Kolokwium IA
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
29 listopada 2007 r.
1A.
• (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów
na płaszczyźnie
{z ∈ C : 0 ¬ Re(iz) < 1, 0 ¬ arg(¯z) ¬ π/2}.
• (2 pkt.) Jaki jest związek między pierwiastkami n-tego stopnia z liczb
zespolonych z oraz iz?
• (2 pkt.) Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które spełniają równanie
2z
3
= (1 + i)
2
. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.
2A. (4 pkt.) Zastosuj metodę eliminacji Gaussa do przekształcenie układu Ax = b
do układu z macierzą trójkątną górną dla
A =
3
1
3
1
0
2
3
1
0 −3 3
2
0
1
6 −2
,
x = [x
1
, x
2
, x
3
, x
4
]
T
,
b = [5, 3, −1, −1]
T
,
oraz oblicz x
3
i x
4
.
3A. (5 pkt.) Niech
A =
1 −1
3 −1
.
Oblicz A
−1
oraz macierz X taką, że (X + 2I)
−1
A
2
= I. Dlaczego taka macierz
X istnieje?
4A. (4 pkt.) Oblicz det(A) i drugą kolumnę macierzy odwrotnej do
A =
3
1
1
0
2
3
0 −3 3
.
5A. (6 pkt.) Pokaż, że
x
0
0
0
a
0
−1
x
0
0
a
1
0
−1
x
0
a
2
0
0
−1
x
a
3
0
0
0
−1 a
4
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ a
4
x
4
.
Skorzystaj z tej zależności do pokazania, że jeśli
a
0
= a
1
= a
2
= a
3
= a
4
6= 0,
to wartość wyznacznika jest równa zero dla każdego nierzeczywistego x bę-
dącego pierwiastkiem 5-tego stopnia z jedynki. Czy można to uzasadnić bez
obliczania tych pierwiastków? Podaj liczbę zespoloną c, dla której wielomian
x
5
− 1 dzieli się bez reszty przez wielomian x − c.
Kolokwium IB
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
29 listopada 2007 r.
1B.
• (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów
na płaszczyźnie
{z ∈ C : Im(¯z + i) = 3, 0 ¬ arg(iz) ¬ π/2}.
• (2 pkt.) Jaki jest związek między pierwiastkami n-tego stopnia z liczb
zespolonych z oraz −z?
• (2 pkt.)Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które spełniają równanie
2(1 +
√
3 i)z
3
= (
√
3 + i)
2
. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.
2B. (4 pkt.) Zastosuj eliminację Gaussa do przekształcenia następującego układu
x
1
− x
2
+ 2x
3
− x
4
= −1,
2x
1
+ x
2
− 2x
3
− 2x
4
= 1,
2x
2
+ x
3
+ x
4
= 3,
x
3
− 3x
4
= −3.
do układu z macierzą trójkątną górną oraz oblicz x
3
i x
4
.
3B. (5 pkt.) Niech
A =
1 −1
3 −1
,
B =
2 0
4 1
.
Oblicz A
−1
, (A + B)
2
oraz macierz X taką, że (X
−1
A)
−1
= B. Dlaczego taka
macierz X istnieje?
4B. (4 pkt.) Oblicz det(A) i drugą kolumnę macierzy odwrotnej do
A =
3 1 1
1 2 3
0 0 3
.
5B. (6 pkt.) Niech w(x) = x
4
+ a
3
x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
, gdzie a
0
6= 0. Dlaczego
wszystkie pierwiastki wielomianu w(x) są różne od zera? Wiadomo, że wielo-
mian w(x) może być zapisany w postaci w(x) = (x−x
1
)(x−x
2
)(x−x
3
)(x−x
4
),
gdzie x
1
, x
2
, x
3
, x
4
są pierwiastkami wielomianu w(x). Czemu równa się su-
ma pierwiastków wielomianu w(x)? Podaj współczynniki wielomianu, którego
pierwiastkami są wszystkie odwrotności pierwiastków wielomianu w(x).
