Przykład 1 
Jednorodna belka o długości 2l

 

i ciężarze G

 

jest oparta dolnym końcemA

 

o chropowatą poziomą 

płaszczyznę, a w punkcie C

 

o gładki występ. W położeniu równowagi belka tworzy z 

płaszczyzną poziomą kąt 



, a odcinek AC

 

= 1,5l. Znaleźć współczynnik tarcia ślizgowego 

statycznego



 w punkcie 

A. 

 

 

 
R o z w i ą z a n i e  
W położeniu równowagi belki jej koniec A ma tendencję do przesuwania się w lewo. 
Siła tarcia 

T

1 

jest skierowana przeciwnie do możliwego ruchu, a więc w prawo. Po 

przyjęciu prostokątnego układu współrzędnych otrzymuje się następujące równania 
równowagi belki 
 

                  

 

W przypadku poszukiwania współczynnika tarcia ślizgowego

 



statycznego w 

położeniu granicznym równowagi belki (tarcie całkowicie rozwinięte) otrzymuje się 
 

                  

 

Po rozwiązaniu powyższego układu równań współczynnik 



tarcia 



wynosi 

 

                  

 

 
 
 
 
 
 

Przykład 2 
Jednorodny pręt AB o ciężarze G opiera się końcem A o poziomą podłogę i 
końcem B o pionową ścianę. Dane są współczynniki tarcia o podłogę i ścianę, równe 
odpowiednio 







i 





. Znaleźć reakcje w punktach A i B oraz graniczną wartość 

kąta 



nachylenia pręta. 

 

 

 
R o z w i ą z a n i e 
Po przyjęciu prostokątnego układu współrzędnych Axy otrzymamy następujące 
równania równowagi 
 

                  

 

W przypadku poszukiwania granicznej wartości kąta 



nachylenia pręta, siły 

tarcia 

T

1 

i T

2

 

osiągają swe graniczne wartości (są całkowicie rozwinięte), a wiec są 

równe 
 

                  

 

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymany poszukiwane wartości 
reakcji 

R

A 

i R

B

 

oraz kąta 











Przykład 3  
Na dwóch równiach pochyłych, tworzących z poziomem kąty 



i 



, ustawiono dwa 

ciała A i B o ciężarach G i Q połączone nieważkim cięgnem wiotkim przerzuconym 
przez krążek C. Współczynniki tarcia obu ciał o równie są równe  







i 



2

. Określić, w 

jakich granicach może się zmieniać wartość ciężaru Q ciała B ( przy założeniu, że 
ciężar G ciałaA jest stały), aby układ ciał A i B pozostawał w równowadze. 
 

 

 
R o z w i ą z a n i e 
Zacznijmy od 

przypadku, gdy ciężar Q ciała B ma wartość maksymalną, przy której 

możliwa jest jeszcze równowaga. Po przekroczeniu tej wartości ciało B zacznie 
zjeżdżać z równi pochyłej o kącie 



, a ciało Azacznie się poruszać do góry po równi 

pochyłej o kącie 



. W rozw

ażanym granicznym przypadku (rys. b) siły 

tarcia 

T

1 

i T

2

 

osiągną maksymalne wartości i skierowane są przeciwnie do możliwego 

ruchu. Przyjmując prostokątne układy współrzędnych Oxy, związane z obydwoma 
ciałami, w których oś Oy jest prostopadła do równi, a oś  Oxrównoległa do równi, 
otrzymujemy następujące równania równowagi dla: 



 

ciała A

 

 

              

 



 

ciała B 

 

                   

 

Ponadto na podstawie praw tarcia możemy napisać 
 

                   

 

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań znajdujemy maksymalną wartość 
ciężaru ciała B 
 

                  

 

 
Postępując podobnie jak poprzednio, przy założeniu, że wartość ciężaruQ będzie 
minimalna, tzn. układ będzie miał tendencję ruchu w przeciwną 
stronę 



 

ciało A będzie miało tendencję do zjeżdżania z równi kącie 



, a 

ciało B zacznie poruszać się do góry po równi pochyłej o kącie 



. W tym granicznym 

przypadku (rys. c), siły tarcia 

T

1



i T

2



są skierowane przeciwnie do możliwego ruchu. 

