Szereg funkcyjny

Szeregiem funkcyjnym nazywamy szereg

(x) + (x) + … + (x) + … = ∑

( )

którego wyrazami są funkcje : A → R, n є N. Sumy cząstkowe

( ) = ( ) + ( ) + … + ( ) , n = 1,2,…

tworzą ciąg funkcyjny określony w zbiorze A.

Zbieżność punktowa

Dany jest ciąg funkcyjny : A → R , n є N. Mówimy, że szereg funkcyjny ∑

jest punktowo zbieżny,

jeśli ciąg sum częściowych ( ) := ∑

( ) , x є A, n є N jest zbieżny w każdym punkcie swojej

dziedziny.

Zbieżność jednostajna

Mówimy, że szereg funkcyjny ( ) jest jednostajnie zbieżny do funkcji s(x) w zbiorze A, jeżeli dla
każdej liczby ε > 0 można dobrać wskażnik

niezależny od x i taki, że

| ( ) − ( )| ≤ ε dla wszystkich x є A i n ≥

Ciąg ( ) jednostajnie zbieżny w zbiorze A jest zbieżny punktowo dla każdego x є A, lecz
niekoniecznie jest odwrotnie.

Jeżeli wszystkie wyrazy szeregu funkcyjnego są ciągłe, a szereg jest jednostajnie zbieżny, to jego suma
jest funkcja ciągłą.

Kryterium Weierstrassa

Szereg ∑

( ) jest jednostajnie zbieżny w zbiorze A, jeżeli w zbiorze A zachodzą nierówności

| ( )| ≤

, gdzie liczby

są wyrazami szeregu zbieżnego ∑

. Szereg ∑

nazywamy

wówczas majorantą szeregu ∑

( ).