Kolokwium IC
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
29 listopada 2007 r.
1C.
• (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów
na płaszczyźnie {z ∈ C : |z| ¬ 1, 0 ¬ arg(iz) ¬ π}.
• (2 pkt.) Jaki jest związek między pierwiastkami n-tego stopnia z liczb
zespolonych z oraz iz?
• (2 pkt.) Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które spełniają równanie
2z
3
= (1 − i)
2
. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.
2C. (4 pkt.) Zastosuj metodę eliminacji Gaussa do przekształcenie układu Ax = b
do układu z macierzą trójkątną górną dla
A =
1
1
2
2
2
3
−4 4
0
0
3
10
0 −1
8
6
,
x = [x
1
, x
2
, x
3
, x
4
]
T
,
b = [2, −4, 6, 8]
T
,
oraz oblicz x
3
i x
4
.
3C. (5 pkt.) Niech
(7B)
−1
=
−3
7
1
−2
.
Oblicz B, B
−1
oraz macierz X taką, że (XB
−1
)
−1
= I. Dlaczego taka macierz
X istnieje?
4C. (4 pkt.) Oblicz det(A) i drugą kolumnę macierzy odwrotnej do
A =
3 1 1
4 2 3
0 0 3
.
5C. (6 pkt.) Znajdź rzeczywisty wielomian w(x) stopnia 9, ze współczynnikiem 1
przy najwyższej potędze, taki że w(1) = 16 i którego jedynymi pierwiastkami
są liczby 0, −1, i, −i. Ponadto, zakładamy, że pierwiastki i, −i są pierwiast-
kami jednokrotnymi wielomianu w(x). Czemu równa się współczynnik przy
x
8
? Odpowiedz na to pytanie bez obliczania wszystkich współczynników wie-
lomianu w(x).
Kolokwium ID
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
29 listopada 2007 r.
1D.
• (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów
na płaszczyźnie
{z ∈ C : 0 ¬ Rez ¬ 1, 0 ¬ arg(iz) ¬ π}.
• (2 pkt.) Jaki jest związek między pierwiastkami n-tego stopnia z liczb
zespolonych z oraz −iz?
• (2 pkt.) Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które spełniają równanie
2(1 −
√
3 i)z
3
= (1 +
√
3 i)
2
. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.
2D. (4 pkt.) Zastosuj eliminację Gaussa do przekształcenia następującego układu
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 4x
4
= 11,
2x
1
+ 3x
2
+ 4x
3
+ x
4
= 12,
2x
1
+ 2x
2
− 2x
3
− 2x
4
= 2,
3x
2
+ 4x
3
+ 3x
4
= 10.
do układu z macierzą trójkątną górną oraz oblicz x
3
i x
4
.
3D. (5 pkt.) Niech
(I + 2A)
−1
=
−1 2
4
5
.
Oblicz A, A
−1
oraz macierz X taką, że (A
−1
X)
−1
= I. Dlaczego bez obliczania
wyznacznika macierzy A
T
A można z góry powiedzieć, że nie może on być
liczbą ujemną?
4D. (4 pkt.) Oblicz det(A) i drugą kolumnę macierzy odwrotnej do
A =
3 0 0
0 2 1
0 3 3
.
5D. (6 pkt.) Niech w(x) = x
4
+ a
3
x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
. Wiadomo, że wielomian
w(x) może być zapisany w postaci w(x) = (x − x
1
)(x − x
2
)(x − x
3
)(x − x
4
),
gdzie x
1
, x
2
, x
3
, x
4
są pierwiastkami wielomianu w(x). Jaką własność muszą
mieć pierwiastki wielomianu w(x), żeby współczynnik a
3
był równy 0? Podaj
współczynniki wielomianu, którego pierwiastkami są −x
1
, −x
2
, −x
3
, −x
4
.