Zadania do samodzielnego rozwiązania do modułu Ciągi liczbowe

Zadanie 1

a) Wyznacz największą liczbę naturalną

p

, dla której ciąg

dany wzorem

)

(

n

a

1

3

+

+

⋅

=

n

n

p

a

n

jest malejący

b) Dla wyznaczonego

p

rozwiąż równanie

( )

n

n

n

a

x

x

x

−

1

x

x

∞

→

⋅

−

=

+

−

+

+

+

−

+

−

lim

2

3

...

)

1

(

1

...

)

1

(

)

1

(

1

1

1

3

2

.

Zadanie 2

Ciąg liczbowy

określony jest wzorem ogólnym

)

(

n

a

n

a

n

4

22

)

(

−

=

,

.

N

n

∈

a) Na podstawie definicji wykazać, że ciąg

jest ciągiem arytmetycznym.

)

(

n

a

b) Wyrazy

ciągu

są trzema kolejnymi wyrazami pewnego

ciągu geometrycznego. Wyznaczyć

n

.

2

1

2

,

,

+

+

−

n

n

n

a

a

a

)

(

n

a

c) Wyznaczyć wartość , dla której suma kolejnych, początkowych wyrazów

ciągu

osiąga największą wartość. Oblicz te wartość.

n

n

)

(

n

a

Zadanie 3

W ciągu arytmetycznym

4

1

1

−

=

a

,

2

1

=

r

zaś suma

n

początkowych wyrazów

tego ciągu jest równa pierwiastkowi równania:

.

x

x

x

−

−

−

=

⋅ 4

16

19

18

5

,

0

2

a) Wyznacz n-ty wyraz ciągu.

b) Ustal, które wyrazy tego ciągu należą do przedziału

)

9

;

5

(

.

Zadanie 4

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

o wyrazach niezerowych i

wzorze ogólnym

)

(

n

a

n

n

x

a

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1

log

. Wyznaczyć

x

, dla którego suma wszystkich

wyrazów o numerach nieparzystych jest o 2 mniejsza od sumy wszystkich

wyrazów o numerach parzystych.

Zadanie 5

Dla jakich

R

x

∈ liczby

)

1

(

log

−

x

x

, 1 oraz

)

1

2

(

log

+

x

x

są trzema kolejnymi

wyrazami ciągu arytmetycznego?