Kolokwium poprawkowe

Liczby zespolone:

z

1

=

√

2 +

√

2i

z

2

= 1 +

√

3i

z

3

= −

3
2

+

3

√

3

2

i

z

4

= −

3

√

2

2

−

3

√

2

2

i

z

5

=

√

3 − i

z

6

= −1 −

√

3i

z

7

= −

3
2

−

3

√

3

2

i

z

8

= −

√

3 − i

z

9

=

√

3 + i

z

10

=

3

√

3

2

+

3
2

i

z

11

=

3

√

2

2

+

3

√

2

2

i

z

12

=

3
2

+

3

√

3

2

i

z

13

= −1 +

√

3i

z

14

= −

√

2 +

√

2i

z

15

= −

3
2

+

3

√

2

2

i

z

16

= −

√

3 + i

z

17

= −

3

√

3

2

+

3
2

i

z

18

=

3

√

3

2

−

3
2

i

z

19

=

√

2 −

√

2i

z

20

=

3

√

2

2

−

3

√

2

2

i

z

21

= 1 −

√

3i

z

22

=

3
2

−

3

√

3

2

i

z

23

= −

√

2 −

√

2i

z

24

= −

3

√

3

2

−

3
2

i

Zad.1. Obliczyć z =

z

n

z

k

− z

p

¯

z

r

. Wynik zapisać w postaci a + bi.

Zad.2. Obliczyć (z

k

)

n

. Wynik zapisać w postaci a + bi.

Zad.3. Znaleźć wszystkie wartości pierwiastka

n

√

z

k

. Wynik zapisać w postaci a + bi oraz

przedstawić na płaszczyźnie zespolonej.

Rachunek wektorowy i geometria analityczna:

Zad.4. Dane są wektory a = [3, −1, −2], b = [1, 2, −1]. Znaleźć współrzędne wektora

(2a + b) × b.

Zad.5. Z punktu A(5, 4) wychodzi promień świetlny tworzący z osią Ox kąt, którego tangens

jest równy 2. Znaleźć równanie tego promienia i promienia odbitego od osi Ox.

Zad.6. Sprawdzić

czy

wektor

a

=

[1, −2, 3]

jest

kombinacją

liniową

wektorów

x

1

= [2, −2, 0], x

2

= [1, 3, −1], x

3

= [1, −4, 1].

Zad.7. Dane są dwa boki równoległoboku 2x − y = 0, x − 3y = 0 i punkt przecięcia przekąt-

nych P (2, 3). Znaleźć równania przekątnych.

Zad.8. Przez punkt A(2, −1) poprowadziń prostą, która tworzy z osią Ox kąt dwa razy więk-

szy niż prosta x − 3y + 4 = 0.

Zad.9. Z punktu A(4, −4) poprowadzono styczne do okręgu x

2

+y

2

−6x+2y +5 = 0. Obliczyć

długość odcinka łączącego punkty styczności.

Zad.10. Znaleźć równanie elipsy o ogniskach w punktach (4, 3), (0, −1) i przechodzącej przez

punkt (4, 2).

Zad.11. Napisać równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek wyznaczony na osi Ox przez

punkty przecięcia z tą osią paraboli y = 3 − 2x − x

2

.

Zad.12. Prosta x − y − 5 = 0 jest styczna do elipsy, której ogniska są w punktach F

1

(−3, 0)

i F

2

(3, 0). Znaleźć równanie tej elipsy.

Zad.13. Napisać równanie hiperboli, mając daną prostą styczną 2x − y − 4 = 0 i wiedząc, że

ogniska tej hiperboli znajdują się w punktach F

1

(3, 0) i F

2

(−3, 0).

Zestawy: Nr zestawu = Ostatnia cyfra nr indeksu.

0 Zad.1: {k = 4, n = 3, p = 2, r = 1}, Zad.2: {k = 1, n = 99}, Zad.3: {k = 2, n = 4}, Zad.4,

Zad.10

1 Zad.1: {k = 16, n = 18, p = 20, r = 22}, Zad.2: {k = 16, n = 57}, Zad.3: {k = 11, n = 4},

Zad.5, Zad.11

2 Zad.1: {k = 7, n = 10, p = 15, r = 11}, Zad.2: {k = 3, n = 96}, Zad.3: {k = 4, n = 4},

Zad.6, Zad.12

3 Zad.1: {k = 24, n = 2, p = 4, r = 6}, Zad.2: {k = 17, n = 109}, Zad.3: {k = 12, n = 4},

Zad.7, Zad.13

4 Zad.1: {k = 2, n = 3, p = 20, r = 19}, Zad.2: {k = 5, n = 101}, Zad.3: {k = 6, n = 4},

Zad.8, Zad. 10

5 Zad.1: {k = 17, n = 19, p = 21, r = 23}, Zad.2: {k = 18, n = 86}, Zad.3: {k = 13, n = 4},

Zad.9, Zad.12

6 Zad.1: {k = 16, n = 14, p = 5, r = 3}, Zad.2: {k = 7, n = 84}, Zad.3: {k = 8, n = 4},

Zad.7, Zad.11

7 Zad.1: {k = 1, n = 3, p = 5, r = 7}, Zad.2: {k = 19, n = 48}, Zad.3: {k = 14, n = 4},

zad.6, Zad.13

8 Zad.1: {k = 1, n = 7, p = 4, r = 2}, Zad.2: {k = 9, n = 112}, Zad.3: {k = 10, n = 4},

Zad.5, Zad.10

9 Zad.1: {k = 10, n = 11, p = 12, r = 13}, Zad.2: {k = 21, n = 88}, Zad.3: {k = 15, n = 4},

Zad.4, Zad.12

2