Kolokwium poprawkowe
Liczby zespolone:
z
1
=
√
2 +
√
2i
z
2
= 1 +
√
3i
z
3
= −
3
2
+
3
√
3
2
i
z
4
= −
3
√
2
2
−
3
√
2
2
i
z
5
=
√
3 − i
z
6
= −1 −
√
3i
z
7
= −
3
2
−
3
√
3
2
i
z
8
= −
√
3 − i
z
9
=
√
3 + i
z
10
=
3
√
3
2
+
3
2
i
z
11
=
3
√
2
2
+
3
√
2
2
i
z
12
=
3
2
+
3
√
3
2
i
z
13
= −1 +
√
3i
z
14
= −
√
2 +
√
2i
z
15
= −
3
2
+
3
√
2
2
i
z
16
= −
√
3 + i
z
17
= −
3
√
3
2
+
3
2
i
z
18
=
3
√
3
2
−
3
2
i
z
19
=
√
2 −
√
2i
z
20
=
3
√
2
2
−
3
√
2
2
i
z
21
= 1 −
√
3i
z
22
=
3
2
−
3
√
3
2
i
z
23
= −
√
2 −
√
2i
z
24
= −
3
√
3
2
−
3
2
i
Zad.1. Obliczyć z =
z
n
z
k
− z
p
¯
z
r
. Wynik zapisać w postaci a + bi.
Zad.2. Obliczyć (z
k
)
n
. Wynik zapisać w postaci a + bi.
Zad.3. Znaleźć wszystkie wartości pierwiastka
n
√
z
k
. Wynik zapisać w postaci a + bi oraz
przedstawić na płaszczyźnie zespolonej.
Rachunek wektorowy i geometria analityczna:
Zad.4. Dane są wektory a = [3, −1, −2], b = [1, 2, −1]. Znaleźć współrzędne wektora
(2a + b) × b.
Zad.5. Z punktu A(5, 4) wychodzi promień świetlny tworzący z osią Ox kąt, którego tangens
jest równy 2. Znaleźć równanie tego promienia i promienia odbitego od osi Ox.
Zad.6. Sprawdzić
czy
wektor
a
=
[1, −2, 3]
jest
kombinacją
liniową
wektorów
x
1
= [2, −2, 0], x
2
= [1, 3, −1], x
3
= [1, −4, 1].
Zad.7. Dane są dwa boki równoległoboku 2x − y = 0, x − 3y = 0 i punkt przecięcia przekąt-
nych P (2, 3). Znaleźć równania przekątnych.
Zad.8. Przez punkt A(2, −1) poprowadziń prostą, która tworzy z osią Ox kąt dwa razy więk-
szy niż prosta x − 3y + 4 = 0.
Zad.9. Z punktu A(4, −4) poprowadzono styczne do okręgu x
2
+y
2
−6x+2y +5 = 0. Obliczyć
długość odcinka łączącego punkty styczności.
Zad.10. Znaleźć równanie elipsy o ogniskach w punktach (4, 3), (0, −1) i przechodzącej przez
punkt (4, 2).
Zad.11. Napisać równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek wyznaczony na osi Ox przez
punkty przecięcia z tą osią paraboli y = 3 − 2x − x
2
.
Zad.12. Prosta x − y − 5 = 0 jest styczna do elipsy, której ogniska są w punktach F
1
(−3, 0)
i F
2
(3, 0). Znaleźć równanie tej elipsy.
Zad.13. Napisać równanie hiperboli, mając daną prostą styczną 2x − y − 4 = 0 i wiedząc, że
ogniska tej hiperboli znajdują się w punktach F
1
(3, 0) i F
2
(−3, 0).