Pisząc odpowiednie równania równowagi i zależności między siłami tarcia a siłami 
normalnymi (korzystając z praw tarcia), otrzymamy również układ równań. Po 
rozwiązaniu równań otrzymamy minimalną wartość ciężaru ciała B 
 

                  

  

Na podstawie otrzymanych wyników możemy stwierdzić, że wartość ciężaru 
ciała B powinna pozostawać w następujących granicach 
 

                  

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Przykład 4  
Ciało A o ciężarze G położono na płycie B o ciężarze Q i połączono je nieważkim 
cięgnem wiotkim przerzuconym przez krążek C. Obliczyć maksymalną wartość 
poziomej siły P przyłożonej do ciała A, przy której ciało A będzie pozostawać w 
spoczynku, jeżeli współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego) ciała A o 
płytę B wynosi 





, a płyty B o podłoże



2

.Tarcie cięgna o krążek C należy pominąć. 

Ponadto wyznaczyć napięcia cięgna  

S

1 

i S

2

, reakcje normalne 

N

1 

i N

2

 

oraz siły 

tarcia 

T

1 

i T

2

.  

 

 

 
R o z w i ą z a n i e. 
Przedmiotem rozważań jest układ złożony z dwóch ciał A, B i krążka C. Na 
ciało A działa ciężar własny G, siła P, napięcie sznura 

S

1 

oraz siły 

T

1 

iN

1

 

oddziaływania 

płyty B. Na płytę B działa jej ciężar Q, napięcie sznuraS

2

, reakcja normalna 

podłoża N

2

 i nacisk 

N

1

 

ciała A oraz siły tarcia 

T

1 

iT

2

. Na krążek C działają napięcia 

sznura 

S

1 

i S

2

. 

W rozpatrywanym układzie występuje zatem siedem niewiadomych: 
P,

S

1

, S

2

, N

1

, N

2

, 

T

1 

i T

2

musi

my więc ułożyć siedem równań. 

Równania równowagi ciała A 
 

                  

 

Równania równowagi płyty B 
 

                  

 

Równanie równowagi krążka C 
 

                  

 

Dalsze dwa związki wynikają z faktu, że maksymalna wartość siły P, przy której 
ciało A będzie jeszcze pozostawać w spoczynku, odpowiada siłom tarcia całkowicie 
rozwiniętego. 
 

                  

 

Po rozwiązaniu powyższych równań otrzymujemy 
 

                  

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Przykład 5 
Ciało A zostało zawieszone na linie CF, która została przerzucona przez nieruchomy, 
chropowaty krążek. Na drugim końcu liny w punkcie Fprzywiązano ciało B o 
ciężarze G, leżące na poziomej płaszczyźnie. Współczynnik tarcia ślizgowego 
(statycznego) ciała B o poziomą płaszczyznę wynosi 





i liny o powierzchnię 

krążka 



2

. Wyznaczyć maksymalną wartość ciężaru ciała A w położeniu równowagi 

układu. 
 

 

 
R o z w i ą z a n i e. 
W rozpatrywanym przypadku, gdy ciężar ciała A ma wartość maksymalną, przy której 
możliwa jest jeszcze równowaga, siła S

2 

w linieCD jest większa od siły 

S

1 

w linie EF. 

Między tymi siłami istnieje zależność, zgodnie z którą 
 

                  

 

Po przyjęciu układu współrzędnych Oxy, otrzymuje się równania równowagi:

 



 

dla ciała A

 

 

             

 



 

dla ciała B 

 

              

 

Korzystając z praw tarcia, można napisać 
 

                  

 

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań, znajduje się maksymalną wartość 
ciężaru ciała A. 
 

