2,25+1,24=0

-4Q_B=-3,49

Q_B=0,87

ΣM_B=0:

-Q_A·4+2,25+1,24=0

Q_A=0,87

Q

8. Rysujemy wykres sił przekrojowych N:

Aby narysować wykres N musimy obliczyć reakcje V_A i V_B.

Robimy to następująco: rysujemy dany układ, zaznaczamy wszystkie znane siły i momenty, a następnie obliczmy te nieznane.

ΣM_B=0:

-V_A·6+2·6·3-2·2·1+1,24=0

-6V_A=-33,24

V_A=5,54

ΣY=0:

5,54+V_B-2·8=0

V_B=10,46

9.Sprawdzenie:

Wycinamy poszczególne węzły i obliczamy: ΣX^I=0, ΣY^I=0, ΣM^I=0, (podobnie dla węzłów II, III itd.):

ΣY=0:

5,54-5,54=0

ΣZ=0:

0,87-0,87=0

ΣY=0:

6,46+4-10,46=0

ΣX=0:

0,87-0,87=0

Uwaga!

Wyniki obliczeń konstrukcji statycznie niewyznaczalnej należy sprawdzić.

Aby zrozumieć, skąd biorą się podane niżej zależności, przypomnijmy, że:

Tworzenie statycznie wyznaczalnego układu podstawowego metody sił (UPMS) dla układu statycznie niewyznaczalnego polega na usuwaniu węzłów. Istnieje nieskończenie wiele sposobów dobierania UPMS, np. można usunąć odpowiednią liczbę podpór (w naszym zadaniu dwie podpory), albo wprowadzić odpowiednią liczbę przegubów itd...

Niezależnie od przyjętego układu podstawowego (UPMS), jeżeli tylko jest on geometrycznie niezmienny, to wyniki rozwiązania zadania statycznie niewyznaczalnego są zawsze takie same - oczywiście, o ile nie popełnimy błędów.

Poprawny wykres momentów zginających w konstrukcji statycznie niewyznaczalnej zapewnia, że obliczenia odpowiednich przemieszczeń w punktach usuwanych więzów zewnętrznych dadzą wyniki zgodne z warunkami geometrycznymi tych więzów, a więc że odpowiednie przemieszczenia będą równe zero. Są to równania:

Przemieszczenie w punkcie usuniętej podpory lub różnica miedzy kątami obrotu po obu stronach wprowadzonego przegubu:

(w_A lub Δ_A)=Σ∫1/EI·M^SN·M₁ ^SW dx=0

(w_B lub Δ_B)=0=Σ∫1/EI·M^SN·M₂^SW dx =0

M^SN·M₁^SW=1/EI[1/2·3,46·4·2/3·3,46+(-1/2·3,46·6·2/3·3,46)+(-1/2·6,24·6·1/3·3,46) +2/3·6·9·1/2·3,46 +1/2·2,25·2,58·1/3·2,23+(-1/2·1,24·1,42·1/3·2,23)+(-1/2·1,24·1,42·2/3·3,46)]≈0

M^SN·M₂^SW=1/EI[(-1/2·3,46·6·1/3·6,24)+(-1/2·6,24·6·2/3·6,24)+2/3·9·6·1/2·6,24+(-1/2·2,25·2,58·6,24)+1/2·1,24·1,42·6,24]=[-21,59-77,875+112,32-18,11+5,494]≈0

We wszystkich przypadkach postępujemy tak samo!!!

Budownictwo/Stacjonarne/Rok II

---