                  

 

Przykład 6 
Nieważki pręt AB o długości l opiera się w punkcie A na stałej podporze przegubowej. 
Na końcu pręta w punkcie B przymocowano cięgno, które przerzucono przez 
chropowaty krążek i na jego końcu E przywiązano ciało F o ciężarze G, leżące na 
równi pochyłej tworzącej z poziomem kąt





= 30º

. Współczynnik tarcia ślizgowego 

ciała F o równię wynosi 





, a cięgna o powierzchnię krążka 



2

. Wyznaczyć, w jakich 

granicach musi się mieścić wartość pionowej siły P, przyłożonej w środku pręta AB, 
aby zachodziła równowaga? 
 

 

 
R o z w i ą z a n i e. 
Rozpatrzmy przypadek, gdy siła P ma wartość maksymalną, przy której jest jeszcze 
możliwa równowaga układu. Po przekroczeniu tej wartości ciało F zacznie poruszać 
się w górę równi pochyłej. W rozpatrywanym granicznym przypadku siła S

2 

w 

linie BC jest większa od siły 

S

1 

w linie DEi istnieje między nimi zależność 

 

                  

 

Po przyjęciu odpowiednich układów współrzędnych otrzymujemy równania 
równowagi dla:

 



 

ciała F

 

 

               

 



 

pręta AB 

 

              

 

Na podstawie praw tarcia 
 

                  

 

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań znajdujemy maksymalną wartość siły P  
 

                  

 

 
Rozpatrzmy drugi przypadek, gdy siła P osiąga wartość minimalną, przy której 
możliwa jest jeszcze równowaga układu. Ciało F ma wtedy tendencję do zsuwania 
się po równi pochyłej. Między siłami w cięgnie zachodzi teraz następująca zależność 
 

                  

 

Po uwzględnieniu przeciwnego zwrotu siły tarcia otrzymujemy równania równowagi 
dla:

 



 

ciała F  

              

 



 

pręta AB 

 

              

 

Ponadto z praw tarcia mamy 
 

                  

 

R

ozwiązując ten układ równań, znajdujemy minimalną wartość siły P  

 

                  

 

Wartość siły P powinna więc zawierać się w następujących granicach 
 

                  

 

 

Przykład 7 
Walec o promieniu r i ciężarze G spoczywa na równi pochyłej nachylonej do poziomu 
pod kątem 



. Znaleźć maksymalną wartość kąta 



, przy której równowaga walca jest 

jeszcze możliwa. Współczynnik tarcia tocznego jest równy f. 
 

                            

 

 
R o z w i ą z a n i e. 
Układamy równania równowagi walca. Równania równowagi rzutów sił na 
osie x i y są następujące 
 

                  

 

Stąd 

                  

 

Jeżeli walec ma być w równowadze, to moment siły G względem punktuA musi być 
mniejszy lub równy momentowi tarcia tocznego 
 

                  

  

Po podstawieniu pop

rzednio uzyskanej wartości siły normalnej Notrzymujemy 

 

                  

 

czyli 

                  

 

Kąt 



, spełniający tę zależność, powinien wynosić 

 

                  

 

Natomiast maksymalny kąt 



  

 

                  

 

Przykład 8 
Walec o ciężarze Q spoczywa na płycie o ciężarze G i opiera się o pionową ścianę. 
Obliczyć maksymalną wartość siły P, jaką można przyłożyć do cięgna przywiązanego 
do płyty i przerzuconego przez chropowaty krążek, aby układ pozostawał w 
równowadze, jeżeli wiadomo, że walec będzie się toczył bez poślizgu po płycie, a 
ślizgał względem pionowej ściany. Współczynnik tarcia tocznego walca po płycie 
wynosi f. Współczynnik tarcia ślizgowego cięgna o krążek wynosi





, płyty o podłoże 

jest równy 





, a walca o pionową ścianę 





. 

 

 

 
R o z w 

i ą z a n i e. 

Związek między napięciami cięgna wyraża się wzorem 
 

                  

 

Równania równowagi walca 
 

                  

 

Równania równowagi płyty 
 

                  

 

Na podstawie praw tarcia otrzymujemy dodatkowe dwa równania 
 

                  

 

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymujemy